Добавил:

kane4na kane4na@yandex.ru Полоцкий Государственный Университет (ПГУ), город Новополоцк. Что бы не забивать память на компьютере, все файлы буду скидывать сюда. Надеюсь эти файлы помогут вам для сдачи тестов и экзаменов. Учение – свет. Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Полоцкий Государственный Университет

Предмет:

Сопротивление материалов

Файл:

scherbo-sp2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.01.2023

Размер:

12.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 386 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

W n = S	сж + S раст – для несимметричного сечения.
	x1	x1
Здесь Sxсж –		статический момент сжатой части сечения относительно
	1
нейтральной оси x1;
Sxраст –	статический момент растянутой части сечения относительно
1

той же оси, взятый по модулю.

Нейтральная ось х1 делит площадь поперечного сечения балки на две части. Из (9.9) имеем

	=	6W nσ
P		T	.	(9.10)

2 max		l

	Так как Wn > Wх, то из сравнения выражений (9.10) и (9.8) видно, что
P	> P		, т. е. в этом случае разрушающая сила значительно больше,
2 max	1 max
чем P		.
	1 max
	Найдем отношение P			к P :
			2 max	1max

Для прямоугольного сечения

α= 2 и β ≈ 1,8. 3

Для двутавровых балок α ≈ 1,16 , и при расчете по разрушающим на- грузкам их грузоподъемность увеличивается на 38 %.

9.5. Дифференциальное уравнение оси изогнутой балки, лежащей на сплошном упругом основании

В инженерной практике часто встречаются балки, лежащие на сплошном упругом основании. К таким балкам могут быть отнесены шпа- лы железнодорожного пути, ленточные фундаменты зданий, опирающиеся на грунты, фундаменты плотин и др. Кроме того, к таким балкам относятся также и рельсы, у которых число опор бесконечно велико, а расстояние между ними мало по сравнению с длиной.

Расчет балки на упругом основании не может быть выполнен с по- мощью уравнений статики. Эта задача является статически неопредели- мой. Уравнение статики позволяет найти только суммарную реакцию со стороны основания и не дает возможности определить закон распределе- ния реакции по длине балки. Величина реакции в каждой точке зависит от прогиба балки, а прогиб балки в свою очередь зависит от реакции со сто- роны основания.

Для решения задачи обычно принимаются гипотезы, связывающие величины реакций с осадкой основания.

Одной из наиболее распространенных гипотез является гипотеза пропорциональной зависимости между реакцией и осадкой основания.

Такая гипотеза относительно свойств грунта впервые была предложена акад. Н. И. Фуссом в 1801 г. и в применении к балкам на упругом основа- нии широко использована проф. Е. Винклером.

За последнее время пpeдложен целый ряд новых гипотез. Так, одна из них представляет, что упругое двумерное основание состоит из отдель- ных пружин, соединенных в верхних концах нерастяжимой горизонтально расположенной нитью, концы которой неподвижно закреплены вне осно- вания. Широкое распространение получили так называемые гипотезы уп- ругого полупространства и др.

Однако решение инженерных задач методами, основанными на этих гипотезах, является пока еще весьма громоздким.

Рассмотрим расчет балки на упругом основании по гипотезе Фусса – Винклера. На рис. 9.19 показана деформация балки oт внешней нагрузки, распределенной по произвольному закону.

Рис. 9.19

Реакция со стороны основания в каждой точке принимается про- порциональной прогибу:

	r = −kv,	(9.11)
	′
где k = k b;
r –	реакция основания, приходящаяся на единицу длины балки, тс/м;
v –	просадка основания, м;
k' –	коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом
податливости основания, или коэффициентом постели, тс/м3.
Этот коэффициент представляет собой отпор основания, приходя-
щийся на 1 м2 площади при просадке, равной единице;
b –	ширина постели балки.
Коэффициент k имеет размерность тонна-сила на квадратный		метр

(тс/м2). Он определяет силу, приложенную к единице длины балки со стороны основания при просадке, равной единице. Знак минус в выражении (9.11) оз- начает, что реакция противоположна направлению просадки. Таким образом, со стороны основания на балку действует сплошная распределенная нагрузка

интенсивностью r. Суммарную интенсивность распределенной нагрузки, при- ложенной к балке в произвольном сечении, обозначим через р:

p = r + q = −kv + q,

(9.12)

где q – приложенная к балке заданная распределенная нагрузка, которая считается положительной, если она направлена вверх.

