scherbo-sp2

Формулами (10.4) можно пользоваться только для тех точек, которые одновременно принадлежат волокнам, наиболее удаленным от главных осей инерции сечения. Для остальных точек эти формулы применять нельзя.

В целом ряде случаев поперечное сечение не имеет таких точек, которые одновременно наиболее удалены от обеих осей. Так, например, для сечения, показанного на рис. 10.9, точка 2 дальше других от- стоит от оси oх, а к оси oу точка 2 ближе, чем точка 3.

Для отыскания наибольших напряжений в по- добных сечениях пользуются формулой (10.3). В та- ких случаях вначале отыскивают точку, в которой напряжение максимально. Во многих, случаях эта задача решается вычислением напряжений в ряде точек. Так, например, для сечения, показанного на

рис. 10.9, достаточно вычислить нарпряжения в трех Рис. 10.9 точках 1, 2 и 3 и по ним установить максимум.

Для произвольного сечения необходимо вначале установить положе- ние нулевой линии, а затем точку, которая дальше других отстоит от этой линии. Легко показать, что именно в этой точке напряжение максимально. В самом деле, равенство (10.3) представляет собой уравнение плоскости, проходящей через нулевую линию. Ордината, замеренная по нормали от поперечного сечения до этой плоскости, численно равна напряжению в данной точке. Она будет наибольшей для той точки, которая дальше всех отстоит от нулевой линии.

2. Определение положения нулевой линии в поперечном сечении бруса при косом изгибе Положение нулевой линии при косом изгибе

можно установить, если приравнять нулю напряжения в точках, принадле- жащих этой линии. Пусть текущие координаты нулевой линии будут xN и yN, тогда, применяя формулу (10.3), получим

Пусть оси координат выбраны так, что моменты Му и Мх имеют оди- наковые знаки, тогда правая часть равенства (10.5) будет положительной. В этом случае выражение (10.5) удовлетворяется тогда, когда знаки у ко- ординат xN и уN различны. Следовательно, нулевая линия не может прохо- дить через первую четверть (рис. 10.10, а).

71

Таким образом, нулевая линия проходит по другой диагонали. Из этого примера наглядно видно, как отклоняются друг от друга указанные линии.

3. Прогибы при косом изгибе. Разложив опять силу Р на две со- ставляющие Py и Рx (рис. 10.11), найдем отдельно прогибы от этих состав- ляющих. Обозначив прогибы конца консоли длиной l по направлению осей vy и vx , имеем:

Рис. 10.11

Суммарный прогиб можно найти как геометрическую сумму:

v = vx2 + v2y .

Найдем теперь направление суммарного перемещения. Для этого оп- ределим значение угла наклона этого перемещения к вертикали:

Таким образом,

tgβ = J x tgα.

J y

Полученная формула идентична формуле (10.7). Это позволяет сде- лать заключение, что β = ϕ.

Следовательно, направление прогибов перпендикулярно нулевой линии. Вместе с тем отсюда вытекает важное условие, что направление

73

прогибов не совпадает с направлением действующей силы. Это обстоя- тельство и послужило причиной того, что изгиб стали называть косым.

Если нагрузка представляет собой плоскую систему сил, то ось изо- гнутого бруса лежит в плоскости, которая не совпадает с плоскостью дей- ствия сил.

В случаях действия пространственной системы сил ось изогнутого стержня представляет собой пространственную кривую.

10.4. Одновременное действие изгиба и продольной силы

Очень многие стержни сооружений и машин работают одновремен- но как на изгиб, так и на растяжение или сжатие. Простейший случай по- казан на рис. 10.12, когда на колонну действует нагрузка, вызывающая в любом сечении момент, нормальную и поперечную силы. Предполагая, что колонна обладает большой жесткостью, можно пренебречь ее дефор- мациями и не учитывать изгибающие моменты от силы Р, считая, что се- чения колонны не перемещаются по горизонтали. В этом случае можно применить принцип независимости действия сил и определить напряже- ние в точке С как сумму напряжений от сжатия и изгиба:

Если нагрузка вызывает моменты относительно двух главных осей инерции (рис. 10.13), то нормальное напряжение определяется как сумма трех напряжений:

Пользуясь этой формулой, можно определить напряжение в любой точке и найти наибольшее напряжение в данном поперечном сечении.

Если поперечное сечение стержня имеет простую форму, например, прямоугольную, двутавровую и т. п., то для определения наибольшего на- пряжения следует вычислить значения напряжений для ряда характерных точек. Если же сечение имеет сложную форму, то предварительно нужно найти положение нулевой линии и отыскать наиболее удаленную точку сечения от этой линии, в ней и будет наибольшее напряжение, В каждой точке напряжения могут быть представлены графически как отрезки меж- ду сечением и плоскостью, проходящей под некоторым углом через нуле- вую линию. Наибольший отрезок (напряжение) будет отложен от наиболее удаленной точки (рис. 10.14).

74

По формуле (10.10) можно найти напряжение в любой точке сжатой колонны; для этого необходимо величины х и у брать с учетом знака.

Рассмотрим теперь частный случай внецентренного сжатия колонны прямоугольного сечения, когда один из эксцентриситетов равен нулю. Пусть сила расположена на оси oу (хР = 0, уР = е), как это показано на рис. 10.16. Подставляя эти значения в формулу напряжений (10.10), для край- них волокон получим

Из этой формулы видно, что при е = 0 напряжения во всем сечении

одинаковые. Если e ≤ b , то напряжения во

6

всем сечении одного знака (сжатие). В частно-

на две части: в одной из них напряжения сжи- мающие, а в другой – растягивающие. Для этих четырех случаев на рис. 10.16 показаны эпюры напряжений. Таким образом, если не хотят, чтобы в поперечном сечении появлялись рас- тягивающие напряжения, то эксцентриситет не должен превышать b/6.

Пример. Определить напряжения и по- строить их эпюру в поперечном сечении ко-

лонны (рис. 10.17, а).

Найдем изгибающие моменты:

M x = +8000 × 20 =160000кгс×см;

M y = +8000 ×15 =120000кгс×см.

Рис. 10.16

76

Найдем геометрические характеристики сечения: площадь сечения

F = 40 ×30 =1200см2 ;

моменты сопротивления:

Wx = 30 × 402 = 8000cм3; 6

Wy = 40 ×302 = 6000cм3. 6

Найдем теперь напряжения в четырех угловых точках поперечного сечения:

По этим значениям s построена эпюра напряжений (рис. 10.17, б).

2. Определение положения нулевой линии. Для того чтобы определить положе- ние нулевой линии, преобразуем формулу (10.10). Подставляя в эту формулу значения моментов, получим

Этой формулой, так же как и формулой (10.10), можно пользоваться для определения напряжений в любой точке поперечного сечения колон- ны. Обозначим координаты любой точки нулевой линии хN и уN. Если эти

77

координаты подставить в уравнение (10.12) и учесть, что напряжения в точках нулевой линии равны нулю, то после сокращения на величину P/F получим уравнение нулевой линии

По этому уравнению можно определить отрезки, отсекаемые нулевой линией на осях координат. Обозначим эти отрезки (рис. 10.18, а) через ах и ау.

Рис. 10.18

Если положить xN = 0, yN = ay , то из уравнения (10.13) получим

1 + yPay = 0. ix2

Точно так же для случая yN = 0, xN = ax имеем

1 + xPax = 0. iy2

Решая эти уравнения, получим отрезки, отсекаемые нейтральной ли- нией на осях координат:

Вместе с тем можно решить обратную задачу, выразив координаты точки приложения силы Р при заданных отрезках, отсекаемых нулевой линией на осях координат:

Отметим интересную зависимость величин хР и ax а также уР и ау. Ес- ли силу приложить в точке с координатами ах и ау, то нулевая линия отсе- чет отрезки на осях координат, равные соответственно хР и уР. Если сила

78

приложена в точке 1 (рис. 10.18, б), а соответствующая нулевая линия за- нимает положение I-I, то при силе, приложенной в точке 2, нулевая линия займет положение II-II.

Рассмотрим теперь некоторые характерные особенности, связанные с поведением нулевой линии при различных положениях силы P (рис. 10.19).

Рис. 10.19

Если сила Р приложена в точке, лежащей на оси oу, то нулевая линия отсекает на оси Ох отрезок, равный бесконечности:

Представим себе, что сила Р перемещается по оси oх от центра тяже- сти к краю сечения. В этом случае нулевая линия перемещается из беско- нечности по направлению к сечению, оставаясь при этом все время парал- лельной оси oу. Точно так же если сила перемещается но оси oу, то нуле- вая линия перемещается поступательно, оставаясь все время параллельной оси oх.

Так, например, когда сила последовательно приложена в точках 1, 2, 3, 4, (см. рис. 10.19), нулевая линия соответственно занимает положения

I-I, II-II, III-III, IV-IV и т. д.

Рассмотрим теперь случай, когда сила Р перемещается по некоторой прямой ОЕ, проходящей через центр тяжести сечения, но не совпадающей ни с одной из главных осей инерции. В этом случае нулевая линия (рис. 10.19) будет также перемещаться параллельно самой себе. В самом деле, из урав- нений (10.14) вытекает соотношение

79

Отсюда можно сделать вывод, что тангенс угла наклона нулевой ли- нии ay/ax не зависит от численного значения координат точки приложения силы, а зависит от их отношения.

Рассмотрим теперь еще одну задачу, которая имеет большое значе- ние в дальнейших выводах. Пусть сила Р перемещается по некоторой прямой АВ, не проходящей через центр тя- жести сечения (рис. 10.20) Для двух крайних случаев, когда сила приложена в точках А и В, нулевые линии параллельны соответст- вующим осям oх и oу. Пусть эти линии пере- секаются в некоторой точке D. Так как эта точка принадлежит двум нулевым линиям, то напряжения в ней от двух сил, одновременно приложенных в точках А и В, равны нулю.

Приложим теперь силу Р в точке С, лежащей на прямой АВ. Эту силу можно разложить на две параллельные составляющие РА и РВ, при-

ложенные к точкам А и В. От этих двух составляющих, а следовательно, и от их равнодействующей напряжения в точке D будут равны нулю. Так как точка С была взята произвольно, то при любом положении силы Р на прямой АВ напряжение в точке D равно нулю.

Отсюда можно сделать заключение, что при движении груза по пря- мой АВ нулевая линия вращается вокруг точки D.

Полученные в этом пункте выводы о поведении нулевой линии, свя- занные с перемещением по сечению сжимающей силы, будут использова- ны для последующего анализа внецентренного сжатия колонн.

80