760

m1 каждый, а ОС = АС = ВС. Массой кривошипа и силами сопротивления движению пренебречь. Механизм эллипсографа расположен в горизонтальной плоскости.

Задание 13

13.1.Шарик, принятый за материальную точку, прикреплен

кконцу невесомого стержня длинойl, который может вращаться вокруг горизонтальной оси О. Определить скорость шарика в

момент М1, если начальная скорость равна v0. Силами сопротивления движению пренебречь.

13.2.Тело массой 5 кг, прикрепленное к свободному концу пружины, может двигаться без трения в направляющих, наклоненных под углом 30° к горизонту. Второй конец пружины закреплен шарнирно в точке О на расстоянии АО = 0,5 м. Определить, какую начальную скорость нужно сообщить телу, чтобы оно до остановки прошло расстояние АВ = 0,5 м. Длина недеформированной пружины — 0,45 м, ее коэффициент жесткости — 2 Н/см, ОА АВ.

13.3.Однородный цилиндрический вал массой m и радиусом R вращается вокруг горизонтальной оси с угловой скоростью . Вследствие трения в подшипниках угловая скорость вала уменьшится втрое. Сколько оборотов сделал вал за это время, если коэффициент трения равен f?

13.4.На ступенчатый шкив 1 с радиусами R, r и моментом

инерции относительно оси вращения J0, вращающийся вокруг неподвижной горизонтальной оси О, намотаны два невесомых троса, перекинутых через неподвижные блоки и несущих на

концах грузы 2 и 3 массами m2 и m3. Определить угловую скорость шкивав зависимости от его угла поворота, если система начала двигаться из состояния покоя под действием силы тяжести груза 3. Трением в подшипниках, проскальзыванием тросов и массой блоков пренебречь.

13.5.К кривошипу 2 массой т эпициклического механизма, расположенного в горизонтальной плоскости, приложен момент

М = М0 – k , где М0 и k — положительные постоянные, — угол поворота кривошипа. Считая кривошип тонким однородным

стержнем, а подвижное колесо 1 однородным диском массой m1 и радиусом r,определить угловую скорость кривошипа как

31

функцию его угла поворота. В начальный момент механизм находился в покое. Радиус неподвижного колеса 3 равен R, силами сопротивления движению пренебречь.

13.6. Механизм, расположенный в вертикальной плоскости, состоит из однородного стержня 2 массой m2 и длиной 2а 2, прикрепленного шарниром к ползуну 1 массой т1, перемещающемуся вдоль вертикальной направляющей 3. Стержень проходит через качающуюся муфту 4, отстоящую от направляющей 3 на расстоянии а. В начальный момент стержень 2 был расположен горизонтально и скорость ползуна равнялась нулю. Какую вертикальную силу F нужно приложить к ползуну, чтобы, переместившись на расстояние а, он приобрел скорость v? Массой муфты и силами трения пренебречь.

Задание 14

14.1.Какова длина разбега самолета массой 18000 кг, если тяга, развиваемая двигателем, —40 кН, общая сила сопротивления — 10 кН, взлетная скорость — 216 км/ч?

14.2.Гире массой m, подвешенной в точке О1 на пружине с коэффициентом жесткости с, сообщена начальная скорость v0 из положения М0 вертикально вниз. Определить скорость гири в положении М, если она, принимаемая за материальную точку, скользит по кольцу радиусом Rбез трения.Длинанедеформированной пружины равна R.

14.3.Однородный диск радиусом R может вращаться в вертикальной плоскостивокруг горизонтальной осиО.ВначальныймоментвременилинияОСгоризонтальнаидискотпускается без начальной скорости. Пренебрегая трением, определить угловую скорость диска в момент времени, когда он повернется на угол 90°.

14.4.Зубчатоеколесо1радиусом0,2м,к которомуприложена пара сил с постоянным моментом М = 2,14 Н∙м, перемещает зубчатую рейку 2 массой 0,8 кг. Момент инерции колеса относительно оси вращения равен 0,01 кг∙м2. Определить скорость рейки за время, когда колесо 1 сделало пол-оборота. Проскальзыванием рейки и трением пренебречь. Механизм расположен в вертикальной плоскости.

