Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4629 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Мурманский арктический государственный университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

yoXQhMGFeN

.pdf
Скачиваний:
1
Добавлен:
15.04.2023
Размер:
2.85 Mб
Скачать
☆

ит в том, что сетевая доска переводит ученика из слушателя, пассивно воспринимающего информацию, в активного участника образовательного процесса. При использовании интерактивных онлайн досок на уроках, ученики со своего рабочего места принимают участие в учебном процессе, а учитель в свою очередь может отследить действия каждого ученика.

Для проведения урока с использованием интерактивной онлайн доски необходимо наличие компьютерного класса с подключением к сети Интернет. Предварительная подготовка такого урока потребует:

прохождение процедур регистрации на сетевом сервисе учителю и ученикам;

знакомство с интерфейсом выбранной сетевой доски.

Вработе нами были рассмотрены примеры интерактивных онлайн досок: Виртуальная академия, RealtimeBoard, WikiWall, TutorsBox, Popplet, Twiddla и выявлены некоторые общие характеристики:

подключение к Интернету для начала работы;

возможность ввода текста;

вставка изображений и документов из файла;

наличие геометрических макетов фигур;

вставка математических формул (символов);

возможность сохранения работы в файл;

запрос регистрации;

возможность совместной работы;

голосовое и видео общение в режиме онлайн.

Сделанный нами обзор методического опыта учителей по применению интерактивных онлайн досок в учебном процессе, показал достаточно ограниченный круг публикаций, отражающих методики организации уроков с использованием этих средств, что, на наш взгляд, подтверждает актуальность выбранной темы.

Для реализации наглядности решения текстовых задач на уроках математики при помощи интерактивной онлайн доски необходимо из существующего в сети Интернет многообразия подобных ресурсов выбрать, наиболее полно отвечающий поставленным целям.

Рассмотрев работы, в которых приведены критерии выбора программных средств для применения в учебном процессе [4], и, в частности, требования к системе дистанционного обучения [1], системе управления обучением [2], мы обозначили критерии выбора сетевой доски.

К основным критериями выбора сетевой доски можно отнести следующие:

функциональность: наличие в системе набора функций, таких как возможность построения графиков функций, вставка формул, чаты, организация совместной и одновременной работы, возможность сохранять результат работы и воспроизводить его;

30

стабильность: степень устойчивости работы веб-сервиса по отношению к различным режимам работы и степени активности пользователей; безотказная работа (при сбое Интернета после восстановления можно продолжить работу дальше);

стоимость: бесплатность использования сетевой доской либо незначительная плата за помесячное использование доской; отсутствие ограничений по количеству учеников;

удобство использования: учитель не станет использовать технологию, которая кажется громоздкой или создает трудности при навигации. Интерфейс сетевой доски должен быть интуитивно понятен, ученикам должно быть просто найти справку, легко переходить от одного раздела к другому и общаться с учителем;

обеспечение доступа: учащиеся не должны иметь препятствий для доступа к сетевой доске, связанных с регистрацией, их местонахождением, а также с возможными факторами, ограничивающими возможности обучаемых (ограниченные функции организма, ослабленное зрение);

мультимедийность: возможность использования в качестве контента текстовых, графических, аудиофайлов, возможность аудиовещания;

русифицированность продукта: версия продукта должна быть на русском языке для удобства учителя и учеников при работе с ним.

Применение интерактивной онлайн-доски на уроках помогает создать действие и динамику. Обучение с помощью сетевых досок – абсолютно новый метод преподавания, хотя формы организации деятельности учащихся и структура урока, в принципе, остаются неизменными. Исходя из выявленных возможностей интерактивных онлайн досок, можно сказать, что на уроке математики применимы как фронтальная, так и групповая формы работы с учениками. На наш, взгляд индивидуальная форма работы не может быть реализована, так как использование сетевой доски на уроке предполагает совместную, одновременную работу (учителя и учащихся, учащихся друг с другом).

Интерактивные онлайн доски могут использоваться учителем, в зависимости от его целеполагания, на различных этапах урока (актуализация знаний, изучение нового материала, закрепление нового материала). Приведем некоторые методические приемы, которыми учитель может воспользоваться на отдельных этапах урока.

1.Актуализация знаний. На данном этапе урока учитель ставит целью выяснить степень усвоения учащимися знаний, умений, навыков, полученных ими на предыдущих уроках и необходимых для «открытия» нового знания. Учащиеся под руководством учителя должны выяснить, готовы ли они к изучению нового материала. Для достижения поставленной цели может быть реализовано:

31

выполнение одним учеником домашнего задания на сетевой доске.

При выполнении задания одним учеником весь класс выступает в роли аналитиков и оценивает их. По завершению выполнения задания классу предлагается найти, проанализировать ошибки и каждому выставить оценку ученику на доске, тем самым учитель делает вывод о готовности к уроку и выполнении домашнего задания каждого ученика, следовательно, о степени усвоения предыдущих тем. У учащихся в процессе оценивания формируются такие свойства рефлексии как объективность, беспристрастность, критериальность, осознанность;

выполнение общего задания по предыдущей теме на сетевой дос-

ке. Каждый ученик выполняет задание и имеет возможность следить за действиями других учеников, что способствует глубине понимания содержания учебного материала, повышению критичности в способности оценивать собственные и чужие способности [5]. Учитель, в свою очередь, может наблюдать за выполнением задания учениками и следить, какие варианты выполнения задания использует каждый ученик, какова степень усвоения предыдущей темы. По нашему мнению, это фронтальная форма организации деятельности.

2.Объяснение нового материала. Цель учителя на данном этапе – обеспечить усвоение учебного материала, входящего в тему урока. Для достижения этой цели, на наш взгляд, учителю целесообразно использовать сетевую доску. В ходе объяснения он показывает на сетевой доске процесс решения задачи, а ученики за своими компьютерами следят за объяснением и могут принимать в нем активное участие, задавать возникающие вопросы. Ученики видят последовательность построения графиков/фигур/сечений, а не конечный результат построения, что, безусловно, способствует более глубокому пониманию изучаемой темы, принципов и технологий решения заданий. При возникновении вопроса или в случае непонимания, ученик может указать учителю место (кликнуть на тот пример, который ему не понятен), а учителю достаточно отменить последнее действие и объяснить этот этап еще раз.

3.Закрепление изученного материала. На данном этапе учитель ставит целью сформировать или закрепить учебные умения и навыки на материале урока. Для достижения поставленной цели может быть реализовано:

решение задания группами на время. Каждая группа выполняет свой вариант задания, и какая группа справится с заданием быстрее и правильнее, получает дополнительные баллы к оценке. В данном виде работы исключается возможность списывания, повышается конкурентоспособность, овладение способами взаимодействия. Учитель в процессе наблюдения за учениками

32

выявляет степень активности ученика каждой группы, а также степень усвоения учащимися новой темы;

разработка задания для других групп. Каждая группа разрабаты-

вает неповторяющиеся задания по тематике урока для других групп. Далее назначается один человек из группы и выполняет задания других групп. Все действия реализовываются с использованием сетевой доски, вследствие чего формируется навыки общения и сотрудничества, творческого мышления, происходит распределение обязанностей. Учитель в процессе наблюдения за учениками выявляет степень активности ученика каждой группы,

атак же степень усвоения учащимися новой темы. Современному творческому учителю хочется провести урок так, что-

бы получить максимум пользы и абсолютного понимания учениками изучаемого предмета. В этом, на наш взгляд, могут помочь современные средства обучения на основе информационно-коммуникационных технологий, одним из которых и может выступить интерактивная онлайн доска.

Литература

1.Духнич Ю. Критерии выбора системы дистанционного обучения [Электрон-

ный ресурс] / Сайт smart-edu.com – Режим доступа: http://student-madi.ru/ METODIKA/Tom5.pdf (дата обращения: 05.10.2015).

2.Зуёнок А.В., Казакова А.А. критерии выбора системы управления обучением [Электронный ресурс] / Сайт Белорусский национальный технический университет. – Режим доступа: http://www.bntu.by/news/67-conference- mido/3161-2015-11-21-14-15-32.html (дата обращения: 21.09.2015).

