- •С.Н.Дементьев, а.М.Слиденко, с.О.Стрыгина
- •Воронеж
- •Дементьев с.Н.
- •Часть I. Теория вероятностей Введение
- •Основные понятия
- •Классическое определение вероятности
- •Основные понятия комбинаторики
- •Геометрическое определение вероятности
- •Статистическое определение вероятности
- •Примеры решения индивидуальных заданий
- •Основные понятия
- •Примеры решения индивидуальных заданий
- •Основные понятия
- •Основные понятия
- •Формула Бернулли
- •Формула Пуассона
- •Локальная формула Лапласа
- •Интегральная формула Лапласа
- •Основные понятия
- •Основные понятия Равномерное распределение
- •Показательное (экспоненциальное) распределение
- •Примеры решения индивидуальных заданий
- •Основные понятия
- •Пример решения индивидуального задания
- •Основные понятия
- •Распределение Стьюдента ( распределение)
- •Распределение Фишера ( -распределение)
- •Примеры решения индивидуальных заданий
- •Основные понятия
- •Часть II. Математическая статистика Введение
- •Основные понятия Методика рациональной организации выборки большого объема
- •Нахождение точечных и интервальных статистических оценок неизвестных числовых характеристик теоретических распределений
- •Основные понятия
- •Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормально распределенных генеральных совокупностей
- •Проверка гипотезы о равенстве средних
- •Дисперсии которых неизвестны и одинаковы
- •Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины с помощью критерия Пирсона
- •«Проверка статистических гипотез»
- •«Проверка статистических гипотез»
- •Основные понятия
- •«Однофакторный дисперсионный анализ»
- •«Однофакторный дисперсионный анализ»
- •Основные понятия
- •Проверка качества модели регрессии с помощью коэффициента детерминации
- •Проверка значимости регрессии по критерию Фишера
- •Построение доверительных интервалов для генеральных параметров регрессии
- •Построение доверительного интервала для прогноза индивидуального значения отклика
- •«Корреляционный и регрессионный анализ»
- •«Корреляционный и регрессионный анализ»
- •Часть III. Примеры лабораторных работ по математической статистике в системе mathcad Темы лабораторных работ и их основные цели
- •Лабораторная работа №1 (листинги 1-5) Распределения, связанные с нормальным законом распределения
- •Лабораторная работа №2 (листинги 6-8) Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло)
- •Лабораторная работа №3 (листинги 9-15) Описательные статистики
- •Лабораторная работа №4 (листинги 16-18) Проверка гипотезы о нормальном распределении
- •Лабораторная работа №5 (листинги 19-24) Примеры проверки статистических гипотез
- •Лабораторная работа №6 (листинги 25-27) Однофакторный дисперсионный анализ
- •Лабораторная работа №7 (листинги 28-31) Корреляция и регрессия
- •Продолжение приложения 2
- •Приложение 4
- •Критические точки распределения Фишера
- •Критические точки распределения Фишера
- •Примеры тестовых вопросов по теории вероятностей и математической статистике
- •394087, Воронеж, ул. Мичурина, 1
Пример решения индивидуального задания
Пример 7.1. Пусть известно, что , а также вероятности .
Найти параметры распределения а и .
Определить диапазон изменения значений случайной величины Х.
Вычислить a) , б) .
Решение.
1. Сначала отметим, что
и .
Теперь воспользуемся формулой (7.1)
:
По таблицам значений функции Лапласа (приложение 2) находим значение аргумента функции : , т.е.
(*)
Аналогично
.
Отсюда
. (**)
Находим параметры распределения а и , решая систему уравнений (*) и (**):
.
Итак, теперь .
2. Согласно правилу трех сигм диапазон изменения значений случайной величины имеет вид интервала
.
В нашем примере это интервал (12,9435,87; 12,94 + 35,87), т.е.
(4,67; 30,55).
3. Первую вероятность ищем по формуле (7.1)
,
а вторую по формуле (7.2)
:
а)
;
б)
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ТЕМЕ 7
1.Запишите вид функции плотности вероятностей нормального распределения. Какими параметрами определяется нормальное распределение? Каков их вероятностный смысл?
2.Начертите нормальную кривую. Каков геометрический смысл параметров нормального распределения? Как влияют на форму нормальной кривой параметры нормального распределения?
3.Как вычислить вероятность попадания в заданный интервал значений нормальной случайной величины? Каков геометрический смысл этой вероятности?
4.В чем суть правила «трех сигм»? Как найти диапазон изменения значений нормально распределенной случайной величины?
5.Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием, равным 25. Вероятность попадания ее значений в интервал (10; 15) равна 0,2. Чему равна вероятность попадания Х в интервал (35; 40)?
6.Пусть . Каков диапазон изменения значений Какие гарантированный минимум и возможный максимум этих значений?
7.Процентная жирность молока коров в хозяйствах некоторой области является нормальной случайной величиной с математическим ожиданием 3,1% и средним квадратичным отклонением 0,0225%. Вычислить вероятность того, что во взятой наугад пробе жирность молока будет колебаться в пределах от 2,8% до 3,5%. Каков диапазон колебания жирности молока?
8.Вес отдельного батона хлеба данной партии случайная величина, описываемая нормальным законом распределения с математическим ожиданием 500 г и средним квадратичным отклонением 8 г. Определить вероятность того, что вес наудачу взятого из данной партии батона хлеба лежит в пределах от 496 до 508 г.
9.Средний размер диаметра стволов деревьев на некоторой делянке равен 25 см, а среднее квадратичное отклонение диаметров составляет 5 см. Считая, что диаметр ствола случайная величина, распределенная нормально, найти: а) процент стволов, имеющих диаметр свыше 20 см; б) размер, который не превзойдет диаметр ствола дерева с вероятностью 0,96.
10.Вес карпа в некотором пруду является нормальной случайной величиной с математическим ожиданием 375 г и средним квадратичным отклонением 25 г. Какова вероятность того, что вес пойманного карпа будет: а) в пределах от 325 г до 425 г; б) не более 400 г; в) не менее 350 г?
Тема 8. |
ПРИМЕРЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ, ПОРОЖДЕННЫХ НОРМАЛЬНЫМ ЗАКОНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ |