pdf.php@id=6170

Поэтому равенство (1,19) здесь сохраняется, а равенство (1,15) следует записать в более общем виде

ВЛ . Последнее выражение,. согласно представлению (1# 12) вместе с краевыми условиями ( 1 , 8 ), приводит к равенствам (1 .1 3 ) . Отсутствие скачка тангенциальных составляющих tyiaclф(х,У£) следует из равенств (1 .1 9 ), (1 ,1 2 ) и

2jW(4-}>ftadf(x ;у)- Гг^ (эс;у‘J-T,fy/xpj-jf(х;у).(1-26)

В результате выражение (1 .2 2 ) можно записать в виде

с граничными условиями

21

Следовательно, векторные потенциалы объемного и по­ верхностного распределений источников поля полностью оп­ ределяются заданием соответствующих функций V<p(xtyfz!)

И v f(x ',y ).

Ц&О: tyuxd. Ф(^ГУГ2)~0 * Причем на .основании теоремы о максимуме для гармонических функций,исчезающих на бес­

аналогии с соответствующей задачей теории электричества. Решение задачи о произвольном нагружении полупространства представляет суперпозицию двух рассмотренных решений. Очевидно, в этом случае при решении первой задачи скаляр $3 следует заменить на скаляр

потенциалы позволяют' провести аналогию между задачами теории упругости о полупространстве и соответствующими задачами электростатики и магнитостатики. Так, задача об

2 2

(Sa ~ абсолютная диэлектрическая проницаемость), когда в пространстве, занятом диэлектриком по поверхности S'

непрерывности тангенциальных слагающих этого вектора во всем пространстве. Потенциал Ф - функция гармоническая вне поверхности простого слоя и, следовательно, удовлет­

воряет в силу симметрии поля следующим граничным усло­ виям 2 -О:

статической модели, можно с учетом масштабных коэффи­ циентов найти соответствующие значения 3*з . Последние, согласно выражению (1 .6 ), позволяют определить все ком­ поненты тензора напряжений.

Более удобна в обращении не электростатическая мо­ дель, а модель переменного электрического поля в прово­ дящей среде, удовлетворяющего условиям квазистационар­

s'

2 3

Последнее, согласно представлению ( 1 . 1 ), позволяет решать методом аналогии смешанную (контактную) задачу теории упругости о вдавливании жесткого штампа в упругое полупространство при,задании на границе величины внедрения

аналогична задаче о нахождении напряженности Й магнит­ ного поля постоянных: (или квазистационарных) токов в электропроводной среде 2>sQ с заданным распределением на поверхности S fCz=o) поверхностных токов плотностью

J t w

Так, для напряжённости магнитного поля токов имеем (при отсутствии магнетиков) следующие соотношения / 4 6 /•

S'

2 4

2 - 0 :

где А* к А —векторные потенциалы соответственно объемных и поверхностных токов

дуют равенства

y*(x,y,z)-tpf W- -Л'^ас! <е*(х,ул), f ( x ; r ) ^ЫН--Лс<умс(?(х',у;.

Ч>*(Х,У,2)~0.

Таким образом, измеренные значения напряженности магнитного поля электрических токов в модели можно по­ пользовать для нахождения соответствующего вектора В"■ Знание последнего приводит к полному решению задачи Чер­ рути. Отсюда следует возможность электроаналогового ре­ шения контактных задач с учетом сил трения по контакту штампа с полупространством.

Кроме того, известная аналогия между решениями задач о штампе и щели дает возможность решения последних электроаналоговым путем. Так, задача о плоской произволь­ ной в плане щели, находящейся под действием внутреннего равномерного давления £%, и расположенной в плоскости

JT * 0 »формулируется следующим образом.Найти распределение напряжений в упругом невесомом пространстве, ослабленном плоской шелыо, по берегам которой действуют нормальные

с граничными условиями /5 2 /

25

где Т —поверхность шели.

Накладывая однородное напряженное состояние упругой

(1.42)

и г =0 , (X,У)4 з ’.

Решение последней, на основании указанной. выше возмож­ ности моделирования смешанных задач, осуществимо с помо­ щью электрической модели заряженной бесконечной плос­ кости, снабженной вырезом с поверхностью $ '

4>=C0ftSf/ '

1.2. Построение кваэианалоговой электрической модели нагруженности упругих целиков

Рассмотрим .задачу о нахождении нагрузок на упругие однородные изотропные целики произвольной формы в плане, механические свойства которых отличны от соответствующих свойств породного массива.

Пусть напряженное состояние нетронутого массива опре­ деляется компонентами, напряжений

е-г = кН, б-х =б-„~к.уН , T x v =T n = % y = o > (L44)

где У —объемный вес пород, Па/м; Н — глубина разработ­ ки, м; К - коэффициент бокового давления. Модуль упру­ гости и коэффициент Пуассона для вмещающих -пород и цели­ ков обозначим соответственно через Е п, Уп» В и, , V и, •

Сначала рассмотрим задачу 6 нагруженности упругих це­ ликов, подкрепляющих двоякопериодическую систему полостей, расположенных на большом расстоянии от свободной (днев­ ной) поверхности. Тогда данную задачу можно считать сим­ метричной относительно плоскости, проходящей через среднее поперечное сечение целиков.

