scherbo-sp2

некоторых случаях можно приближенно найти и численное значение напря- жения с помощью такого метода.

Метод лаковых покрытий дает меньшую точность при исследовании концентрации напряжений, поэтому его применяют в тех случаях, когда по каким-либо причинам, например, из-за сложной конфигурации детали, при- менение оптического или других методов затруднено.

16.3. Понятие о контактных напряжениях

Задачу определения напряжений, возникающих при сжатии двух со- прикасающихся тел, называют контактной, а напряжения, возникающие по площадкам контакта, называют контактны- ми. Эти напряжения необходимо знать при проектировании подшипников, зубчатых пере- дач, шаровых и цилиндрических катков в опор- ных частях мостов и т. д.

Рассмотрим некоторые случаи распреде- ления местных напряжений и деформаций в контактных задачах. Эти задачи решены с по- мощью методов теории упругости и в данном курсе приводятся без доказательств.

В случае центрального сжатия двух упру- гих шаров диаметрами d1 и d2 (рис. 16.12) в мес- те их касания образуется круг, радиус которого определяется по формуле

Наибольшее напряжение находится в центре круга касания и в 1,5 раза превышает среднее значение напряжения:

201

В случае шара диаметром d1, лежащего на упругой плоскости, необхо- димо в формулах (16.1) и (16.3) положить d2 = ∞ .

Тогда при Е1 = Е2 = Е получим:

2

σmax = 0,623 PE2 . (16.5) d1

Как видно из формулы (16.5), наибольшее сжимающее напряжение в центре поверхности касания зависит лишь от отношения Pd12 . При посто-

янном значении этого отношения наибольшее напряжение σmax остается по- стоянным. Вычисленные по формуле (16.5) напряжения получаются, как правило, значительно выше предела прочности. Однако это не означает, что в месте контакта материал разрушается. Дело в том, что в этой области име- ет место объемное напряженное состояние. Материал работает в условиях, приближающихся к всестороннему сжатию. Поэтому допускаемые напря- жения на местное смятие принимаются значительно большими, чем при простом сжатии. Так, например, для закаленной тигельной стали, приме- няемой для изготовления шарикоподшипников при величинах нормальных напряжений, вычисленных по формуле (16.5) и равных 40000-50000 кгс/см2, разрушения соединения в месте контакта не происходит.

Для случая шара, лежащего на сфери- ческой вогнутой поверхности (рис. 16.13), в формулы (16.1) и (16.3) нужно поставить от- рицательное значение d2, что дает

При сжатии двух цилиндрических кат- ков различных диаметров площадь сопри- косновения имеет вид узкой прямоугольной

полосы, ширина которой определяется по формуле

где q – сжимающая сила, приходящаяся на единицу длины катка. Наибольшее напряжение в середине прямоугольника касания опреде-

лится формулой

202

Как видно из формулы (16.9), наибольшие напряжения зависят про- порционально от величины q/d1. При различном значении q и dl, но одина- ковом их отношении σmax будет одинаковым.

Так как по полученным формулам определяются местные напряжения смятия, то допускают довольно высокие величины этих напряжений.

Так, для сталей Ст. 3 и Ст. 4 величина допускаемых напряжений на смятие на оси площадки касания принимается равной 7000 кгс/см2, т. е. примерно в три раза выше предела текучести.

Аналогично рассмотренным случаям может быть вычислено наи- большее давление, возникающее в шарикоподшипнике при касании сталь- ного шарика и кругового желоба обоймы.

203

М-17. ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ ПРИ НАПРЯЖЕНИЯХ, ПЕРИОДИЧЕСКИ МЕНЯЮЩИХСЯ ВО ВРЕМЕНИ

17.0. Введение в модуль

Модуль содержит следующие структурные элементы:

1.Понятие об усталостном разрушении и его причины.

2.Виды циклов напряжений.

3.Понятие о пределе выносливости.

4.Диаграмма предельных амплитуд.