32

14.5. Механическая система, состоящая из тел 1 и 2,однородных блоков 3 и 4, соединенных между собой невесомой нерастяжимой нитью, под действием силы тяжести тела 1 приходит в движениеизсостоянияпокоя.Учитываятрениескольжениятела 1 при коэффициенте трения скольжения, равном 0,1, и пренебрегая другими силами сопротивления движению, определить скорость этого тела в тот момент времени, когда пройденный им

путь станет равным 2 м, если m1 = m2 = m3 = m, m4 = 0,1m. 14.6. В шарнирном четырехзвеннике, расположенном в гори-

зонтальной плоскости, к ведущему кривошипу АВ массой m1 и длиной l, находящемуся в покое и образующему с неподвижным стержнем АЕ угол 90°, приложена пара сил с постоянным моментом М. Определить, какую угловую скорость приобретет стержень DE массой m2 за тот промежуток времени, в течение которого кривошип повернется на угол 90°, если масса стержня BD длиной 2l равна m3, а DE = AE = l 3. Силами трения пренебречь.

Задание 15

15.1.По наклонной шероховатой плоскости, составляющей с горизонтом угол 30°, спускается без начальной скорости тело. Коэффициент трения скольжения равен 0,2. Какую скорость будет иметь тело, пройдя 3 м от начала движения?

15.2.По проволоке АВС, расположенной в вертикальной плоскостии изогнутойввидедуг окружностей радиусамиr1 = 1 м

иr2 = 2 м, скользит без трения кольцо D, принятое за материальную точку. Определить скорость кольца в точке С, если его начальная скорость в точке А равнялась нулю.

15.3.Квалу АВжестко прикрепленаоднородная прямоугольная пластина массой 18 кг, сторона которой b = 1 м. Валу сообщена начальная угловая скорость 4 рад/с. Предоставленный самому себе, вал остановился, сделав 20 об. Определить момент сил трения в подшипниках, считая его постоянным.

15.4.К концам горизонтального рычага АВ прикреплены два вертикальных каната, перекинутых через однородные блоки 3 и

4 массой m3 и радиусом R каждый. К свободным концам канатов подвешены грузы 1 и 2 массами m1 и m2 соответственно, которые отпущены без начальной скорости. Найти перемещение груза 1

33

за то время, в течение которого скорость груза 2 станет равной v, если отношение плеч рычага АО : ОВ = h. Массой рычага и трением пренебречь.

15.5.Механическаясистема,состоящаяизтела1,однородных барабана 2 и катка 3, водила 4, соединенных между собой невесомой нерастяжимой нитью и шарнирами, под действием силы тяжести тела 1 приходит в движение из состояния покоя. Коэффициент трения скольжения при движении тела 1 по плоскости равен 0,1. Пренебрегая другими силами сопротивления движению и массой водила, определить скорость тела в тот момент времени, когда пройденный им путь S станет равным 0,1

м, если m1 = m, m2 = 0,5m, m3 = 0,25m, R2 = 20 см, R3 = 10 см, ОС = 2R2.

15.6. Механизм, расположенный в горизонтальной плоскости, состоит из однородного стержня АВ массой m и длиной 2а, шатуна АС массой m1 и ползуна С. К стержню АВ приложен постоянный вращающиймоментМ.Пренебрегая массойползуна и трением, определить угловую скорость стержня в момент времени, когда он повернется на угол 90°, если в начальный момент она была равна нулю и стержень был перпендикулярен к направляющей ползуна, ОА = ОВ.

Задание 16

16.1.Шарик массой m движется с начальной скоростью v0 из положения А внутри трубки, расположенной в вертикальной плоскости и изогнутой радиусом R. Найти максимальную скорость шарика, а также расстояние ВС, пройденное им до остановки, если коэффициент трения скольжения равен f. Трением на криволинейном участке пренебречь.

16.2.Пружина с коэффициентом жесткости 196 Н/м в ненапряженномсостоянииимеетдлину20 см.Скакойскоростью вылетит из трубкишарик массой 300 г, еслипружинабыласжата до 10 см? Трением пренебречь.

16.3.Однородный прямолинейный стержень ОА, закрепленный в вертикальной плоскости шарниром О и нитью АВ, составляет угол с горизонтом . Пренебрегая сопротивлением движению, установить, на какой наибольший угол повернется стержень относительно своего первоначального положения при обрыве нити.

34

16.4.В кулачковом механизме, расположенном в горизонтальной плоскости, эксцентрик 1 массой m с эксцентриситетом, равным половине его радиуса R, приводит в возвратно-поступа- тельное движение через ролик В штангу 2. Пружина 3 с коэффициентом жесткости с, соединенная со штангой, обеспечивает постоянный контакт ролика с эксцентриком. При крайнем левом положении штанги пружина не нагружена. Какую угловую скорость надо сообщить эксцентрику для того, чтобы он переместил штангу из крайнего левого в крайнее правое положение? Массой ролика, штанги, пружины и силами сопротивления движениюпренебречь.Эксцентрик считать однороднымдиском.

16.5.Механическая система, состоящая из грузов 1 и 2, однородныхблоков3и 4,соединенных междусобой невесомыми нерастяжимыми нитями, под действием силы тяжести груза 1 приходит в движение из состояния покоя. Пренебрегая силами сопротивления движению, определить скорость груза 1 в тот момент времени, когда он опустится на 1 м, если m1 = m,

m2 = 0,2m, m3 = m4 = 0,25m.

16.6. Кривошип ОА массой m и длиной r приводится в движение из состояния покоя парой сил с постоянным моментом М. Штанга АВ массой 2m и длиной 2r, шарнирно соединенная с кривошипом, проходит через направляющую муфту К, закрепленную в точке Е с помощью цилиндрического шарнира. Какую угловую скорость приобретет кривошип, повернувшись на угол 60°, если в начальный момент времени он занимал правое горизонтальное положение? Механизм расположен в горизонтальной плоскости. Кривошип и штангу считать однородными стержнями, ОА = ОК, массой муфты и силами трения пренебречь.

Задание 17

17.1.Кольцо М массой m движется по гладкому неподвижному кольцу радиусом 1 м, расположенному в вертикальной плоскости, из положения А с начальной скоростью 8 м/с. Определить нормальное ускорение кольца М в момент времени, когда его скорость будет наибольшей.

17.2.Груз3массойmможетперемещаться вдольгоризонтального стержня АВ, на который надеты пружины 1 и 2 с коэффи-

35

циентами жесткости с1 и с2 соответственно. В положении равновесия тела пружины не напряжены. Пренебрегая массой пружин

итрением, определить скорость тела при прохождении положения равновесия, если он был отклонен от этого положения на расстояние и отпущен без начальной скорости.

17.3.Однородное тонкое кольцо радиусом R скатывается без скольжения из состояния покоя по наклонной плоскости, расположенной под углом к горизонту. Центр кольца, пройдя

расстояние С0С = l, приобрел скорость v. Определить коэффициент трения качения.

17.4.Два сплошных однородных вала 1 и 2 массами m1 и m2 соответственно, соединенные нерастяжимым бесконечным ремнем, могут вращаться вокруг параллельных горизонтальных осей. К первому валу радиусом R приложен постоянный момент М, а на второй радиусом 2R наматывается трос, несущий на

конце груз 3 массой m3. Определить угловую скорость вала 2 в тот момент времени, когда вал 1 совершит 2 об. В начальный момент механизм находился в покое. Массами ремня и троса, трением в подшипниках и проскальзыванием пренебречь.

17.5.Механическая система, состоящая из тела 1, барабана 2

икатка 3, соединенных между собой невесомыми нерастяжимыми нитями, под действием силы тяжести тела 1 приходит в движение из состояния покоя. Учитывая трение скольжения груза с коэффициентом, равным 0,12, и сопротивление качению катка 3, катящегося без скольжения с коэффициентом трения качения 0,1 см, пренебрегая другими силами сопротивления, определить скорость груза в тот момент времени, когда пройден-

ный им путь станет равным 2 м, если m1 = m, m2 = 2m, m3 = 3m, R2 = 20 см, R3 = 40 см, r3 = 0,5R3, радиус инерции катка 3

относительно центральной оси, перпендикулярной плоскости движения, равен 25 см. Массу барабана считать равномерно распределенной по его ободу.

17.6. В механизме, расположенном в горизонтальной плоскости, кривошип ОА массой 4 кг и длиной 0,3 м является однороднымстержнем.МассаползунаАвдвоеменьшемассыкривошипа. Какую горизонтальную силу F нужно приложить к кулисе BDE, чтобы кривошип повернулся на угол 60°, если в начальный

36

момент времени 0 = 0 и механизм находился в покое. Массой кулисы и трением пренебречь.

