scherbo-sp2

образом, в реальных балках в момент резонанса динамический коэффици- ент не будет равен бесконечности, но, тем не менее, он достигает очень больших значений. Поэтому резонанс весьма опасен для сооружений, и его нельзя допускать.

Пример

Рассмотрим пример исследования вынужденных колебаний (рис. 15.21). Балка имеет двутавровое сечение № 16 (Jх = 873 см4). Пролет балки l = 3 м; ; вес груза на конце G = 300 кгс. Найти наи- большие напряжения в заделке, если на груз действует вибрационная сила

Массой балки и силами сопротивления пренебрегаем.

Для определения частоты собст- Рис . 15.21 венных колебаний

и прогиб конца балки от единичной силы:

Момент в заделке

M = 300 ×300 +100 ×300 ×1,51 =135300кгс×см.

Вычисляем момент сопротивления: W = 873:8 =109см3 и находим максимальные напряжения:

s =135300:109 =1241 кгссм2.

191

М-16. КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ

16.0. Введение в модуль

Модуль содержит следующие структурные элементы:

1.Общие понятия о концентрации напряжений.

2.Изучение метода концентрации напряжений с помощью оптическо- го метода и метода лаковых покрытий.

3.Понятие о контактных напряжениях.

Цель модуля – изучить особенности расчета прочности с учетом кон- центрации напряжений.

16.1. Общие понятия о концентрации напряжений

Выведенные ранее формулы для определения напряжений при растя- жении, кручении и изгибе справедливы только в том случае, когда сечение отстоит на достаточном расстоянии от мест резкого изменения формы тела (выточек, отверстий и т. п.).

Напряжения, возникающие в точках вблизи мест приложения сосре- доточенных сил, около выточек, у краев отверстий, в местах резкого изме- нения формы тела, у надрезов и трещин, не могут быть найдены с помощью элементарной теории.

В таких местах наблюдается явление резкого увеличения напряжений,

которое называется концентрацией напряжений.

Так, например, при сжатии стержня (рис. 16.1), имеющего резкое из- менение размеров поперечного сечения, напряжения в сечении 1-1 и 2-2 можно определять по обычным формулам:

192

предположении совершенной упругости), к номинальному напряжению в той же точке:

ασ = σmax σном .

За номинальное напряжение σном принимают такое напряжение, кото- рое определяется по обычным формулам сопротивления материалов без учета эффекта концентрации.

Обычно номинальное напряжение определяют для наиболее ослаб- ленного сечения. Так, например, для полосы, ослабленной отверстием

(рис. 16.2),

σном = P Fnetto.

верстия r, то в наиболее ослабленном сечении К-К (см. рис. 16.2) напряже- ния σz определяются по формуле

где σ – среднее напряжение в сечении, достаточно удаленном от места ослабления;

у – расстояние от центра отверстия до точки, в которой определяется напряжение.

При y = r σmax = 3σ. Таким образом, при r B → 0 σном = σ и ασ = 3. С увеличением у напряжения быстро убывают, асимптотически при-

ближаясь к напряжениям σ.

193

В точках т в вертикальных площадках возникают сжимающие на- пряжения.

Величина напряжений в вертикальном сечении определяется формулой

рис. 16.2), эти напряжения быстро затухают.

Приведенное точное решение может быть использовано лишь для случая пластинки, ширина которой велика по сравнению с диаметром от- верстия ( B ³10r ). С уменьшением ширины пластинки теоретический коэф- фициент концентрации напряжений возрастает, а напряжения у наружных краев пластинки (точки К) становятся меньше σ.

В табл. 16.1 приведены значения теоретического коэффициента кон- центрации напряжений для различных значений отношения диаметра от- верстия к ширине пластинки.

σz = 0,75σ.

Следует отметить, что только для некоторых задач о концентрации напряжений найдены точные аналитические решения (двусторонняя или круговая выточка, отверстие и некоторые другие). В последнее время в свя- зи с развитием вычислительной техники стали широко использоваться чис- ленные методы решения задач теории упругости. Эти методы позволяют с достаточной для практических целей точностью определить коэффициент концентрации в случае отверстий или выточек произвольной формы.