5.Факторы, влияющие на величину предела выносливости.

6.Расчет на прочность при переменных напряжениях.

Цель модуля – изучить методику расчета прочности при напряжени- ях, изменяющихся во времени.

17.1.Понятие об усталостном разрушении и его причины

Споявлением первых машин стало известно, что под воздействием напряжений, переменных во времени, детали машин разрушаются при на- грузках меньше тех, которые опасны при постоянных напряжениях. С раз- витием техники, созданием быстроходных машин и механизмов стали обна- руживаться изломы осей вагонов и локомотивов, бандажей, колес, рельсов, рессор, разного рода валов, шатунов, кривошипов, пружин, лопаток турбин

ит. п. Изломы деталей происходили не сразу, а иногда после длительной работы машины или механизма.

Как правило, детали разрушались без видимых остаточных деформа- ций даже в тех случаях, когда они изготовлялись из пластических материа- лов. Возникло предположение, что под влиянием переменных напряжений материал с течением времени постепенно перерождается, как бы «устает», и вместо пластического становится хрупким.

Позднее, с усовершенствованием лабораторных методов исследова- ния было установлено, что структура и механические свойства материала от переменных напряжений не меняются, но название «усталость» материалов, хотя оно не отвечает физической природе явления, осталось, и им повсюду пользуются и в настоящее время.

«Усталость» металлов давно привлекает внимание исследователей. Однако природа этих разрушений все еще во многом остается неясной. Наиболее удовлетворительное объяснение состоит в следующем. Металлы, являясь поликристаллическим телом, состоят из кристаллитов, разделенных прослойками, неметаллическими включениями и т. п. Кристаллиты не яв- ляются однородными; их строение зависит от условий кристаллизации, прокатки и т. д. Более или менее однородными можно считать части кри-

204

сталлитов – « зерна». Зерна одного и того же кристаллита обладают различ- ной упругостью, пластичностью, прочностью. При нагрузке отдельные зер- на испытывают разные напряжения по величине и направлению. Некоторые из них оказываются пластически деформированными, хотя среднее напря- жение по сечению может быть значительно ниже предела упругости. Как показали рентгенографические и металлографические исследования, меха- низм пластической деформации как при переменных, так и при постоянных нагрузках имеет одинаковую природу. Как в одном, так и в другом случае наблюдаются сдвиги и искажения кристаллической решетки. Однако между ними имеется качественное различие. Пластической деформацией от стати- ческого нагружения охватывается весь объем образца, и деформируется он в одном направлении. Пластическая же деформация от переменных нагру- зок сосредоточивается в малых объемах, состоящих из нескольких зерен.

В таких перенапряженных зернах возможно наиболее раннее образо- вание микротрещин. При определенной величине переменных напряжений образовавшаяся микротрещина в зернах прогрессирует, сливается с другими микротрещинами, пересекая весь кристаллит, и, в конечном счете, распро- страняется на некоторую область поперечного сечения детали.

Трещины от переменных нагрузок периодически раскрываются и за- крываются, в результате чего крупные зерна измельчаются. Этим можно объяснить наличие гладкой (мелкозернистой) зоны в месте усталостного разрушения. На дне трещин, как в остром надрезе, возникает большая кон- центрация напряжений. Материал в этом месте испытывает объемное на- пряженное состояние, тормозящее пластическую деформацию. Все это спо- собствует дальнейшему росту трещины, увеличение которой в конечном итоге сильно ослабляет сечение детали и приводит ее к внезапному (хруп- кому) разрушению.

Таким образом, под усталостью в настоящее время понимают про- цесс постепенного накопления повреждений материала при действии пере- менных напряжений, приводящий к образо- ванию трещин и разрушению. Свойство же материала противостоять усталости называ-

ется выносливостью.

На рис. 17.1 представлен усталостный излом вагонной оси. На этом рисунке отчет- ливо видна более гладкая зона постепенного развития трещины.

На рис. 17.2 показан излом рельса, где развитие трещины началось изнутри сечения. На рис. 17.3 изображен усталостный излом

205

оси, которая подвергалась изгибу и кручению. Усталостная трещина начала развиваться от мест концентрации напряжений на дне шпоночной канавки.

17.2. Виды циклов напряжений

Рассмотрим задачу об определении напряжений в точке С, располо- женной на контуре поперечного сечения вращающегося вала, показанного на рис. 17.4, а. Расчетная схема изображена на рис. 17.4, б. Координата точ- ки К в произвольный момент времени в зависимости от угла ϕ (рис. 17.4, в) определяется равенством y = r sin ϕ, где r – радиус вала.

Рис. 17.4

В сечении m-n действует изгибающий момент, от которого в точке К возникают нормальные напряжения

Наибольшее растягивающее напряжение σmax в точке К будет тогда, когда она займет положение точки 2 (см. рис. 17.4, в). Наибольшее сжи-

206

мающее напряжение σmin, будет в точке К, когда она займет положение точ- ки 4. Когда точка К попадает на нейтральную ось (положения точек 1 и 3), напряжение в ней будет равно нулю (σ = 0).

По уравнению (17.2) построен график, изображенный на рис. 17.5. Как видим, напряжения изменяются во времени периодически: через опреде- ленный промежуток времени Т (период) они проходят одно и то же значе- ние, причем характер изменения напряжений в начальной и конечной точ- ках периода одинаков. Например, от σmax они убывают до σmin и затем вновь

возрастают до σmax.

Изменение напряжения за один период называется циклом напряже- ний. Различным законам изменения напряжений соответствуют различные виды циклов. В приведенном примере и на рис. 17.5 рассмотрен так назы-

ваемый симметричный цикл.

Рис. 17.5

У симметричного цикла максимальное и минимальное значения на- пряжений численно равны между собой, но противоположны по знаку.

Если к вращающемуся валу приложить дополнительную продольную растягивающую силу постоянной величины, то к напряжениям (17.2) доба- вится среднее постоянное напряжение цикла σm = N F и напряжения в точке будут меняться, например, по закону, изображенному на рис. 17.6.

Рис. 17.6

Такой закон изменения напряжений носит название асимметричного цикла. У асимметричного цикла максимальные значения напряжений σmax численно не равны минимальным σmin.

Если знаки максимального и минимального напряжений различны, цикл называют знакопеременным. Если же знаки максимального и мини-

207

мального напряжений одинаковы, цикл называют знакопостоянным. В том случае, когда σmax или σmin равно нулю, цикл называют отнулевым.

Согласно рис. 17.6 можно написать следующие зависимости:

Циклы называют подобными, если они имеют одинаковый коэффи- циент асимметрии.

17.3. Понятие о пределе выносливости

Надо иметь в виду, что не любые по величине переменные напряже- ния вызывают усталостное разрушение. Оно может наступить при условии, если переменные напряжения в той или иной точке детали превзойдут свое критическое значение, называемое пределом выносливости (усталости).

Пределом выносливости называют наибольшее значение максимального напряжения цикла σmax (или σmin, если σmax < σmin ), которое не вызывает ус- талостного разрушения детали при неограниченно большом числе циклов. Предел выносливости обозначается σR, где R – коэффициент асимметрии цик- ла. При симметричном цикле предел выносливости обозначается σ-1, при про- стом растяжении и сжатии – σ+1, а при отнулевом – σ0.

При симметричном цикле предел выносливости σ-1 меньше по срав- нению с пределами выносливости других видов циклов, а определение его значительно проще, чем при других циклах. Для опытного определения σ-1 существует много машин; одна из них схематически изображена на рис. 17.7. На этой машине испытывают образцы на изгиб. Из испытывае- мого материала изготовляют 6 – 10 одинаковых образцов. Образец закла- дывают в машину и нагружают его через подшипники так, чтобы средняя часть образца подвергалась чистому изгибу, как это показано на эпюре мо- ментов (рис. 17.7).