Для решения этой статически неопределимой задачи используем дифференциальное уравнение оси изогнутого бруса

d 2v	=	M	.	(9.13)

dz2 EJ

Однако уравнением (9.13) непосредственно воспользоваться трудно, так как величина изгибающего момента в произвольном сечении выража- ется через прогиб v с помощью интеграла.

Для упрощения задачи оказывается более удобным повысить поря- док дифференциального уравнения.

Продифференцируем два раза уравнение (9.13):

d 2v

= Q;

dz2

d 2

d 2v

= p.

dz2

В дальнейшем будем рассматривать случаи, когда жесткость балки по длине постоянна (EJ = const):

d 4v	=	p	.	(9.14)

dz4		EJ

Подставив из выражения (9.12) в (9.14) значение интенсивности распреде- ленной нагрузки, получим

d 4v

−kv + q

dz4

или

d 4v

v =

(9.15)

dz4

Введем обозначения:

= 4β4 ;

β = 4

(9.16)

4EJ

Величина β имеет размерность

(длина –

м; см). Тогда дифференци-

длина

альное уравнение изгиба (9.15) принимает вид

d 4v

+ 4β4v =

(9.17)

dz4

Уравнением (9.17) особенно удобно пользоваться в случае, если q = 0 , так как тогда оно будет однородным.

Для тех случаев, когда нагрузка q линейно зависит от z, это уравне- ние лучше представить в другом виде. Продифференцируем два раза урав- нение (9.17), сначала умножив его на EJ, тогда

d 6v

+ 4β4 EJ

d 2v

d 2q

dz2

dz6

dz2

или иначе

)

′′

+ 4β

′′

( EJv

= q .

′′

= M , получим

Учитывая, что EJv

d 2M

+ 4β

′′

dz4

M = q .

(9.18)

Оба дифференциальных уравнения равносильны, и ими можно поль- зоваться при решении практических задач.

9.6.Расчет бесконечно длинной балки, лежащей на сплошном упругом основании, при действии на нее одной сосредоточенной силы Р

Рассмотрим случай, когда на балку бесконечной длины действует од- на сосредоточенная сила Р. Принимаем, что упругое основание оказывает одинаковое сопротивление как сжатию, так и растяжению. Такое предполо- жение позволяет пользоваться выведенным ранее дифференциальным урав- нением изгиба балки. Упругая линия балки будет симметричной относи- тельно точки приложения груза P, так как балка имеет бесконечную длину.

Учитывая симметрию балки, рассмотрим лишь одну ее половину (рис. 9.20). Начало координат поместим в точке приложения груза P.

Рис. 9.20

Для рассматриваемого случая загружения балки (q = 0) дифференци- альное уравнение изгиба (9.17) запишется в виде

d v + 4β4v = 0. (9.19) dz4

Это линейное дифференциальное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами. Интеграл этого уравнения можно предста- вить в виде

v = Aeβz sin βz + Beβz + Ce−βz sin βz + De−βz cosβz,

(9.20)

где А, В, С и D – произвольные постоянные, определяемые из граничных условий.

Первые два граничных условия (при z = ∞ v = 0 и v′ = 0 ) дают А = В = 0. В самом деле, последние два слагаемые выражения (9.20) после под- становки значения z = ∞ равны нулю, так как е-∞ = 0, а первые слагаемые

могут быть равны нулю лишь при условии А = В = 0. Таким образом, выражение (9.20) принимает вид

v = Ce−βz sin βz + De−βz cosβz.

(9.21)

Учитывая далее, что из условия симметрии угол наклона касательной к оси бруса в начале координат (под грузом) будет равен нулю (рис. 9.20), получим третье граничное условие:

при z = 0

dv = 0. dz

После дифференцирования

	dev	= C (−βe−βz sin βz + βe−βz cosβz ) + D (−βe−βz cosβz − βe−βz sin βz )

	dz
и выполнения третьего граничного условия получим
		0 = C(0 + β) + D(−β + 0), или С = D.
	Выражение (10.21) принимает вид
		v = Ce−βz (sin βz + cosβz).	(9.22)
	Для определения четвертой произволь-
ной постоянной С вырежем двумя бесконечно
близкими сечениями участок балки у места
приложения силы Р (рис. 9.21). Рассматривая
этот участок балки в равновесии и учитывая
симметрию балки, получим четвертое гранич-
ное условие:
	при z = 0 Q = EJ , v′′′ = − P 2.		Рис. 9.21