Во всех других случаях определения величины коэффициента концен- трации и закона распределения напряжений по сечению производятся экс- периментальным путем, а именно: методами фотоупругости, тензометрии, методами лаковых покрытий, аналогий и др.

Концентрация напряжений как при растяжении, так и при других ви- дах деформаций значительно зависит от формы отверстия или выточки.

Рассмотрим случай ослабления широкой пластинки эллиптическим отверстием (рис. 16.3).

194

Этой же формулой можно пользоваться для выточек другой формы, так как существенное влияние на коэффициент концентрации оказывает только кривизна у дна выточки. Так, например, с достаточной степенью точности эта формула может быть применена для выточек, показанных на рис. 16.5, а, б.

Теоретически при наличии выточки, имеющей острый угол, в точке, соответствующей вершине этого угла, напряжения равны бесконечности. Практически же из-за пластических деформаций напряжения не равны бес- конечности, но достигают очень больших значений.

Для деталей, изготовленных из пластического материала, в котором площадка текучести принимается простирающейся безгранично (см. рис. 7.37, М-7), концентрация напряжений при статической нагрузке не опасна и мо- жет совсем не приниматься во внимание. Это объясняется тем, что макси- мальные напряжения в местах концентрации, достигая предела текучести, перестают увеличиваться и текучесть материала распространяется на ос- тальную часть сечения. Дальнейшее увеличение нагрузки приводит к рас- пространению текучести в глубь сечения, т. е. происходит выравнивание напряжений в ослабленном сечении.

Рис. 16.5

Для хрупких материалов концентрация напряжений должна учиты- ваться и при статическом приложении нагрузки путем введения соответст- вующего коэффициента концентрации. В этом случае при достижении в ос- лабленном сечении наибольшего напряжения, равного величине предела прочности σв, появляется трещина, которая, быстро развиваясь, приводит к разрушению детали.

Следует отметить, что опасность концентрации напряжений значи- тельно возрастает и при снижении температуры, так как материал стано- вится более хрупким.

Концентрация напряжений особенно опасна при действии нагрузок, вызывающих переменные или знакопеременные напряжения. В этих случа- ях она должна учитываться как для пластических, так и для хрупких материалов, о чем более подробно будет сказано в М-17.

196

Естественно, возникает вопрос о том, каким образом можно снизить концентрацию напряжений.

Из приведенных выше формул для коэффициента концентрации на- пряжений следует, что в различного рода трещинах, вырезах, выточках, в местах ступенчатого изменения площади поперечного сечения желательно заменять острые выточки плавными кривыми, т. е. увеличивать радиус кри- визны конца трещины или отверстия. Это приводит к снижению концентра- ции напряжений. Так, например, для прекращения развития трещины в пла- стине достаточно на конце трещины просверлить отверстие. Это в значи- тельной степени снизит коэффициент концентрации напряжений.

В 1920 г. была опубликована классическая работа Гриффитса, в которой приводились результаты проведенных им экспериментов с образцами, изго- товленными из стекла различной толщины волокон. В этой работе отмеча- лось, что прочность волокон увеличивается с уменьшением их диаметра.

На рис. 16.6 приведен полученный Гриффитсом график зависимости прочности стеклянных волокон от толщины волокна.

Рис. 16.6

Из графика видно, что обычное стекло, применяемое в быту, имеет прочность значительно более низкую, чем прочность такого же стекла, но изготовленного из отдельных волокон малой толщины. Чем тоньше нити, тем они прочнее, и по мере того как они становились еще тоньше, их проч- ность быстрее возрастала.

Отмеченное явление Гриффитс объясняет наличием множества очень тонких трещин в обычном стекле, которые вызывают большую концентра- цию напряжений у концов этих трещин, что приводит к разрушению образ- цов при небольших значениях напряжений. Причем коэффициент концен- трации напряжений практически не зависит от глубины царапины на стекле, а зависит лишь от остроты ее кромки.

197

Увеличение прочности тонких нитей объясняется тем, что с уменьше- нием толщины нити возможность образования трещин уменьшается и в очень тонких волокнах их почти не наблюдается. Гриффитс доказал, что для каждого материала имеется некоторая «критическая длина» трещины, кото- рая зависит от величины напряжения в самой крайней точке трещины. Если длина трещины больше «критической», то трещина быстро растет и разру- шает материал. Для напряжений, встречающихся в инженерной практике, критическая длина трещины, как правило, очень мала – порядка нескольких микрон, и, к сожалению, она уменьшается с увеличением напряжения. Для материала, свободного от напряжений, критическая длина трещины беско- нечно велика, и при больших напряжениях она бесконечно мала. Это одна из трудностей создания более прочных материалов.

