scherbo-sp2

Наступит такой момент, когда нулевая линия в какой-либо точке коснется сечения и займет положение I-I. Этому положению нулевой ли- нии на прямой ОА соответствует точка 1, к которой приложена сила Р. Ес- ли груз передвинуть за точку 1, еще дальше от центра тяжести, то нулевая линия дополнительно переместится, войдет внутрь поперечного сечения и разделит сечение на две части: сжатую и растянутую. Таким образом, точ- ка 1 является граничной точкой, за пределы которой нельзя перемещать груз, если мы не хотим, чтобы в поперечном сечении появлялись растяги- вающие напряжения.

Точно так же на прямых ОВ и ОС можно определить точки 2 и 3, ко- торые обладают теми же свойствами, что и точка 1.

Касательные II-II и III-III являются нулевыми линиями для тех случа- ев, когда сила приложена в точках 2 и 3.

Если мысленно провести бесчисленное множество прямых, исходя- щих из точки О, и определить на них граничные точки, то геометрическое место этих точек образует кривую, которая вокруг центра тяжести сечения очертит некоторую область, называемую ядром сечения. Всякая сжимаю- щая сила, приложенная где-либо внутри ядра сечения, вызывает во всем сечении только сжимающие напряжения. От растягивающей силы, прило- женной внутри этого ядра, возникают только растягивающие напряжения.

Таким образом, ядром сечения называется область, очерченная во- круг центра тяжести и характерная тем, что всякая продольная сила, приложенная внутри этой области, вызывает во всех точках поперечного сечения напряжения одного знака.

В тех случаях, когда колонна изготавливается из материала, плохо работающего на растяжение (например, бетон, камень, кирпичная кладка и т. п.), очень важно знать заранее размеры ядра сечения и его форму.

Для того чтобы построить ядро сечения, необходимо рассмотреть всевозможные положения касательных к контуру сечения и, предполагая, что эти касательные представляют собой нулевые линии, найти по отно- шению к главным осям сечения соответствующие координаты граничных точек ядра сечения, а затем по этим точкам очертить само ядро.

Рассмотрим часто встречающийся случай, когда сечение представля- ет собой многоугольник (рис. 10.22). Предположим сначала, что нулевая линия I-I совместилась с гранью AD. Найдем отрезки, отсекаемые ею на главных осях, и, применяя формулы (10.15), вычислим координаты уР и хР точки приложения силы, при которых имеет место указанное положение нулевой линии. Пусть это будет точка 1. Точно таким же образом можно определить точку 2, которой соответствует нулевая линия II-II, совпадаю- щая с гранью DB. В предыдущем пункте было сказано, что при движении силы по прямой нулевая линия вращается вокруг некоторой точки. Спра- ведливо и обратное положение; если нулевая линия вращается вокруг ка-

81

кой-либо точки, то сила в сечении перемещается по прямой. Таким обра- зом, если перевести касательную из положения I-I в положение II-II, вра- щая ее вокруг точки D, то сила должна пройти прямую 1-2, которая, и об- разует одну из сторон ядра сечения.

Предположим теперь, что все сечение обогнули касательными, про- веденными через угловые точки или грани внешнего контура, и вычислили положение вершин ядра сечения соответственно нулевым линиям I-I, II-II, III-III, IV-IV, V-V, VI-VI. Если полученные таким образом вершины 1, 2, 3, 4, 5 и 6 соединить прямыми линиями, то область, лежащая внутри этого контура, и будет представлять собой ядро сечения.

Таким образом, при сечении, имеющем форму многоугольника, ядро сечения также будет многоугольником. Однако в тех случаях, когда контур сечения имеет внутренние углы, как это показано, например, на рис. 10.23, число сторон у ядра сечения не совпадает с числом сторон самого сечения. Это объясняется тем, что нулевую линию нельзя совместить с ребром АВ и ВС, так как в этом случае она не будет являться касательной к контуру се- чения, а будет его пересекать.

Рис. 10.22 Рис. 10.23

Рассмотрим примеры построения ядра сечения для ряда наиболее распространенных случаев.