3.Левченко А. Использование интерактивных онлайн досок на уроках информатики [Электронный ресурс] / Сайт Инфоурок. – Режим доступа: http://infourok.ru/ispolzovanie_interaktivnyh_onlayn_dosok_na_urokah_informati ki-559766.htm (дата обращения: 05.10.2015).

4.Костюченко А. Выбор критериев качества педагогических программных средств для их экспертной оценки [Электронный ресурс] / Сайт Журнал научных публикаций аспирантов и докторатов. – Режим доступа: http://jurnal.org/articles/2013/ped50.html (дата обращения: 05.10.2015).

5.Цукерман Г.А. Совместная учебная деятельность, как основа формирования умения учиться: Автореферат диссертации [Электронный ресурс] / Сайт МГППУ, Электронная библиотека. – Режим доступа: http://psychlib.ru/ mgppu/disers/Zsy-1992/ZSy-a-39.htm (дата обращения: 15.11.2015).

33

УДК 517.95:517.58 ББК 22.161.6

В.И. Копылов, Е.Н. Никонова

ФГБОУ ВО «Чувашский государственный педагогический университет имени И.Я. Яковлева» г. Чебоксары, Россия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ДЛЯ КОМПОЗИЦИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ

Аннотация. В статье рассматриваются дифференциальные уравнения первого и второго порядка в частных производных для композиций тригонометрических функций, таких как

sh(sh(x iy)), sh(ch(x iy)), ch(sh(x iy)), ch(ch(x iy)),...

Показано, что все эти функции удовлетворяют дифференциальному

уравнению первого порядка

f

i

f

и дифференциальному уравнению второго

y

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

порядка

2 f

 

2

f

0

в частных производных.

y 2

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

Исследованию сложных гиперболических функций в комплексной области предшествует изучение сложных тригонометрических функций в вещественной области, рассмотренное в работах [1–5].

Ключевые слова: дифференциальные уравнения, частные производные, сложные гиперболические функции, композиция функций.

Victor Kopylov, Elena Nikonova

Chuvash State Pedagogical University named after I.Y. Yakovlev

Cheboksary, Russia

THE PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION

DERIVATIVES FOR COMPOSITIONS OF HYPERBOLIC FUNCTIONS

IN THE COMPLEX AREA

Abstract. The article considers differential equations of first and second order in partial derivatives for the compositions of trigonometric functions such as

sh(sh(x iy)), sh(ch(x iy)), ch(sh(x iy)), ch(ch(x iy)),...

It is shown that all these functions satisfy the differential equation and first order differential equation of the second order in partial derivatives. The study of complex hyperbolic functions in the complex domain is preceded by the study of complex trigonometric functions in a real region, is considered in [1–5].

Key words: differential equations, partial derivatives, complex hyperbolic functions, composition of functions.

34

Теорема 1. Функции u sh(sh(x iy))

и v ch(sh(x iy))

решениями дифференциального уравнения

 

f

i f .

 

y

x

 

Доказательство. Вычисляя частные производные от u sh(sh(x iy)), находим, что

u ch(sh(x iy))ch(x iy),x

u ich(sh(x iy))ch(x iy).y

являются

(1)

функции

(2)

Из формул (2) вытекает формула (1).

Вычисляя частные производные от функции v ch(sh(x iy)), находим,

что

v

sh(sh(x iy))ch(x iy),

 

x

 

 

 

 

 

(3)

v

 

 

 

 

 

ish(sh(x iy))ch(x iy).

 

y

 

 

 

 

 

 

Из формул (3) вытекает,

что

функция u ch(sh(x iy))

также

удовлетворяет уравнению (1).

 

 

 

 

 

Теорема доказана.

 

 

 

 

 

 

Теорема 2. Функции u sh(sh(x iy))

и v ch(sh(x iy)) являются

решениями дифференциального уравнения второго порядка

 

 

2 f

 

2 f

0.

