yoXQhMGFeN

до раньше. Поэтому для увеличения скорости вычислений проверка делается трижды. Из этих трех раз только последний происходит после f(n) шагов.

Основной результат. Основная гипотеза подтверждается при f(n)=10n2.

Так при установках для n от 1 000 до 1 100 и при m = 1 000 находится только 1 (одна) машина, которая не попадает в R. О том, как распределяются остальные варианты, дает представление рисунок 3.

Рис. 3. Основное распределение

На рис. 3 приведены результаты случайных экспериментов, когда для каждого n от 100 до 600 делается m = 1 200 испытаний. Ширина каждой полосы – статистическая вероятность того, что случайная МТ попадет в соответствующий класс. В каждом испытании делалось не более 10n2 шагов и искались циклы длиной не более n2. Из этих примерно 600 000 испытаний не диагностировались (не попали в R) всего 11, причем с ростом n их количество убывало.

Эксперименты показывают, что почти для всех машин Тьюринга проблема остановки решается за полиномиальное время, причем полином имеет степень 2. Естественно может возникнуть вопрос, нельзя ли сделать то же самое за линейное время в зависимости от n. По-видимому нельзя. При выборе линейных полиномов f(n) нераспознанных машин оказывалось слишком много. Приведем рисунок, иллюстрирующий сказанное. На нем, как и на рис. 3 ширина каждой полосы – вероятность для случайной машины попасть в соответствующую область. Эксперимент проделывался для n от 100 до 331. Для всякого n делалось n3 шагов, но циклы проверялись длиной не более n/2. При этом устойчиво проявились не диагностируемые машины, частота которых явно не нулевая. Это черная полоса на графике

(см. рис. 4).

10

Рис. 4. Не генерическое распределение

Программа написана на языке C++. Для n от 1 000 до 1 100 скорость вычислений – около 580 экспериментов в секунду (Notebook с процесором

Intel(R) Celeron(R) CPU 1037U @ 1.80 GHz, оперативная память 4,00 ГБ).

При возрастании n скорость, естественно, падает, но не слишком быстро.

Литература

1.Myasnikov A.G., Rybalov A.N. Generic complexity of undecidable problems // The Journal of Symbolic Logic. – 2008. – V. 73, № 2. – Pp. 656–673.

2.Hamkins J.D., Myasnikov A.G. The halting problem is decidable on a set of asymptotic probability one // Notre Dame Journal of Formal Logic, 2006. – V. 47, № 4. – Pp. 515–524.

11

УДК 373.5.016:51 ББК 74.262.21-28

Ю.С. Богданова, Н.В. Иванчук

ФГБОУ ВО «Мурманский арктический государственный университет» г. Мурманск, Россия

НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОЦЕНКИ УРОВНЯ СФОРМИРОВАННОСТИ У УЧАЩИХСЯ УМЕНИЙ ВЫПОЛНЯТЬ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

Аннотация. В статье приведен анализ результатов проверочных работ по математике, уделено особое внимание умению учащихся проводить тождественные преобразования алгебраических выражений. Показан пример использования заданий, опирающихся на образное мышление учащихся, при формировании у них умений выполнять преобразования выражений.

Ключевые слова: преобразования алгебраических выражений, формулы сокращенного умножения.

Yulia Bogdanova, Natalia Ivanchuk

Murmansk Arctic State University Murmansk, Russia

SOME OF THE RESULTS OF ASSESSING OF FORMATION OF SKILLS OF THE PUPILS TO CARRY OUT

THE TRANSFORMATION OF ALGEBRAIC EXPRESSIONS

Abstract. The article summarizes the results of verification works in mathematics, focusing on the ability of students to carry out identical transformations of algebraic expressions. An example of the use of tasks, based on the figurative thinking of students, in the formation of their abilities to perform the conversion expressions.

Key words: convert algebraic expressions, formulas of reduced multiplication.

Как показывают многолетние результаты экзаменов по математике за курс основной и средней школы, задания, требующие выполнения различных преобразований алгебраических выражений, представляют особую сложность для учащихся. Так по Мурманской области в 2016 году с заданием № 7 (алгебра) первой части основного государственного экзамена справились лишь 56,99% учащихся, что является самым низким показателем среди всех заданий экзаменационной работы [4, с. 36].