Задание 18

18.1.Абсолютно упругий шарик, имеющий начальную скорость14м/с,падаетсвысоты1,8мповертикалинагоризонтальный пол и отскакивает от него вверх. Определить скорость шарика на высоте 6,8 м от пола, не учитывая сопротивления воздуха и других потерь механической энергии.

18.2.Тело 1 массойm падает без начальной скорости с высоты H на плиту, лежащую на спиральной пружине с коэффициентом жесткости с. Определить наибольшее сжатие пружины. Массой плиты и силами сопротивления движению пренебречь.

18.3.Однородный прямолинейный стержень ОА длиной 0,102 м, шарнирно закрепленный в точке О, начинает движение

ввертикальной плоскости из верхнего положения, в котором

скорость точки А равнялась v0 = 1 м/с. Найти соотношение скоростей v1 и v2 этой точки вдвух последующих ее положениях. Сопротивлением движению пренебречь.

18.4.Впередаточноммеханизме,расположенном ввертикаль-

ной плоскости, зубчатое колесо 1 массой m и радиусом R1 приводится в движение постоянным моментом M из положения

покоя. Масса зубчатого колеса 2 — m2 равномерно распределена по его ободу. Считая колесо 1 однородным диском, определить его угловую скорость в зависимости от угла поворота. Трением пренебречь.

18.5.Механическая система, состоящая из тел 1 и 2, ступенчатого барабана 3, однородного блока 4, соединенных между собой невесомыми нерастяжимыми нитями, под действием силы тяжести тела 1 приходит в движение из состояния покоя. Коэффициент трения скольжения тела 1 при движении по плоскости равен 0,15. Пренебрегая другими силами сопротивления движению,определитьскоростьтела1втотмоментвремени,

когдапройденныйимпутьSстанетравным1,5м,еслиm1 = m2 = m, m3 = 0,3m, m4 = 0,1m, R3 = 24 см, r3 = 0,8R3, радиус инерции барабана относительно оси вращения — 20 см.

18.6.В кулисном механизме однородныйстержень ОАмассой 5 кг и длиной 1,2 м приводит в движение по горизонтальной

37

плоскости груз В массой 15 кг. В начальном положении угол отклонения стержня от вертикали равен 30° и механизм находится в покое. Какую наименьшую угловую скорость надо сообщить стержню, чтобы он достиг вертикального положения, если коэффициент трения скольжения груза о плоскость 0,2, а расстояние от оси вращения стержня до плоскости 0,9 м?

Задание 19

19.1.Груз 1 массой 2 кг прикреплен к пружине 2 с коэффициентом жесткости 5 Н/см, расположенной на гладкой наклоннойплоскостисугломнаклона30°.Вначальныймоментпружина не деформирована и грузу сообщена начальная скорость 2 м/с, направленная вверх параллельно плоскости. Определить наибольшее сжатие пружины.

19.2.Кольцо массой m может скользить по неподвижному гладкому стержню, расположенному в вертикальной плоскости

иизогнутому в виде двух полуокружностей радиусами r1 = 1 м и r2 = 0,8 м. Определить скорость кольца в точке М, если в начальный момент времени оно находилось в точке М0 и имело скорость v0 = 1 м/с. На какую высоту поднимется кольцо над точкой М, если 0 = 30°?

19.3.Однородный цилиндр радиусом R катится без скольжения вверх по наклонной плоскости, расположенной под углом к горизонту, вследствие толчка, полученного у ее основания.

Определить расстояние С0С = l, которое пройдет цилиндр до остановки, если при толчке точке А сообщена скорость v. Коэффициент трения качения равен .

19.4.Три барабана жестко скреплены между собой и насаже-

ны на общую ось вращения О. Радиусы барабанов r1 > r2 > r3, а их массы равны соответственно m1, m2, m3. На барабаны намотаны нерастяжимые канаты, а к их концам прикреплены грузы 4,

5 и 6 одинаковой массы m4. Считая массы барабанов равномерно распределенными по их ободам, пренебрегая массой канатов и трением, определить скорость груза 4 в тот момент времени, когда он опустится на расстояние h.

19.5.Два однородных цилиндрических катка массой m и радиусом R каждый, оси которых шарнирно связаны однород-

ным стержнем АВ массой 0,5m и длиной 2R2, могут катиться

38

без скольжения внутри цилиндра радиусом 3Rс горизонтальной образующей. Определить скорость осей катков в тот момент времени,когдастерженьзайметгоризонтальноеположение,если коэффициент трения качения . В начальныймомент катки были отведены в положение, показанное на рисунке, и отпущены без начальной скорости.

19.6.Кклину 1 массойm1 с углом наклона , расположенному на гладкой горизонтальной плоскости, приложена постоянная горизонтальная сила F. При движении клин поднимает вертикально вверх стержень 2 массой m2. Пренебрегая массой ролика 3, определить скорость клина в зависимости от пройденного расстояния S, если его начальная скорость равнялась нулю.

Задание 20

20.1.Автомобиль, двигающийся со скоростью 60 км/ч, при экстренном торможении проходит тормозной путь длиной 30 м. Определить, какизменится длинатормозного пути, если автомобиль будет двигаться со скоростью 90 км/ч, считая, что со стороны дороги на автомобиль с заторможенными колесами действует постояннаясилатренияскольжения?Сопротивлением силы воздуха пренебречь.

20.2.Груз3массойmможетперемещаться вдольгоризонтальногостержняАВ,накоторыйнадетапружина1скоэффициентом

жесткости с1. В положении равновесия груза ось пружины 2 с коэффициентом жесткости с2 перпендикулярна АВ, ее длина равна l и обе пружины не деформированы. Груз отклонили от

положения равновесия на расстояние х0 и отпустили без начальной скорости. Пренебрегая массами пружин и трением, определить скорость груза в момент прохождения положения равновесия.

20.3.Однородный стержень АВдлиной 2l прикреплен невесо-

мыми одинаковыми стержнями ОА и ОВ длиной l1 к неподвижной горизонтальной оси О. Пренебрегая трением, определить угловую скорость стержня при переходе его без начальной скорости из вертикального положения в горизонтальное под действием собственной силы тяжести.

20.4.Механизм, расположенный в вертикальной плоскости, состоит из однородного кривошипа ОА массой m, подвижного

39

колеса А массой m1 и радиусом r, которое можно считать однородным диском, и неподвижного колеса радиусом R. Пренебрегая силами сопротивления движению, определить максимальную скорость центра колеса А, если кривошип начал движение из верхнего положения с ничтожно малой угловой скоростью.

20.5. Механическая система, состоящая из тела 1, однородного блока 2 и катка 3, соединенных между собой невесомой нерастяжимой нитью, под действием силы тяжести тела приходит в движение из состояния покоя. Учитывая трение скольжениятела1придвижении поплоскостискоэффициентом,равным 0,17, сопротивление качению катка, катящегося без скольжения с коэффициентом трения качения 0,2 см, пренебрегая другими силамисопротивлениядвижению,определитьскоростьтелавтот момент времени, когда пройденный им путь S станет равным

2,5 м, если m1 = m, m2 = 0,5m, m3 = 0,25m, R3 = 30 см, r3 = 0,6R3,

радиус инерции катка относительно центральной оси, перпендикулярной плоскости рисунка, равен 25 см.

20.6. Шестизвенник, расположенный в горизонтальной плоскости, приводится в движение парой сил, приложенных к кривошипу ОА массой m, с постоянным моментом М из состоянияпокоя.МассызвеньевАВ,О1В,BDравны соответственноm1, m2, m3. Считая звенья механизма однородными стержнями, пренебрегая массой ползуна D и трением, определить скорость ползуна в конце первого полного оборота кривошипа.

Задание 21

21.1.Автомобиль движется со скоростью 54 км/ч в гору с углом наклона 10° к горизонту. В некоторый момент времени включается тормоз и одновременно отключается двигатель. Результирующая сила торможения F по величине равна половине силы тяжести. Определить путь, пройденный автомобилем до остановки.

21.2.Шарик массой 0,1 кг опускают без начальной скорости

вточке А в гладкую изогнутую трубку, которая расположена в вертикальной плоскости. Двигаясь по трубке, шарик в точке В падает на пружину. Определить величину наибольшего сжатия пружины, если ее коэффициент жесткости 0,4 Н/см, а R = 0,5 м.

40