 

(4)

 

y 2

x 2

 

 

 

 

 

 

Доказательство. С помощью формул (2) находим, что

2u

x 22uy 2

Из формул

sh(sh(x iy))ch2 (x iy) ch(sh(x iy)sh(x iy),

sh(sh(x iy))ch2 (x iy) ch(sh(x iy)sh(x iy),

 

2 u

uch2 (x iy) vsh(x iy),

 

x

2

 

 

 

 

(5)

 

2 u

 

 

 

2

 

 

 

 

uch

(x iy) vsh(x iy).

 

y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5) следует, что

2 u

 

2 u

0.

Таким образом, функция

y 2

x 2

 

 

 

 

u sh(sh(x iy)) удовлетворяет уравнению (4).

35

Из формул (3) вытекает, что

 

2 v

cos(sh(x iy))ch2 (x iy) sin( sh(x iy)sh(x iy),

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 u

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

cos(sh(x

iy))ch

(x iy) sin( sh(x iy)sh(x iy);

 

y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 v

vch2 (x iy) ush(x iy),

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6)

 

 

 

 

2 v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

vch

(x iy) ush(x iy).

 

 

 

 

y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из формул (6) вытекает, что

2 v

 

2 v

0,

т. е. функция v ch(sh(x iy))

y

2

x

2

 

 

 

 

удовлетворяет уравнению (4). Теорема доказана.

Теорема

3. Функции

u sh(ch(x iy))

 

и

v ch(ch(x iy))

решениями дифференциального уравнения

 

 

 

 

 

f

 

i

f .

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

x

 

 

 

 

Теорема

4. Функции

u sh(ch(x iy))

 

и

v ch(ch(x iy))

решениями дифференциального уравнения второго порядка

 

 

2 f

 

 

2 f

0.

 

 

 

 

 

y 2

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема

5. Функции

u sh(th(x iy))

 

и

v ch(th(x iy))

решениями дифференциального уравнения

 

 

 

 

 

f

 

i

f .

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

x

 

 

 

 

Доказательство. Вычисляя

 

 

частные

 

производные от

u sh(th(x iy)),

находим, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

ch(th(x iy))

,

 

 

 

 

x

 

ch2 (x iy)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

i

ch(th(x iy))

.

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ch2 (x iy)

 

 

 

являются

(7)

являются

(8)

являются

(9)

функции

(10)

Из формул (10) вытекает формула (9).

Вычисляя частные производные от функции v ch(th(x iy)), находим,

что

v

 

sh(th(x iy))

,

x

 

ch2 (x iy)

 

 

(11)

 

 

 

 

v

i

sh(th(x iy))

.

y

 

 

 

ch2 (x iy)

 

 

 

36

 

 

Из формул (11)

вытекает,

что функция v ch(th(x iy)) также

удовлетворяет уравнению (9).

 

 

 

 

 

Теорема доказана.

 

 

 

 

 

 

Теорема 6. Функции u sh(th(x iy))

и v ch(th(x iy))

являются

решениями дифференциального уравнения второго порядка

 

 

2 f

 

2 f

0.

 

(12)

 

x 2

y 2

 

 

 

 

 

 

Доказательство. С помощью формул (10) находим, что

 

2u

 

sh(th(x iy)) 2ch(th(x iy))sh(x iy)ch(x iy)

 

x

2

ch

4

(x iy)

 

 

 

 

 

 

 

2u

 

sh(th(x iy)) 2 cos(th(x iy))sh(x iy)ch(x iy)

 

 

 

.

 

y

2

4

(x iy)

 

 

ch

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

2 u

 

2 u

0.

Таким образом, функция

x 2

y 2

 

 

 

 

,

u sh(th(x iy))

удовлетворяет уравнению (12).

Из формул (11) вытекает, что

2 v2x

2 vy 2

ch(th(x iy)) 2sh(th(x iy))ch(x iy)sh(x iy) , ch4 (x iy)

ch(th(x iy)) 2sh(th(x iy))ch(x iy)sh(x iy) . ch4 (x iy)

Значит,

2 v

 

2 v

0,

т.е. функция

v ch(th(x iy))

удовлетворяет

x

2

y

2

 

 

 

 

 

 

уравнению (12). Теорема доказана.

