книги из ГПНТБ / Клопский, З. А. Геометрия пробный учебник для 10 класса средней школы

а радиус окружности, описанной около основания пирамиды, ра­ вен 6 см.

545.Правильная треугольная пирамида вписана в сферу. Найти объем пирамиды, если ее боковое ребро составляет с плоскостью основания угол а = 58°, а расстояние от центра сферы до основа­ ния пирамиды d — 26 см.

546.Основанием пирамиды служит прямоугольный треуголь­ ник с катетами 9 см и 12 см, все боковые ребра пирамиды равны

20 см. Найти радиус сферы, описанной около пирамиды.

547. Основание прямой призмы — прямоугольный треуголь­ ник с катетами а и Ь, радиус сферы, описанной около призмы, ра­ вен R. Найти высоту призмы.

548. В прямой четырехугольной призме основание A BCD —

трапеция, в которой [AD] || [ВС], | АВ | = | ВС | = a, BAD = а. Высота призмы равна h. Найти объем шара, описанного около призмы.

549.Доказать, что во всякую треугольную пирамиду можно вписать сферу.

550.Доказать, что во всякую пирамиду, у которой двугранные углы при сторонах основания равны, можно вписать сферу.

551°. Каким условиям должны удовлетворять основание и высота прямой призмы, описанной около сферы?

552.Радиус сферы равен R. Найти объем куба: 1) вписанного

всферу; 2)° описанного около сферы.

П р и м е ч а н и е . В этом и аналогичных случаях нет необходимости выполнять детальный чертеж. В данной задаче достаточно на изображении куба отметить центр и радиус вписанной (описанной) сферы.

553. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетом а и противолежащим острым углом а. В призму вписан шар. Найти его объем.

554. Около сферы описана правильная треугольная призма,

111

557. Около шара описана правильная четырехугольная усе­ ченная пирамида, стороны оснований которой равны а и b (а >> Ь). Найти угол наклона бокового ребра к плоскости основания.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ V

558.Высота цилиндра на 8 см меньше радиуса основания, пло­ щадь боковой поверхности равна 1500 см2. Найти радиус и высоту.

559.В цилиндре боковая поверхность равновелика основанию. Указать несколько пар числовых значений R и Н для такого ци­

линдра.

560.Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту. Зависит ли от угла при вершине осевого сечения конуса: 1) отно­ шение их объемов; 2) отношение площадей их боковых поверхнос­ тей?

561.В цилиндр вписана правильная треугольная призма, пло­ щадь боковой поверхности которой равна q, а площадь полной по­ верхности Q. Найти площадь полной поверхности цилиндра.

562.В усеченном конусе площадь полной поверхности равна 120 см2у радиусы оснований относятся как 1 : 4, образующая нак­

лонена к плоскости основания под углом 60°. Найти высоту.

563.Площадь боковой поверхности конуса равна 84 см2, ра­ диус основания 4,2 см. Каковы размеры (радиус и угол) развертки боковой поверхности конуса?

564.Ромб с острым углом а = 45° вращается сначала около од­ ной, а затем около другой диагонали. Найти отношение площадей поверхностей полученных тел вращения.

565.Прямоугольный треугольник с гипотенузой с и углом 30° вращается около прямой, проходящей через вершину данного уг­ ла параллельно противолежащему катету. Найти площадь по­ верхности тела вращения.

566.Радиусы оснований усеченного конуса R и г, образующая составляет с плоскостью основания угол ср. Найти отношение площадей боковых поверхностей усеченного конуса и правильной усеченной четырехугольной пирамиды, вписанной в него. Ука­ зать лишние данные условия.

567.В конус вписана пирамида SABC, в основании ее лежит

112

570. Около шара описан цилиндр, а около этого цилиндра описан шар. Найти отношение площадей поверхностей и объемов этих шаров.

571.Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом ф. Найти отношение площадей сфер: вписанной в конус и описанной около него.

572.Доказать, что отношение объемов шара и описанного около него усеченного конуса равно отношению площадей поверх­ ностей этих тел.

574. В правильной четырехугольной пирамиде сторона осно­ вания равна а, плоский угол при вершине а. Найти площадь сфе­ ры, вписанной в пирамиду. Вычислить при а = 10,75 дм,

а= 41°44/.

575.Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 6 дм и 7 дм, высота пирамиды проходит через вершину основания и

2)Верно ли это свойство для других многогранников, описанных около сферы?

3)Составить и решить задачи (с число­ выми данными) на применение полученной формулы.

577.Основанием пирамиды служит пря­

моугольный треугольник, боковые грани, проходящие через катеты, составляют с ос­ нованием углы 30° и 60°. Найти объем и площадь боковой поверхности конуса, опи­ санного около пирамиды, если высота пирамиды равна /г.

/

5 - 8 6 1

Г Л А В А VI

ПОВТОРЕНИЕ С ДОПОЛНЕНИЯМИ

Вопросы для повторения

Повторение понятий, теорем и формул полезно сопровождать составлением примеров, краткой математической записью, выпол­ нением чертежей, изготовлением простейших моделей из имеющих­ ся предметов (карандашей, бумаги и т. п.).

Повторяя доказательство теоремы, полезно ответить на следую­ щие вопросы:

1)Что дано в условии теоремы и что требуется доказать?

2)Какие вспомогательные построения выполняются при дока­ зательстве?

3)Какие предложения из ранее изученного материала приме­ няются при доказательстве?

4)Используется ли эта теорема при доказательстве других теорем? Каких именно?

5)Как формулируется предложение, обратное доказанной тео­ реме? Истинно оно или ложно?

6)Есть ли в курсе геометрии предложения, являющиеся част­ ными случаями этой теоремы? Ее обобщениями?

7)Какое применение находит эта теорема в практике?

Для наиболее сложных теорем рекомендуем составить план до­ казательства, т. е. последовательно перечислить основные этапы доказательства.

Определения, аксиомы, теоремы

Может ли необходимое условие одновременно быть и достаточным?

114 .

Векторы, преобразования и координаты в пространстве

7. Объяснить понятия сонаправленности и противоположной

И. Сформулировать условие равенства двух векторов.

12.Как вводится понятие суммы двух векторов?

13.Как вводится понятие разности двух векторов?

14.Какими способами можно построить изображение вектора, равного сумме: 1) двух векторов; 2) трех векторов?

15.1) Для всяких ли двух векторов применимо правило парал­ лелограмма?

2)Для сложения всяких ли трех векторов применимо правило параллелепипеда?

16.Каким образом операцию вычитания векторов можно свести

коперации сложения?

17.С помощью какой формулы осуществляется переход от вектора к разности двух векторов?

2)умножения вектора на число.

20.Любой ли вектор можно разложить: 1) по двум неколлинеарным векторам; 2) по трем некомпланарным векторам?

21.Как вводится понятие угла между двумя направлениями?

22.Вспомните определение скалярного произведения двух векторов.

23.Для каких векторов равенство нулю их скалярного произ­ ведения служит достаточным и необходимым условием перпенди­ кулярности?

24.В чем состоит сходство и различие между свойствами ска­

лярного умножения векторов и свойствами умножения чисел?

25.Какие преобразования пространства являются обобщениями изученных преобразований плоскости?

26.Какие преобразования служат основой для введения понятия:

1)конгруэнтности фигур; 2) подобия фигур?

27.Существуют ли преобразования пространства, имеющие только одну: 1) точку, которая отображается на себя; 2) прямую, каждая точка которой отображается на себя; 3) плоскость, каждая точка которой отображается на себя?

28. Назовите преобразования пространства, при которых:

/

29.Вывести формулы, выражающие в координатах: 1) опера­ ции над векторами; 2) длину вектора; 3) косинус угла между двумя векторами.

30.Установить аналогию между уравнениями: 1) прямой на

плоскости хОу и плоскости в пространстве Oxyz\ 2) окружности на плоскости и сферы в пространстве.

Прямые и плоскости в пространстве

31.В чем состоит различие между скрещивающимися и пере­ секающимися прямыми, сходство и различие между параллель­ ными и скрещивающимися?

32.Доказать существование скрещивающихся прямых.

33.С помощью каких величин характеризуют взаимное рас­ положение двух прямых, если они: 1) параллельны; 2) пересекаются;

3)скрещиваются?

34.Доказать существование параллельных прямой и плоскости.

35.Как могут располагаться по отношению к плоскости: одна прямая, две параллельные прямые, две скрещивающиеся прямые?

36.Каковы случаи взаимного расположения двух плоскостей?

37.Доказать существование параллельных плоскостей.

38.Доказать существование прямой, перпендикулярной к плоскости.

39.Даны плоскость а и точка А. Сколько можно провести через А: 1) прямых, параллельных а; 2) прямых, перпендикуляр­ ных а; 3) плоскостей, параллельных а; 4) плоскостей, перпенди­ кулярных а?

40.Через всякие ли две скрещивающиеся прямые можно про­ вести: 1) параллельные плоскости; 2) перпендикулярные плоскости?

41.Указать всевозможные случаи взаимного расположения трех прямых в пространстве.

42. Что можно сказать о взаимном расположении полупрост­

5)R П Q = R U Q?

43.Что такое двугранный угол и как он измеряется?

44.Доказать существование взаимно перпендикулярных плос­

костей .

45.Перечислить известные вам множества точек пространства, заданные путем указания какого-либо одного свойства.

Изображение фигур

на

48.Можно ли утверждать, что проекция произвольной плоской фигуры конгруэнтна самой фигуре только в том случае, когда плоскость фигуры параллельна плоскости проекции: 1) в случае ортогональной проекции; 2) в случае косоугольной параллельной проекции?

49.На каких предложениях основаны способы построения изо­ бражений пространственных фигур?

50.1) Можно ли окружность считать разновидностью эллипса?

2)Какие свойства являются общими для эллипса и окружности? Какие различны?

51.Почему при изображении сферы предпочитают пользовать­ ся ортогональной проекцией?

Многогранные углы, многогранники

52.Рассмотреть понятие многогранного угла, выпуклого и невыпуклого. Какой из многогранных углов не может быть не­ выпуклым?

53.Какое свойство плоских углов трехгранного угла аналогич­ но свойству сторон треугольника?

54.Для существования трехгранного угла является ли нера­ венство а + Р + у < 360° условием: 1) достаточным; 2) необхо­ димым?

55.1) Сформулировать необходимое условие существования выпуклого многогранного угла. 2) Остается ли это условие необ­ ходимым и для невыпуклого многогранного угла?

56.Сформулировать достаточное и необходимое условия сущест­ вования трехгранного угла, имеющего плоские углы а, Р, у

57.Свести понятие «куб» к понятию «геометрическое тело» (взяв за образец рассуждения, проведенные в § 2 книги для уча­ щихся IX класса).

58.1) Какое наибольшее число сторон может иметь плоское

1) правильная /г-угольная пирамида; 2) правильная/г-угольная приз­ ма; 3) правильный тетраэдр?

62.Существуют ли фигуры, имеющие бесконечное множество:

1)центров симметрии; 2) осей симметрии; 3) плоскостей симмет­ рии?

117

63.Назовите многогранник: 1) имеющий ось симметрии, но не имеющий центра симметрии; 2) имеющий центр симметрии, но не имеющий ни оси симметрии, ни плоскости симметрии.

64.Доказать существование (путем построения) правильного тетраэдра и правильного октаэдра.

Цилиндр, конус и шар

ющийся частью полусферы). Проекцией каких из перечисленных

69.Сравнить понятия: 1) шаровой сегмент и сегментная по­ верхность; 2) шаровой слой и сферический пояс.

70.1) Какие из следующих тел имеют центр симметрии: а) ци­ линдр; б) конус; в) усеченный конус; г) шар? 2) Верно ли утверж­ дение, что следующие тела не имеют центра симметрии: а) шаровой сегмент; б) шаровой слой; в) шаровой сектор?

71.Всякое ли тело вращения имеет: 1) ось симметрии; 2) плос­ кость симметрии?

72.Верно ли утверждение, что около всякой призмы (пирамиды) можно описать сферу?

73.Верно ли утверждение, что не во всякую призму (пирамиду)

можно вписать сферу?

74. Можно ли описать сферу около: 1) усеченного конуса; 2) тела, образованного вращением треугольника вокруг его сто­ роны?

75. Можно ли вписать сферу: 1) в конус; 2) в цилиндр; 3) в усе­ ченный конус?

Объемы тел. Площади поверхностей тел вращения

76.Установить аналогию между определением объема тела и определением площади плоской фигуры.

77.Какие из следующих высказываний являются истинными, какие ложными: 1) равносоставленные тела равновелики; 2) рав-

носоставленные тела конгруэнтны; 3) конгруэнтные тела равносоставлены; 4) равновеликие тела равносоставлены?

78. С помощью каких теорем осуществляется последовательный переход от формулы объема прямоугольного параллелепипеда к теореме об объеме цилиндра?

118

80.Для каких многогранников и круглых тел формулы объе­ мов аналогичны?

81.Вспомните определения площади поверхности вращения отрезка и дуги окружности, а также метод нахождения этих пло­ щадей.

82.1) С формулой площади боковой поверхности какого много­

гранника сходна формула площади боковой поверхности конуса? 2) Ответить на такие же вопросы для цилиндра и усеченного ко­ нуса.

_ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ .

578.1) В правильной шестиугольной призме провести сечение через меньшую диагональ нижнего основания и наиболее удаленную от нее вершину верхнего основания.

2)Найти площадь сечения, если сторона основания призмы равна а, боковое ребро Ь.

579.Построить сечение параллелепипеда плоскостью, про­ ходящей через три точки, взятые на трех его попарно скрещиваю­ щихся ребрах.

580.Основание параллелепипеда — ромб; одно из диагональ­ ных сечений — прямоугольник. Доказать, что плоскость другого

диагонального сечения перпендикулярна плоскости основания.

581.Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна / и составляет углы а и (3 с двумя смежными боковыми гранями. Найти объем параллелепипеда. Исследовать решение.

582.В параллелепипеде диагональные сечения перпендикуляр­ ны к основанию; угол между плоскостями сечений равен а; пло­ щади сечений равны СД и Q2.

1) Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда.

2)Достаточно ли данных для нахождения его объема?

583*. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, имеющие общую вершину, видны из точки пересечения его диагоналей под углами а, (3, у. Доказать, что cos а + cos (3 + cosy = 1.

584.Требуется изготовить открытый ящик с квадратным ос­ нованием, вмещающий 108 дм3. Каковы должны быть размеры ящи­ ка, чтобы площадь его поверхности была наименьшей?

585.1) Требуется изготовить закрытый ящик с площадью ос­

нования, равной 1 ж2. Сумма длин всех ребер должна быть равна 20 м. Найти размеры ящика, при которых площадь его поверхности наибольшая.

2) Требуется изготовить коробку прямоугольной формы. Пло­ щадь дна коробки должна быть равна 2 дм2, а площадь боковой

119