На рис. 16.7, а представлена растянутая пластина, ослабленная эллип- тической трещиной. Кривыми показаны значения коэффициентов концен- трации нормальных напряжений, перпендикулярных оси трещин σz, для различных точек пластины. Вдоль кривых коэффициенты концентраций для σz постоянны. Числа, проставленные на кривых, показывают, во сколько раз σz в этих точках больше среднего напряжения по образцу.

Рис. 16.7

Оказывается, что в площадках, перпендикулярных оси трещины, так- же возникают нормальные (растягивающие) напряжения σy. Причем на по- верхности трещины эти напряжения равны нулю, а максимальные их значе- ния имеют место на некотором расстоянии от трещины. По мере удаления от трещины значения напряжений σy сохраняются близкими к максималь- ным на значительном расстоянии от трещины (рис. 16.7, б).

Доказано также, что отношение максимальных растягивающих на- пряжений, параллельных направлению трещин σy, к максимальным напря-

198

жениям, перпендикулярным направлению трещины σz, независимо от мате- риала, формы трещины и способа загружения есть величина постоянная и равная приблизительно 1/5 .

Рис. 16.8

Если растягиваемый материал, ослабленный трещиной, имеет неоди- наковую прочность в направлении осей z и у, то слабые поверхности могут сделать материал более вязким, т. е. упрочняют его. Так, например, если прочность в направлении оси у меньше, чем 1/5 прочности в направлении оси z, то трещина, параллельная оси z, появится раньше, чем главная тре- щина достигает ее. В этом случае радиус кончика главной трещины из очень малого станет очень большим и дальнейшее распространение глав- ной трещины прекратится. Трещина же, перпендикулярная главной, не имеет тенденции к распространению. Так можно затормозить развитие трещины, усугубляемое концентрацией напряжений. Схематично это явле- ние представлено на рис. 16.8, а, б, в и рис. 16.9, а.

Рис. 16.9

Если же прочность материала в направлении, совпадающем с направ- лением трещины (в направлении оси у), больше, чем 1/5 прочности материа- ла в направлении оси z (на поверхности раздела), то главная трещина пере- сечет ее и будет развиваться дальше, т. е. поведение материала не изменит-

ся (рис. 16.9, б).

Этим объясняется, по-видимому, волокнистое строение природных материалов, например, дерева, тростника, бамбука и всех растительных во- локон. Прочность материала вдоль волокон в них значительно выше, чем

199

поперек волокон. Природа так создала материал, что слабые поверхности не ослабляют, а делают более вязким, т. е. упрочняют материал.

Этим обстоятельством в настоящее время широко пользуются при соз- дании новых материалов. Так, например, стеклопластик состоит из множест- ва тонких стеклянных волокон, склеенных между собой смолой. Тонкие во- локна стекла имеют большую прочность, а смола, склеивающая волокна, имеет малую прочность на разрыв, но придает материалу вязкость и, следо- вательно, не дает возможности поперечной трещине распространяться в глубь сечения. Материал, изготовленный подобным образом, малочувстви- телен к концентрации напряжений и имеет большую прочность.

16.2. Изучение метода концентрации напряжений с помощью оптического метода и метода лаковых покрытий

Концентрацию напряжений можно эффективно изучать с помощью оптического метода. Для случаев, когда деталь какой-либо машины имеет сложную конфигурацию, аналитические методы реше- ния задачи сильно усложняются и часто содержат в себе

непреодолимые трудности.

В таком случае можно воспользоваться оптическим методом. Для этой цели из специального материала изго- товляют образец, который подвергается просвечиванию поляризованным светом. Так, например, на рис. 16.10 по- казана картина полос для растянутой пластины, имеющей резкое изменение ширины сечения. Расшифровка карти- ны полос позволяет в подобных случаях установить наи- более напряженные точки и с достаточно высокой точно- стью определить коэффициент концентрации.

200