Каждое волокно образца, вращаемого в машине, при повороте его на 180° будет попеременно то растянуто, то сжато. Задавая образцам различ- ные величины напряжений σmax цикла, определяют число циклов, необхо- димое для доведения образцов до разрушения. По результатам опыта стро- ят кривую выносливости σmax = f (N ) (где σmax – максимальное напряже- ние цикла, N – число циклов, при котором произошло разрушение образца)

208

(рис. 17.8). Из этого рисунка видно, что кривая σmax = f (N ) асимптотиче- ски приближается к прямой. Ордината горизонтальной асимптоты этой кри- вой при таком испытании будет равна пределу выносливости s-1.

Опыты показали, что если образец не разрушился, например, после 107 оборотов, то он не разрушится и при большем числе оборотов. Поэтому испытание образцов прекращается для черных металлов после 107 оборотов («база испытания»), а для цветных металлов – после 108. Кривые выносли- вости для цветных металлов не имеют асимптот, и ординаты их с ростом числа оборотов падают до нуля. Для них за предел выносливости берут наибольшие напряжения, для которых образец выдержал не менее 108 цик-

лов, и называют его пределом ограниченной выносливости. Для того чтобы иметь представление о порядке указанных величин числа циклов, заметим, что ось железнодорожного вагона на пути от Москвы до Владивостока ис- пытывает около 3×106 циклов.

17.4. Диаграмма предельных амплитуд

Экспериментально установлено, что предел выносливости при асим- метричном цикле больше, чем при симметричном, и зависит от степени асимметрии цикла:

R = σmin σmax .

При графическом изображении зависимости предела выносливости от коэффициента асимметрии необходимо для каждого R определить свое зна- чение предела выносливости. Сделать это затруднительно, так как в диапа- зоне от симметричного цикла до простого растяжения укладывается беско- нечное количество самых разнообразных циклов. Опытное определение sR для каждого вида цикла из-за большого количества образцов и длительного времени их испытания почти невозможно.

Вследствие указанных причин по ограниченному числу опытов для трех-четырех значений R строят диаграмму предельных циклов.

Предельным циклом называют такой, у которого максимальное на- пряжение равно пределу выносливости, т. е. smax = sR. По оси ординат диа-

граммы откладываем значение амплитудного sa, а по оси абсцисс – средне-

209

го σm напряжений предельного цикла. Каждая пара напряжений σa и σm, оп- ределяющая предельный цикл, изображается некоторой точкой на диаграм- ме (рис. 17.9). Как показал опыт, эти точки в общем случае располагаются на кривой АВ, которая на оси ординат отсекает отрезок, равный пределу вы- носливости симметричного цикла σ-1 (при этом цикле σm = 0 ), а на оси абс- цисс – отрезок, равный пределу прочности. В этом случае действуют посто- янные во времени напряжения:

Таким образом, диаграмма предельных циклов характеризует зависи- мость между величинами средних напряжений и величинами предельных амплитуд цикла.

Рис. 17.9

Любая точка М, расположенная внутри этой диаграммы, соответству- ет некоторому циклу, определяемому величинами σm(СМ) и σa(ME).

Для определения σmах, σmin цикла из точки М проводят отрезки MN и MD до пересечения с осью абсцисс под углом 45° к ней. Тогда (рис. 17.9):

NE = EM = ED = σa ;

= OD = OE + ED = σm + σa ; = ON = OE − NE = σm − σa .

Циклы, у которых коэффициенты асимметрии одинаковы (подобные циклы), будут характеризоваться точками, расположенными на прямой 01,

угол наклона которой определяется формулой tgα = σa σm.

Точка 1 соответствует предельному циклу из всех указанных подоб- ных циклов. С помощью диаграммы можно определить предельные напря- жения для любого цикла, например, для пульсирующего (отнулевого) σR = σ0 , у которого σmin = 0 , а σa = σm = σmax 2 (рис. 17.10). Для этого из

210