В рамках нашего исследования в 2015–2016 учебном году были проведены проверочные срезы среди учащихся нескольких учебных заведений г. Мурманска с целью выявления наиболее распространенных затруднений школьников при выполнении заданий, предлагаемых на экзаменах (ОГЭ). Результаты проверочного среза остаточных знаний учащихся 9-х классов из различных средних общеобразовательных учреждений города, проведенного в январе 2015 года, представлены в таблице (см. табл. 1).

12

Данная проверочная работа основывалась на материалах тренировочного варианта № 3 ОГЭ-9, 2016, размещенного на сайте «ЕГЭ и ГИА по математике 2016» [2], в группе учащихся девятых классов из восьми средних общеобразовательных учреждений города Мурманска: четырех школ, двух лицеев и двух гимназий.

Таблица 1

Результаты среза

Из приведенных выше данных (см. табл. 1) видно, что наименьшее количество верных ответов блока «Алгебра» (задания 1–8) было дано на задание № 7 (только 33% учащихся справились с ним): «Найти значение

Это задание согласно «Обобщенному плану варианта КИМ 2016 года для ГИА выпускников IX классов по математике» [3, с. 11] проверяет умения выполнять преобразования алгебраических выражений.

К заданию повышенного уровня сложности (задание № 21), также проверяющему умения выполнять преобразования выражений, не приступил ни один учащийся (в то время как следующее задание – № 22 (текстовая задача) попытались выполнить два человека).

13

Также был проведен анализ результатов диагностической работы по математике, проведенной 1 марта 2016 года среди обучающихся 9-х классов одной из общеобразовательных школ города. Приведем результаты выполнения задания № 7 «Алгебраические выражения», где необходимо было выполнить действия с алгебраическими дробями.

Из 16-ти обучающихся, писавших работу:

выполнили полностью и верно – 2 учащихся (12,5%);

не приступили – 8 человек (50%);

выполнили «сокращение» слагаемых – 4 человека;

применение формулы сокращенного умножения «квадрат

разности» без удвоенного произведения – 3 ученика. Ко второй части работы в этом классе не приступил никто.

Таким образом, можно предположить, что задания, требующие выполнения различных преобразований алгебраических выражений, представляют особую сложность для учащихся, завершающих обучение на уровне основной школы. Кроме того, уметь выполнять преобразования алгебраических выражений необходимо в каждом задании модуля «Алгебра» второй части экзаменационной работы.

Прочные навыки таких преобразований (или отсутствие таковых) учащиеся демонстрируют и при выполнении заданий модуля «Геометрия»:

при оперировании с формулами, составленными по условиям задач;

при нахождении значений полученных буквенных выражений;

при осуществлении необходимых преобразований этих формул, в которых, в свою очередь, могут встретиться:

действия со степенями с целыми показателями, с многочленами и алгебраическими дробями;

разложение многочленов на множители;

тождественные преобразования рациональных выражений;

преобразования числовых выражений, содержащих квадратные корни, требующие применения свойств арифметических корней;

формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности, формула разности квадратов;

разложение квадратного трехчлена на линейные множители;

сокращение дробей.

Однако при существующей форме проверки знаний в виде ОГЭ (и ЕГЭ) установить на каком этапе произошел сбой в решении ученика практически невозможно, так как школьнику требуется в отведенную графу вписать только полученный ответ. Таким образом, ни хода решения, ни знаний (или незнаний) учащимся конкретных разделов программного материала по математике установить не представляется возможным.

14

Внашем примере (задание ОГЭ № 7) требуется не только выполнить преобразование алгебраического выражения, используя формулы сокращенного умножения, вычитание дробей с разными знаменателями, деление

исокращение дробей, но и найти его числовое значение, подставив конкретные числа в полученное в результате вышеперечисленных преобразований выражение.

Врезультате проверки работ оказалось, что почти все испытуемые совершили ошибки еще на этапе преобразования выражения. Самые распространенные из них:

сокращение слагаемых или компонентов разности;

незнание/неумение применять формулу разности квадратов;

ошибки при вычитании и делении дробей.

Таким образом, многие учащиеся просто не дошли до подстановки чисел и вычисления значения выражения. То есть, даже умея хорошо выполнять действия с обыкновенными дробями, незнание/неумение преобразовывать алгебраические выражения приводит к тому, что учащиеся не могут довести решение до конца и получить верный ответ.