Теорема 7. Функции u sh(cth(x iy))

и v ch(cth(x iy))

решениями дифференциального уравнения

 

f

i f .

 

y

x

 

Доказательство. Вычисляя частные производные от u sh(cth(x iy)), находим, что

u

 

ch(cth(x iy))

,

x

 

sh2 (x iy)

 

 

 

 

u

i

ch(cth(x iy))

.

y

 

 

 

sh2 (x iy)

 

 

являются

(13)

функции

(14)

Из формул (14) вытекает формула (13).

37

Вычисляя частные производные от функции находим, что

v sh(cth(x iy)) ,x sh2 (x iy)

v i sh(cth(x iy)) .y sh2 (x iy)

v ch(cth(x iy)),

(15)

Из формул (15) вытекает,

что функция v ch(cth(x iy)) также

удовлетворяет уравнению (13).

 

 

 

 

 

Теорема доказана.

 

 

 

 

 

Теорема 8. Функции u sh(cth(x iy))

и v ch(cth(x iy))

являются

решениями дифференциального уравнения второго порядка

 

2 f

 

2 f

0.

 

(16)

x 2

y 2

 

 

 

 

 

Доказательство. С помощью формул (14) находим, что

2u2x

2uy 2

sh(cth(x iy)) 2ch(cth(x iy))sh(x iy)ch(x iy) , sh4 (x iy)

sh(cth(x iy)) 2ch(cth(x iy))sh(x iy)ch(x iy) . sh4 (x iy)

Следовательно,

2 u

 

2 u

0.

Таким образом, функция u sh(cth(x iy))

x 2

y 2

 

 

 

 

удовлетворяет уравнению (16).

Из формул (15) вытекает, что

2 v2x

2 vy 2

ch(cth(x iy)) 2sh(cth(x iy))sh(x iy)ch(x iy) , sh4 (x iy)

ch(cth(x iy)) 2sh(cth(x iy))sh(x iy)ch(x iy) . sh4 (x iy)

Значит,

2 v

 

2 v

0,

т.е. функция

v ch(cth(x iy))

удовлетворяет

x

2

y

2

 

 

 

 

 

 

уравнению (16). Теорема доказана.

Из результатов вытекают следующие предложения.

Теорема 9. Композиции тригонометрических функций

sh(sh(x iy)), ch(sh(x iy)), sh(ch(x iy)), ch(ch(x iy)), sh(th(x iy)), ch(th(x iy)), sh(cth(x iy)), ch(cth(x iy))

удовлетворяют дифференциальному уравнению первого порядка

f

i

f .

(17)

y

 

x

 

38

 

 

 

Теорема 10. Композиции тригонометрических функций

sh(sh(x iy)), ch(sh(x iy)), sh(ch(x iy)), ch(ch(x iy)), sh(th(x iy)), ch(th(x iy)), sh(cth(x iy)), ch(cth(x iy))

удовлетворяют дифференциальному уравнению второго порядка

2 f

 

2 f

0.

(18)

x 2

y 2

 

 

 

Литература

1.Копылов В.И. Исследовательские задачи по математике в средней школе: монография / В.И. Копылов. – Чебоксары : ЧГПУ им. И.Я. Яковлева, 2007. – 338 с.

2.Копылов В.И. Сложные тригонометрические функции // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. – 2004. − № 1 (39). – С. 10–18.

3.Копылов В.И. Системы дифференциальных уравнений для сложных тригонометрических функций второго порядка // Алгебра. Теория чисел: сб. науч. тр. Вып. 2. – Чебосксары: ЧГПУ им. И.Я. Яковлева, 2010. – С. 50–61.

4.Копылов В.И., Пудова Е.Л. Исследование сложных тригонометрических функций второго порядка // Алгебра. Теория чисел: сб. науч. тр. Вып. 2. – Чебосксары: ЧГПУ им. И.Я. Яковлева, 2010. – С. 105–111.

5.Копылов В.И. Алгебра. Дискретная математика. Приложения дифференциальных уравнений: избранные труды / В.И. Копылов. – Чебоксары: Чуваш. гос. пед. ун-т, 2014. – 118 с.

39

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности