760

21.3.Два цилиндраодинаковой массы и радиуса скатываются без скольжения по наклонной плоскости из состояния покоя. Первыйцилиндроднородныйсплошной,амассувторогосчитаем равномерно распределенной по его ободу. Найти зависимость между скоростямицентровтяжестицилиндровприопусканииих на одну и ту же высоту. Силами сопротивления движению пренебречь.

21.4.Два шкива, соединенных невесомым бесконечным ремнем, вращаютсявокруг неподвижныхпараллельныхосей. Какой вращающий момент М нужно приложить к находящемуся в

покое шкиву 1 радиусом R1, чтобы, сделав N оборотов, он приобрел угловую скорость ? Шкивы 1 и 2 считать однородны-

ми дисками массами m1 и m2 соответственно. Трением в подшипниках шкивов и проскальзыванием ремня пренебречь.

21.5.Механическая система, состоящая из груза 1, барабана 2 и однородного катка 3, соединенных между собой невесомой нерастяжимойнитьюиневесомымизвеньями4и5,поддействием силы тяжести груза 1 приходит в движение из состояния покоя. Учитывая сопротивление качению катка, катящегося без скольжения с коэффициентом трения качения 0,3 см, пренебрегая массой ползуна М и другими силами сопротивления движению, определить скорость груза в тот момент времени, когда пройденный им путь S станет равным 0,1 м, если m1 = m, m2 = 2m,

m3 = 40m, R3 = 20 см, R2 = 10 см, r2 = 0,5R2, KM = 5R2, радиус инерции барабана относительно оси вращения равен 8 см.

21.6. Механизм, расположенный в вертикальной плоскости, состоит из однородного стержня 2 массой m2 и длиной 2l 2, прикрепленного шарниром к ползуну 1 массой m1, перемещающемуся вдоль горизонтальной направляющей 3. Стержень проходит через качающуюся муфту 4, отстоящую от направляющей 3 на расстоянии l. В начальный момент стержень был расположен вертикально и скорость ползуна равнялась нулю. Какую горизонтальную силу F нужно приложить к ползуну, чтобы,переместившись нарасстояние l,он приобрелскорость v? Массой муфты и силами трения пренебречь.

41

Задание 22

22.1.Материальная точка М скользит по наклонной плоскости 1 без начальной скорости и, дойдя до точки С, поднимается по наклонной плоскости 2. Считая, что в точке С не происходит потери скорости,определить, какое расстояние по плоскости 2 пройдет точка до остановки, если углы наклона плоскостей

равны соответственно 1 и 2, акоэффициент трения скольжения равен f.

22.2.Вагонетка массой m скатывается вниз с высоты h = 6 м без начальной скорости по рельсам, проложенным на прямолинейном участке АВ и образующим затем кольцо радиусом 2 м. Определить скорость вагонетки в тот момент времени, когда она достигнетточки С,если BOC =30°.Сопротивлениемдвижению пренебречь.

22.3.Ступенчатый шкив массой m может вращаться вокруг горизонтальной оси О, проходящей через его центр. В точке А шкива прикреплена пружина с коэффициентом жесткости с, которая в начальный момент времени находится в недеформированном состоянии. С обода шкива радиусом r спускается трос,

несущий на конце груз массой m1. Найти скорость груза в тот момент времени, когда он, отпущенный без начальной скорости, переместится на высоту h. Радиус инерции шкива относительно оси вращенияравен .Силами сопротивлениядвижению пренебречь.

22.4.Какой путьпроедетвелосипедистдоостановки,двигаясь по инерции, если в начальный момент времени он двигался со скоростью 9 км/ч. Общая масса велосипеда и велосипедиста равна 80 кг. Массу каждого из колес считать равномерно распределенной по окружности радиусом 50 см и равной 5 кг. Колеса катятся без проскальзывания с коэффициентом трения качения 0,5 см. Другими силами сопротивления движению пренебречь.

22.5.Механическая система, состоящая из тел 1, 2, однородных блоков 3 и 4, приходит в движение из состояния покоя под действием силы тяжести тела 1. Учитывая трение скольжения придвижениитела1поплоскостискоэффициентом,равным0,1, пренебрегая другими силами сопротивления, определить его

42

скорость в тот момент времени, когда пройденный им путь S

станет равным 2 м, если m1 = m, m2 = 4m, m3 = 0,2m, m4 = 0,5m. 22.6. Кривошипно-кулисный механизм, расположенный в

горизонтальной плоскости, приводится в движение постоянным моментом М, приложенным к кривошипу ОА массой m и длиной r. Какую угловую скорость приобретет кулиса ВС массой m1 и длиной l за тот промежуток времени, в течение которого кривошип повернется на угол = 30°, если начальная скорость кривошипаравнялась нулю и 0 = 0?Кривошип и кулису считать однородными стержнями, массой ползуна и силами трения пренебречь.

Задание 23

23.1.Хоккеист, находясь на расстоянии 10 м от ворот, клюшкой сообщает шайбе, лежащей на льду, скорость 12 м/с. Шайба скользит по поверхности льда и влетает в ворота со скоростью11,6 м/с.Определитькоэффициенттренияскольжения шайбы.

23.2.Кольцо массой m может скользить по неподвижному гладкому стержню, расположенному в вертикальной плоскости

иизогнутому в виде двух полуокружностей радиусами r1 = 1 м и r2 = 0,8 м. Определить нормальное ускорение кольца в точке М, если в начальный момент времени кольцо находилось в точке М0

иимело скорость v0 = 0,5 м/с. На какую высоту поднимется кольцо над точкой М?

23.3.КвалуАВжесткоприкреплен горизонтальныйстержень длиной 2 м и массой 12 кг. Вал вращается с угловой скоростью 2 рад/с и останавливается, предоставленный самому себе, сделав 20 об. Определить момент сил трения в подшипниках, считая его постоянным.

23.4.На однородный шкив 1 массой 20 кг и радиусом 0,1 м действует парасил с моментом M= 40 + 9 2(М —Н∙м, —рад). Определить скорость груза 2 массой 40 кг при подъеме его на высоту h = 0,3 м, если в начальный момент система находилась в покое. Силами сопротивления движению, массами троса и блока 3 пренебречь.

23.5.Механическая система, состоящая из груза1,барабана 2

иоднородного катка 3, соединенных между собой невесомыми

43

нерастяжимыми нитями, приходит в движение из состояния покоя под действием силы тяжести груза 1. Учитывая сопротивление качениюкатка, катящегосябез скольженияс коэффициентом трения качения 0,2 см, пренебрегая другими силами сопротивления движению, определить скорость груза в тот момент времени, когда пройденный им путь S станет равным 2 м, если

m1 = m, m2 = 2m, m3 = 2m, R3 = R2 = 16 см, r2 = 0,75R2, радиус инерции барабана относительно оси вращения равен 10 см.

23.6. Механизм, расположенный в вертикальной плоскости, состоит из двух ползунов А и В одинаковой массы m, соединенных однородным стержнем АВ длиной l и массой m1. Ползуны могут перемещаться по взаимно-перпендикулярным направляю-

щим. Какой должна быть величина постоянной силы F, приложенной к ползуну В, находящемуся в покое, когда стержень АВ занимает вертикальное положение, чтобы он приобрел скорость v, пройдя путь S = 0,5l? Силами сопротивления движению пренебречь.

Задание 24

24.1.При забивке сваи в грунт молот копра массой 100 кг свободно падает с высоты 10 м. Какова средняя сила сопротивлениягрунта,если приодномударесваявходитвгрунтна50мм?

24.2.Шарик массой 0,4 кг движется без начальной скорости из положения А внутри гладкой трубки, расположенной в вертикальной плоскости, отделяясь от пружины в точке В. Определитьскорость шарикапри выходеизтрубки,еслиначаль-

ная деформация пружины h0 = 10 см, ее коэффициент жесткости равен 1 Н/см, а R = 0,2 м.

24.3.Ступенчатый каток, радиус инерции которого относительно центральной оси, перпендикулярной плоскости рисунка, равен , катится без скольжения вверх по наклонной плоскости

скоэффициентом трениякачения вследствие толчка, полученного у ее основания. Плоскость расположена под углом к горизонту. Определить расстояние, которое пройдет центр катка до остановки, если при толчке точке А сообщена скорость v. Радиусы катка R и r заданы.

24.4.К зубчатому колесу 1 радиусом 0,1 м, момент инерции которого относительно оси вращения равен 0,1 кг∙м2, приложен

44

момент M = 20 + 6 2(М — Н∙м, — рад). Определить скорость рейки 2 при ее вертикальном перемещении на расстояние 0,2 м из состояния покоя, если общая масса рейки 2 и груза 3 равна

20кг. Силами сопротивления пренебречь.