Вышеизложенное убеждает в том, что необходима определенная система работы по формированию умений школьников выполнять преобразования алгебраических выражений, направленная, прежде всего, на осознанное и целенаправленное выполнение ими таких преобразований.

Разрабатываемая нами методика формирования умений выполнять преобразования выражений нацелена на глубокое понимание и осознание школьниками своих действий и согласуется с психолого-педагогическими требованиями:

четкое выделение этапов выполнения преобразования;

формулирование этапов выполнения в общем виде;

отработка каждого этапа в отдельности (выполнение специально разработанных тренировочных заданий);

словесная формулировка всех выполняемых действий.

На первом этапе формирования у обучающихся умений выполнять преобразования алгебраических выражений:

включаются особые задания, опирающиеся на образное мышление учащихся;

применяются геометрические иллюстрации тождеств сокращенного умножения;

составляется алгоритм (схема) конкретного преобразования.

На втором этапе проводится работа по усвоению выведенного алгоритма:

пошаговая отработка алгоритма;

рассмотрение частных случаев.

15

На третьем этапе осуществляется закрепление формируемого умения с помощью заданий на применение алгоритма в различных ситуациях, в том числе нестандартных (включая задания на распознавание формул, действий) и обучение способам самоконтроля.

Если после того, как в седьмом классе уже изучены все формулы, но не до конца сформированы умения по их использованию в различных ситуациях, то в дальнейшем простое повторение их не приносит должного результата, и все старания учителя и ученика сводятся на нет, так как в дальнейшем пробелы в знаниях и умениях практически не поддаются корректировке, что показывают приведенные выше результаты проводимых нами срезов остаточных знаний учащихся.

Еще Л.С. Выготский утверждал «как неинтересно для детей повторение, как они не любят подобных занятий, хотя бы они и не представляли для них трудности. Причина заключается в том, что здесь нарушается основное правило интереса, благодаря которому повторение представляет из себя самый нерациональный и непсихологический прием. Правило заключается в том, чтобы вовсе избежать повторения и сделать преподавание концентрическим, т.е. расположить предмет таким образом, чтобы он в возможно кратком и упрощенном виде был пройден сразу в полном объеме. Затем учитель возвращается к тому же предмету, но не для простого повторения уже бывшего, а для прохождения еще раз в углубленном и расширенном виде, со множеством новых фактов, обобщений и выводов, так что все заученное учениками повторяется вновь, но раскрывается с новой стороны, а новое так связывается с уже знакомым, что интерес легко возникает сам собой. В этом отношении, как в науке, так и в жизни только новое о старом может заинтересовать нас» [1, с. 105–106].

Приведем пример того, как можно, уже знакомый обучающимся учебный материал, представить по-другому, с иной точки зрения, расширяя и углубляя их знания при изучении или повторении тождеств сокращенного умножения.

В рамках данной статьи рассмотрим только один аспект изучения формул сокращенного умножения: покажем связь формул сокращенного умножения с площадями фигур (квадратами и прямоугольниками), т.е. геометрическую интерпретацию формул сокращенного умножения или геометрическое обоснование (доказательство) тождеств.

Рассмотрим только одну формулу сокращенного умножения – разность квадратов (работу с остальными можно организовать аналогично).

Тождество содержит две формулы:

1)a2 b2 a b a b – разность квадратов;

2)a b a b a2 b2 – произведение разности двух выражений на их сумму.

16

При изучении тождеств сокращенного умножения, на наш взгляд, целесообразно учащимся не только показать геометрическую интерпретацию формул, но и разобрать подробно как эти формулы получаются, причем, так как в математике любое равенство используется как слева направо, так и справа налево, то уместно будет продемонстрировать вывод и той, и другой формулы. Или использовать старинный прием, состоящий в том, что ученикам показывались только чертежи (удачно выполненные и показывающие все взаимосвязи между изучаемыми объектами) и было написано лишь одно слово «Смотри!», чтобы они сами увидели, осознали, а при необходимости могли и воспроизвести вывод этих формул.

Так как вторая формула – a b a b a2 b2 – узнается учащими-

ся реже и использование ее в различных ситуациях дается ученикам намного труднее, чем первая, то лучше начинать с нее (см. рис. 1).