26

Будем пренебрегать величиной касательных напряжений на контакте целиков с упругим массивом. Это допущение справедливо оправдано существованием слабых прослоек, на­ пример, глинистых между боковыми породами и рудным те­ лом. Наличие таких прослоек приводит к значительному сни­ жению величины касательных напряжений на контакте цели­ ков с кровлей и почвой. Напряженное состояние самого упру­ гого целика принимается однородным, .что несущественно сказывается на суммарной величине вертикальных напряжений в среднем поперечном сечении целика. '

Из совместности перемещений целика с упругим породным массивом получим систему уравнений

При переходе к дополнительным .напряжениям и учету разгрузки целика с боковых сторон укорочение последнего

напряжения в целике, находящемся в условиях однородной плоской деформации или одноосного напряженного состояния;

fl • —высота целика.

Тогда система уравнений (1 .45) получает вид, анало­ гичный используемому при определении нагрузок на целики расчетными методами

Ю - £ W ^ j - W i ( P i ) , i = 0 ,l,2 ,...,~ ,(l.4 8 )

27

где W i (-yH) -смещение под действием первоначальных

следние записать в дополнительных напряжениях, т.е. .наложить ' однородное напряженное состояние 6"г = - ^ Н.

Следовательно, переходя к полным напряжениям в (1 .4 9 ); имеем задачу теории упругости, которая эквивалентна первой частной задаче для полупррстрднства, когда на границе по-^ следнего действуют нормальные силы

личинами и зависят как от упругих свойств полупространства и целиков, так и от геометрии целиков и полости. Зависи­ мость ■определяется однозначно посредством равенств. .(1 .4 6 )- (1.48). Поэтому при определении неизвестных сил, прижи­ мающих штампы к упругому полупространству, необходимо совместное решение задачи для полупространства и системы

Таким образом, задача о нагрузке на упругие целики сводится к задаче о полупространстве с действующими на его границе нормальными усилиями, удовлетворяющими системе неоднородных уравнений. В дальнейшем, если противное не оговаривается, решение задачи будем вести в дополнительных

2 8

с граничными условиями

напряжениями; Г <Й,(А.) - потенциал, обусловленный

действием штампов; (р.) -г потенциал результирующего поля, который, согласно‘равенствам (1.5), (1,43) и (1.44), имеет вид

В последнем (выраже:нии использована связь потенциала простого слоя с вертикальным перемещением границы упру­ гого полупространства W = 2 fN /„)f • Выражения (1.51)- (1 .5 3 ) представляют решение задачи о нагруженности. уп­ ругих целиков, подкрепляющих•двоякопериодическую систему полостей через одну гармоническую функцию - потенциал простого слоя.

Для решения задачи о нагруженности целиков,1подкреп­ ляющих одиночную полость, обратимся к работе /1 6 /. Анализ результатов, указанных в этой раб.оте, приводит к следующим выводам.

L Нагруженяость целиков, подкрепляющих одиночную по­ лость, мало отличается от их нагруженности в случае не­ скольких одинаковых полостей, разделенных между собой широкими ленточными целиками. Так, при отношении ширины целика, относящейся к ширине узкого ленточного как

29

А/(X =50, нагруженность последних отличается от их нагруженности’ в одиночной полости не .более, чем на 5,3%

столбчатых целиков для аналогичного отношения ширины широкого ленточного к диаметру первых соответствующее отличие в нагрузках составляет не более 6 %.

2. Эта разница быстро убывает при удалении от края, полости. Так, разница в нагрузках для второго от края уз­ кого ленточного целика составляет около 2%, для столбча­ того - около 1 % полного веса вышележащих пород.

3. Дальнейшее увеличение размеров широкого ленточного целика нецелесообразно, так как отличие в разгружающем действии одного от другого при отношениях А /а =50 и

А /а ^ЮО даже для крайних целиков полости около 1%. Исходя из этого, решение задачи о нагруженности упру­

гих целиков в одиночной полости можно заменить решением соответствующей двоякопериодической задачи с учетом вно­ симых погрешностей. Очевидно, что система уравнений (1.51) здесь будет иметь аналогичный вид

где индексы Q и Jl/+i относятся к окружающим полость широким целикам.

Представление решения задачи о нагруженности упругих целиков в виде системы уравнений для потенциала, простого слоя позволяет перейти к соответствующей электрической модели, которую можно построить следующим образом. Обра­ тимся вновь к электрической модели для задачи о нормальном нагружении полупространства. К ее электродам, расположен­ ным на границе полубесконечной проводящей среды, подсое­

г А Л "

где ьг» S •—соответственно высота и площадь поперечного сечения области электропроводной среды с сопротивлением ^ •

3 0