Дифференцируя последовательно выражение (9.22), получим:

v′ = Cβ −e−βz (sin βz + cosβz) + e−βz (cosβz − sin βz) = −2Cβe−βz sin βz; v′′ = −2Cβ2 (−e−βz sin βz + e−βz cosβz) = −2Cβe−βz (cosβz − sin βz);

v′′′ = −2Cβ2 −e−βz (cosβz − sin βz) + e−βz (−sin βz − cosβz) = 4Cβ3e−βz cosβz;

vIV = 4Cb4 (-e−βz cosbz - e−βz sin bz) = -4b4 Ce−βz (cosbz + sin bz) .

или

vIV = -4b4v.

Четвертая производная от v взята для проверки правильности инте- грала (9.20) дифференциального уравнения (9.19). Подстановка vIV и v в выражение (9.19) дает

-4b4v + 4b4v = 0.

Это означает, что интеграл (9.20) действительно удовлетворяет дифферен- циальному уравнению (9.19).

Подставляя в выражение для v′′′ z = 0 и учитывая четвертое гранич- ное условие, получим

EJ × 4b3C = - P2,

откуда

C = -

8b3EJ

Подставляя полученное значение С в выражения производных и учи-

тывая при этом, что EJ v" = М и EJ v'" = Q, имеем:

v = -

e−βz

(sin bz + cosbz) = -

8b3EJ

= j =

e−βz sin bz =

h ;

4b2EJ

4b2 EJ

M =

e−βz

(cosbz - sin bz) =

h ;

Q = -

e−βz cosbz = -

h .

Для гиперболо-тригонометрических функций h, h1, h2, h3 по выра- жениям

h = e−βz (cosbz + sin bz),
h = e−βz
h = e−βz	(cosbz - sin bz),
1		(9.23)
h = e−βz	cosbz,	(9.23)
h = e−βz	cosbz,
2
h = e−βz sin bz
3

составлены таблицы для обычно применяемых значений аргумента bz. По- сле определения значений функций для различных сечений строят эпюры v, М и Q для правой половины балки. Эпюры v и M будут симметричны, а эпюра Q – кососимметрична относительно начала координат.

При определении коэффициента β следует иметь в виду, что коэффи- циент k для грунтов средней плотности колеблется в пределах от 0,5 до 5 кгс/см3, для плотного грунта – от 5 до 10 кгс/см3, для весьма плотных грунтов – от 10 до 20 кгс/см3.

Общий вид линии прогибов v и эпюр М и Q для бесконечно длинной балки, лежащей на сплошном упругом основании, представлен на рис. 9.22.

Рис. 9.22

Найдем абсциссы нулевых точек в эпюре прогибов:

При z = z0 v = 0.

Подстановка в выражение (9.23) дает

z=z

= e−βz0

(sin βz

+ cosβz

) = 0,

откуда

sin βz0 + cosβz0 = 0,

или

tgβz0

= −1, βz0

π;

π и т. д.,

z0 =

3π

;

7π

;

11π

4β

′	′′	и т. д.
z0 , z0	, z0	и т. д.

Абсциссы нулевых точек в эпюрах М и Q находятся аналогичным способом. Они показаны на рис. 9.22.

Таким образом, для определения положения нулевых точек необхо- димо знать значение коэффициента податливости основания и жесткость балки на изгиб.

9.7. Понятие о расчете коротких балок, лежащих на сплошном упругом основании. Метод начальных параметров

Для короткой балки, лежащей на сплошном упругом основании (рис. 9.23), воспользуемся дифференциальным уравнением (9.18)

d 4M + 4β4M = +q′′. dz4

Рис. 9.23

В дальнейших рассуждениях ограничимся рассмотрением случая линейных нагрузок, когда q" = 0.

Тогда уравнение (9. 18) будет однородным:

d 4M + 4β4M = 0. dz4

Академик А.Н. Крылов предложил решение этого уравнения в виде

M = AY1(z) + BY2 (z) + CY3 (z) + DY4 (z),

где Y1(z), Y2 (z), Y3 (z), Y4 (z) – функции А.Н. Крылова, имеющие вид:

Y1(z) = chβz cosβz;
	1
Y (z) =	1			(chβz sin βz + sh cosβz);
Y (z) =				(chβz sin βz + sh cosβz);
2	2

Y (z) =			1		shβz sin βz;
Y (z) =					shβz sin βz;
3	2
	2
		1
Y (z) =		1		(chβz sin βz − sh cosβz).
Y (z) =				(chβz sin βz − sh cosβz).
4	4
	4

(9.24)

(9.25)

Между этими функциями имеется простая дифференциальная зави- симость, которую легко представить в табличной форме (табл. 9.1).