Рис. 1. Произведение разности двух выражений на их сумму

Для этого надо одну сторону квадрата со стороной a уменьшить на величину b , а другую сторону увеличить на b (см. рис. 1, слева).

«Отрезаем» от квадрата прямоугольник со стороной b , а к другой

стороне «приставляем» прямоугольник с такой же шириной и длинойa b (см. рис. 1, справа).

Находим площадь полученного прямоугольника

a b a b a2 ab b a b a2 ab ab b2 a2 b2

Первую формулу – a2 b2 a b a b – можно получить так: из квадрата со стороной a (см. рис. 2, слева) вырежем квадрат со стороной b , т.е. a2 b2 (см. рис. 2, справа), получим:

a2 b2 a a b b a b

теперь вынесем за скобку общий множитель a b , получим: a2 b2 a b a b .

17

Рис. 2. Разность квадратов

Подобные задания, опирающиеся на образное мышление учащихся, позволят, на наш взгляд, формировать у школьников умения выполнять преобразования выражений более осознанно, понимать и осознавать свои действия, а, следовательно, лучше усвоить, научиться узнавать и применять их в различных ситуациях.

Литература

1.Выготский Л.С. Педагогическая психология / Лев Выготский; под ред. В.В. Давыдова. – М.: АСТ Астрель Хранитель, 2008. – 671 с.

2.ЕГЭ и ГИА по математике 2016 [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://alexlarin.net/ege16.html.

3.Кодификатор требований к уровню подготовки обучающихся для проведения основного государственного экзамена по математике (Проект) / Государственная итоговая аттестация по образовательным программам основного общего образования в форме основного государственного экзамена (ОГЭ) 2016 [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://alexlarin.net/ege/

2016/gia_kt_2015.pdf.

4.Статистика основных результатов основного государственного экзамена в Мурманской области в 2016 году / Министерство образования и науки Мурманской области. – Мурманск, 2016 [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.imcol.ru/doc/2016/310820161.pdf.

18

УДК 364:61(985)

ББК 51.1(2Рос)

П.М. Васина, Г.Б. Сафонов

ФГБОУ ВО «Мурманский арктический государственный университет» г. Мурманск, Россия

СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ МОНИТОРИНГА ИСПОЛНЕНИЯ ПРОГРАММ ГОСУДАРСТВЕННЫХ ГАРАНТИЙ В РАЗВИТИИ СУБЪЕКТОВ АРКТИЧЕСКОЙ ТЕРРИТОРИИ

Аннотация. В данной статье рассматривается социальная безопасность населения Арктической зоны на примере арктической медицины с помощью метода сигмальных коридоров. Данное направление рассматривается в связи с развитием Арктической зоны в контексте глобальной экономики в связи с новым месторождением углеводородов.

Ключевые слова: арктическая зона, арктическая медицина, метод сигмальных коридоров.

Polina Vasina, Grigoriy Safonov

Murmansk Arctic State University Murmansk, Russia

IMPROVEMENT MONITORING PERFOMANCE PROGRAM OF STATE GUARANTEES IN DEVELOPMENT OF ARCTIC TERRITORIES SUBJECTS

Abstract. The article considers social security population of Arctic territories, based on the arctic medicine using sigma corridors method. This direction considers in connection with Arctic territories development in context of the global economy in connection with new hydrocarbon deposits.

Key words: Arctic territories, arctic medicine, sigma corridors method.

Развитие Арктической зоны в прогнозный период до 2020 года будет проходить в контексте глобальной экономической динамики, которая, определяется не только общей конъюнктурой мировых рынков, но и текущим состоянием социальной среды. В текущих условиях приоритетными направления социально-экономического развития можно считать вклад в формирование конкурентоспособного реального сектора региональной экономики; инфраструктурной составляющей; сфера услуг и повышение уровня социального обеспечения населения. В условиях борьбы с экономическим кризисом и необходимости сокращения бюджетных расходов задача обеспечения роста человеческого потенциала и качества жизни населения Мурманской области не только не теряет своей актуальности, а наоборот приобретает новое ключевое значение. Причем решение данной задачи определяется формированием новой модели социально-экономи- ческого развития, в том числе предусматривающей выработку адекватного

19