1. На рис. 10.24, а показано прямоугольное сечение со сторонами b и h. Рассмотрим четыре положения касательной, совмещенной со сторонами прямоугольника. Для касательной I-I отрезки, отсекаемые на осях коорди- нат, равны ax = ∞, ay = h2. Координаты первой вершины ядра сечения со-

ответственно определяются по формулам (10.15):

Таким образом, точка 1 лежит на оси oу на расстоянии h/6 от oси ох, причем это расстояние откладывается в сторону, противоположную каса- тельной I-I. Точно так же точка 3 для касательной III-III будет лежать на

82

Рис. 10.24

Для того чтобы завершить построение ядра сечения, необходимо обогнуть касательной весь контур сечения. Это можно сделать путем вра- щения касательных около угловых точек. Каждому такому вращению со- ответствует прямая линия у ядра сечения. Таким образом, ядро сечения имеет вид ромба, как это показано па рис. 10.24, а.

2. Рассмотрим построение ядра сечения для двутаврового профиля. Так же как в предыдущем случае, необходимо рассмотреть четыре поло- жения касательных (рис. 10.24, б). Ввиду симметрии достаточно опреде- лить две вершины ядра сечения. Для точек, лежащих на оси у, имеем

cy = ± ( ix2 ) , h 2

для двух других точек аналогично получим

2

cx = ± ( iy ) . b 2

Численные значения этих отрезков зависят от соотношения размеров двутавра. Ядро сечения для двутаврового профиля, так же как и для пря- моугольника, имеет вид ромба.

3. Построить ядро сечения для круглого сплошного сечения. Ввиду то- го, что круг симметричен относительно центра (полярная симметрия), доста- точно рассмотреть одно произвольное положение касательной (рис. 10.24, в). Расстояние до грани ядра сечения равно

83

Таким образом, ядро сечения для круга ра- диуса R очерчено также по окружности радиуса r.

Нa рис. 10.25 показано ядро сечения для тавра. Система касательных к контуру сечения образует шестиугольник, поэтому и ядро сечения также имеет очертание шестиугольника.

10.7. Одновременное действие кручения

Одновременное действие кручения с изгибом чаще всего встречается в различных деталях машин. Например, коленчатый вал воспринимает значительные крутящие моменты и, кроме того, работает на изгиб. Оси моторных вагонов электропоезда, а также трамвайного вагона работают на изгиб с кручением. Так, например, на рис. 10.26, а показан коленчатый вал, на который действуют вертикальная сила Р и горизонтальная Н. Предположим, что от двух сил в правом подшипнике возникают реакции Ву и Вх и реактивный крутящий момент Мх. Рассмотрим только один уча- сток вала АВ.

Рис. 10.26

На рис. 10.26, б, в, г показаны две эпюры изгибающих моментов в двух взаимно перпендикулярных плоскостях и одна эпюра крутящих мо- ментов. Предположим, что вал имеет круглое сечение, у которого, как из- вестно, все оси являются главными осями. В этом случае два изгибающих момента можно геометрически сложить и найти суммарный изгибающий момент, который также лежит в главной плоскости стержня и, следова- тельно, вызовет обычный изгиб:

84

Mи = M x2 + M y2 .

Если определить суммарный момент в целом ряде точек и построить эпюру МИ для всех звеньев бруса, то в общем случае она окажется криво- линейной. Кроме того, если откладывать ординаты этой эпюры в плоско- сти действия суммарного момента, то для многих задач она окажется про- странственной.

Определив в расчетном сечении Ми и Мкр, можно установить, что в этом сечении наибольшие нормальные напряжения равны

σ= Mи Wи

инаибольшие касательные напряжения

τ= M кр . Wкр

Как те, так и другие напряжения могут достигать значительных ве- личин. Поэтому возникает вопрос: какое из двух указанных напряжений представляет большую опасность с точки зрения нарушения прочности материала, из которого изготовлен вал?

Для окончательного решения вопроса прочности вала при одновре- менном действии изгиба и кручения необходимо изучить материал сле- дующего модуля.

85

М-11. ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ

11.0. Введение в модуль

Модуль содержит следующие структурные элементы:

1.Основные положения.

2.Первая, вторая и третья теории прочности.

3.Энергетическая теория прочности.

4.Теория прочности Мора.

Цель модуля – ознакомиться с теориями прочности.

11.1. Основные положения

При оценке прочности различных конструкций и машин часто при- ходится учитывать, что многие их элементы и детали работают в условиях сложного напряженного состояния.

В М-3 части 1 было установлено, что напряженное состояние в ка- кой-либо точке тела полностью определяется одним главным напряжением при линейном напряженном состоянии, двумя – при плоском и тремя – при объемном напряженных состояниях.

При возрастании действующей нагрузки главные напряжения будут соответствующим образом увеличиваться, и при некотором определенном их значении наступит опасное, или так называемое предельное напряжен- ное состояние материала в исследуемой точке.

Для пластичного материала за предельное принимается такое на-

пряженное состояние, при котором начинают развиваться заметные ос- таточные (пластические) деформации.

Для хрупкого материала предельным считается напряженное со-

стояние, которому соответствует начало разрушения.

Чтобы оценить, насколько опасно то или иное напряженное состояние, и определить соответствующий коэффициент запаса, необходимо было бы опытным путем установить значения главных напряжений, при которых на- ступает предельное напряженное состояние. Выполнение такой задачи, одна- ко, оказывается простым лишь при одноосном растяжении (сжатии).

Предельное значение единственного в этом случае главного напряжения определяется непосредственно из опыта и принимается равным пределу теку- чести σТ для пластичных материалов и пределу прочности σВ для хрупких.

Таким образом, если известна расчетная величина напряжения σ, то коэффициенты запаса по отношению к указанным пределам равны

86

Результаты многочисленных опытов с одноосным растяжением и сжатием, т. е. при линейном напряженном состоянии, накопленные в тече- ние длительного времени, позволяют в этом случае с достаточной полно- той судить о величине предельных напряжений для различных материалов.

Иначе обстоит дело при плоском и объемном напряженных состоя- ниях. В этих случаях развитие деформаций и разрушение материала про- исходят уже при действии двух или трех главных напряжений, для кото- рых число встречающихся на практике соотношений по величине и знаку не ограничено. Поэтому число опытов, которые необходимо было бы про- вести для выявления предельных значений напряжений, также велико, и в связи с этим постановка таких опытов весьма затруднительна и практиче- ски неосуществима.

Имеющаяся в настоящее время техника для экспериментального ис- следования сложного напряженного состояния позволяет пока проводить испытания лишь для ограниченного числа некоторых частных соотноше- ний между главными напряжениями.

Указанные обстоятельства приводят к необходимости создания такой методики расчета, которая позволяла бы оценить степень опасности любого напряженного состояния для того или иного материала, основываясь глав- ным образом на результатах опытов при простом растяжении и сжатии.

Решение этой важной задачи осуществляется с помощью теорий, которые первоначально были названы теориями прочности.

В последнее время такие теории в целях более полной увязки их со- держания с поставленной задачей называют также теориями предельных напряженных состояний. Учитывая это, при изложении настоящего моду- ля сохранено для него условное, но исторически сложившееся название «Теории прочности».

Построение таких теорий основывается на предпосылке, состоящей в том, что два каких-либо напряженных состояния считаются равнопроч- ными и равноопасными, если они при пропорциональном увеличение глав- ных напряжений в одно и то же число раз одновременно становятся пре- дельными.

Вэтом случае коэффициент запаса прочности для обоих напря-

женных состояний при указанных условиях будет одинаковым.

Вкачестве одного из равноопасных напряженных состояний принимается одноосное растяжение, хорошо изученное экспериментально (рис. 11.1, а), а в качестве другого – напряженное состояние, опасность которого для данно- го материала необходимо оценить. В дальнейшем будем считать, что изу-

87

чаемое напряженное состояние задано тремя главными напряжениями σ1,

σ2 и σ3 (рис. 11.1, б) при соблюдении следующего неравенства: s1 ³ s2 ³ s3.

Чтобы использовать принятую предпосылку, необходимо связать главные напряжения двух равноопасных состояний какой-либо определен- ной зависимостью. Это оказывается возможным, если известна общая для обоих рассматриваемых состояний причина разрушения материала или его перехода в предельное напряженное состояние.

Рис. 11.1

Однако определение истинной причины разрушения материала яв- ляется труднейшей и в настоящее время до конца не разрешенной еще за- дачей.

Это обстоятельство не позволило создать единую общую теорию прочности и повлекло за собой появление многих теорий, каждая из кото- рых основывается на своей гипотезе о причине наступления предельного напряженного состояния. Исходя из такой гипотезы, составляются соот- ветствующие расчетные условия и формулы, связывающие между собой определенной зависимостью главные напряжения изучаемого напряжен- ного состояния (плоского или объемного) с главным напряжением при од- ноосном растяжении.

В дальнейшем излагаются основные сведения о наиболее известных теориях.

11.2. Первая, вторая и третья теории прочности

Первая теория прочности (одна из старейших) основывается на гипотезе о том, что причиной наступления предельного напряженного со- стояния являются наибольшие нормальные напряжения. Обычно эту тео- рию называют теорией наибольших нормальных напряжений.

В соответствии с принятой гипотезой должно соблюдаться следую- щее условие:

88

состоит в том, что ею не учитываются два других главных напряжения: σ2, σ3. В действительности же эти напряжения оказывают большое влияние на прочность материала. Так, например, при всестороннем (гидростатиче- ском) сжатии цементного кубика он, не разрушаясь, выдерживает напря- жения, во много раз превосходящие предел прочности. Аналогично ведут себя и другие материалы в тех же условиях.

Выводы данной теории подтверждаются опытом лишь при растяже- нии хрупких материалов, разрушение которых происходит путем отрыва одной части материала от другой без развития заметных пластических де- формаций.

В настоящее время первая теория не применяется и имеет лишь ис-

торическое значение.

Вторая теория прочности исходит из гипотезы о том, что причиной наступления предельного напряженного состояния в материале являются наибольшие удлинения. Эта теория получила название теории наибольших удлинений.

Для объемного напряженного состояния, когда главные деформации ε1 > ε2 > ε3, общее условие, отвечающее принятой гипотезе, запишется так:

где ε1 – расчетная величина наибольшего удлинения для исследуемого напряженного состояния;

ε2 – предельное значение относительного удлинения, полученное из опыта на одноосное растяжение.

При определении ε1 и ε0 используют известные зависимости Гука:

При этом условно считают, что зависимости (а) и (б) остаются спра- ведливыми вплоть до наступления предельного напряженного состояния,

89

что по существу отвечает хрупкому разрушению материала, которое про- исходит без заметных пластических деформаций.

После подстановки в условие (11.4) зависимостей (а) и (б) получим

σ1 − μ(σ2 + σ3 ) < σ0. (в)

Неравенство (в) справедливо лишь при положительной левой части, которая в этом случае будет соответствовать наибольшему удлинению, что согласуется с принятой гипотезой.

Представляя левую часть неравенства (в) как расчетное напряжение σрасч, получим расчетную формулу

Для плоского напряженного состояния, используя для главных на- пряжений выражение (3.13) (М-3), можно записать следующее условие:

также лишь в тех случаях, когда величина σрасч положительна. Преимущество второй теории по сравнению с первой состоит в том,

что ею учитывается влияние всех главных напряжений.

С помощью этой теории можно объяснить разрушение хрупких ма- териалов (бетон, камень) при простом сжатии, когда торцы образцов, че- рез которые передается давление, смазанных маслом или парафином. В этом случае, как было указано в М-2 части 1, разрушение материала со- провождается образованием трещин, параллельных сжимающему усилию, что объясняется развитием линейных деформаций, сопутствующих рас- ширению материала в направлении, перпендикулярном оси образца.

Как и первая, вторая теория недостаточно подтверждается опытами

и в большей степени оправдывается для хрупких материалов.

Третья теория прочности строится исходя из гипотезы, что причи-

ной наступления предельного напряженного состояния являются наи- большие касательные напряжения. Поэтому ей присвоено название тео- рии наибольших касательных напряжений.

Так как экспериментально установлено, что пластические деформа- ции сопровождаются сдвигами и соответствующими касательными на- пряжениями, то принятую гипотезу можно считать связанной с развитием заметных пластических деформаций.

Общее условие, которое отвечает данной теории, имеет вид

где τmах – расчетная величина наибольшего касательного напряжения для исследуемого напряженного состояния;

τ0 – предельное значение касательного напряжения, определяемое из опыта на простое растяжение.

90