Таблица 9.1

№

Функция и ее значение

Производные функции по z

п/п

первая

вторая

третья

четвертая

Y1(s) = chβz cosβz

−4βY4 (z)

−4β2Y3 (z)

−4β3Y2 (z)

−4β4Y1(z)

Y (z) =

(chβz ×

βY1(z)

−4β2Y (z)

−4β4Y (z)

−4β3Y (z)

×sin

βz + shβz cosβz)

Y (z) =

shβz ×

βY2 (z)

−4β3Y4 (z)

β2Y1(z)

−4β4Y3 (z)

×sin βz

Y (z) =

(chβz ×

βY3 (z)

β2Y2 (z)

β3Y1(z)

−4β4Y4 (z)

sin βz − shβz cosβz)

Дифференцируя последовательно по z выражение (9.24), получим

dM = Q = − A4βY4 (z) + BβY1(z) + CβY2 (z) + dz

d M2 = p = +q − kv = − A4β2Y3 (z) − dz

− B4β2Y4 (z) + Cβ2Y1(z) + Dβ2Y2

d M3 = +q′ − kv′ = − A4β3Y2 (z) − B4β3Y3 (z) − dz

C4β3Y4 (z) + Dβ3Y1(z).

DβY3 (z);

(z); (9.26)

Для определения произвольных постоянных А, В, С, D используем

граничные условия. При z = 0	M = M 0 ,				Q = Q0
q − kv = q				− kv ;			(9.27)
и	′	′	0	′	0 ′
q		− kv	= q0		− kv0	.
Из выражений (9.25) следует (при z = 0):
Y1(0) = 1,		Y2 (0) = Y3 (0) = Y4 (0) = 0.

Подстановка системы (9.27) в выражения (9.24) и (9.26) дает:

M	0	= A,	q − kv = β2C;
	0		0	0
Q0 = βB,			′	′	3	D,
Q0 = βB,			q0	− kv0	= β	D,

или

A = M

B =

Q ,

C =

(q0 − kv0 ),

D =

′

β2

β3

(q0 − kv0 ).

Подставляя полученные значения произвольных постоянных в урав-

нения (9.24) и (9.26), имеем:

q0 − kv0

′

= M Y (z) +

Y (z) +

− kv0

Y (z);

β2

β3

q0 − kv0

Q = −4βM Y (z) + Q Y (z) +

Y (z) +

′

β2

(q0 − kv0 )Y3 (z);

(9.28)

q1 − kv1 = −4β

M0Y3 (z) − 4βQ0Y4 (z) +

′

+(q − kv )Y (z) +

− kv0

Y (z);

′

M 0Y2 (z) −

Q0Y3 (z) −

+q1

− kv1 = −4β

4β

−4β(q0 − kv0 )Y4 (z) +

′

(q0 − kv0 )Y1(z).

Таким образом, все интересующие нас величины выражены через их начальные значения, поэтому такой метод решения получил название ме-

тода начальных параметров.

Формулы (9.28) действительны только для случая непрерывной нагрузки по всей длине балки или для первого участка загружения, описываемого одним дифференциальным уравнением оси изогнутого бруса.

Если балка имеет па протяжении своей длины несколько участков за- гружения, то на каждом из участков будет свое дифференциальное уравне- ние оси изогнутого бруса, а следовательно, свои значения М, Q, v и v'.

Опуская доказательства, приведем окончательные формулы, по ко- торым определяют М, Q, v и v' для случая нескольких участков загруже- ния балки.

Эти формулы имеют вид:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 386 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Сопротивление материалов

#
01.06.202211.08 Mб5scherbo-sp1.pdf
#
24.01.202312.06 Mб5scherbo-sp2.pdf
#
24.01.2023497.82 Кб4Лекция Внецентренное сжатие.pptx
#
01.06.2022711.68 Кб4Лекция Геометрические характеристики.pptx
#
24.01.2023451.06 Кб6Лекция Косой изгиб.pptx
#
01.06.20221.2 Mб7Лекция Кручение.pptx
#
01.06.2022639.54 Кб6Лекция Напряженное состояние.pptx