24.5.Механическая система, состоящая из тела1,ступенчатого шкива 2 и однородного блока 3, соединенных между собой невесомой нерастяжимой нитью, приходит в движение из состояния покоя под действиемсилы тяжеститела1.Учитывая трение скольжения тела при движении по плоскости с коэффициентом трения, равным 0,2, пренебрегая другими силами сопротивления, определить его скорость в тот момент времени, когда

пройденный им путь S станет равным 2,5 м, если m1 = m, m2 = 0,5m,m3 =0,2m,R2 =30 см,r2 =0,5R2,радиусинерциишкива относительно оси вращения равен 20 см.

24.6.Кривошипно-шатунный механизм расположен в вертикальнойплоскостиисостоитизкривошипаОАдлинойrишатуна АВ длиной l, которые можно принять за однородные стержни. В момент,когдакривошипзанимаетверхнеевертикальноеположение, точке А сообщают ничтожно малую скорость вправо. Определить модуль скорости этой точки в тот момент времени, когда кривошип займет горизонтальное положение, если на ползун В

действует постоянная сила торможения F, равная 0,25 суммы сил тяжести кривошипа и шатуна. Массой ползуна и трением пренебречь.

Задание 25

25.1.Вагон массой m ударяется в пружинный амортизатор и имеет в момент удара скорость v. Определить максимальную деформацию пружины амортизатора, коэффициент жесткости которой равен с, пренебрегая ее массой, считая ее недеформированной перед ударом. После удара колеса вагона скользят без вращения с коэффициентом трения скольжения f.

25.2.Гиря массой 0,2 кг подвешенакконцу нити длиной1,5 м. Вследствие толчка гиря получила горизонтальную скорость

v0 = 5 м/с. Определить, достигнет ли гиря положения М1. Силами сопротивления движению пренебречь.

25.3.Прямой однородный стержень ОА длиной l закреплен концом О шарнирно в неподвижной точке. В начальный момент

45

времени стерженьотклоняют отвертикали наугол и отпускают без начальной скорости. Определить угловую скорость стержня, когда он образует с вертикалью угол . Силы сопротивления движению не учитывать.

25.4.Барабанная лебедка поднимает груз А массой 0,5 т из состояния покоя. Моменты инерции ведущего и ведомого валов

снасаженными на них зубчатыми колесами 1, 2 и барабаном

диаметром d = 0,4 м равны соответственно J1 = 70 кг∙м2 и J2 = 360 кг∙м2, число зубьев у колес z1 = 18, z2 = 57. Определить момент М на ведущем валу, считая его постоянным, когда груз поднимется на высоту 10 м и приобретет скорость 1,5 м/с. Массой троса и силами сопротивления движению пренебречь.

25.5.Механическая система, состоящая из барабана 1, масса которого равномерно распределена по его внешнему ободу, катка 2 и однородного стержня 3, соединенных между собой невесомой нерастяжимой нитью и шарнирами, под действием силы тяжести катка 2 приходит в движение из состояния покоя. Учитывая сопротивление качению катка, катящегося без скольжения с коэффициентом трения качения 0,2 см, пренебрегая массой ползуна К и другими силами сопротивления движению, определить угловую скорость барабана 1 в тот момент времени, когда он повернется на угол 90°, если m1 = 2m, m2 = 3m, m3 = m,

R2 = 30 см, r2 = 0,6R2, R1 = 20 см, r1 = 0,5R1, AK = 3R1, радиус инерции катка относительно центральной оси, перпендикуляр-

ной плоскости рисунка, равен 22 см.

25.6.КрестовинаС,расположеннаявгоризонтальнойплоскости, приводится во вращение вокруг неподвижной оси О1 из состояния покоя однородным стержнем АВ массой m, вращающимся вокруг неподвижной оси О. При этом ползуны А и В, соединенные шарнирами со стержнем, скользят вдоль взаимноперпендикулярных прорезей крестовины. Вращение стержня происходит под действием пары сил с постоянным моментом М. Определить угловую скоростьстержняАВвтотмоментвремени, когда он сделает четверть оборота, если в начальный момент= 0. Момент инерции крестовины относительно оси вращения равен J, OO1 = OA = OB = l. Массами ползунов и силами сопротивления движению пренебречь.

46

ПРИЛОЖЕНИЕ

Рисунки к заданию 01

Рисунки к заданию 02

47

Рисунки к заданию 03

Рисунки к заданию 04

48

Рисунки к заданию 05

Рисунки к заданию 06

49

Рисунки к заданию 07

Рисунки к заданию 08

50