Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Клопский, З. А. Геометрия пробный учебник для 10 класса средней школы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

10.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 154 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

119°. Среди трех отрезков — высоты, бокового ребра и апофемы

правильной пирамиды	указать наибольший	и наименьший
отрезки.	в правильной пирамиде	равновелики:
120. Доказать, что	в правильной пирамиде	равновелики:

1) двугранные углы при сторонах основания; 2) углы наклона боко вых ребер к плоскости основания.

121.Доказать, что непересекающиеся ребра правильной тре угольной пирамиды взаимно перпендикулярны.

122.1) Сторона основания правильной четырехугольной пира миды равна а, высота h. Найти боковое ребро и апофему.

2)Решить такую же задачу для правильной треугольной пира

миды.

123.Основанием пирамиды служит ромб со стороной 13 см, высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба и равна 12 см. Найти боковые ребра пирамиды, если одна из диагоналей основания равна 10 см.

124.В правильной шестиугольной пирамиде двугранный угол при стороне основания равен 45°, сторона основания равна а. Най ти высоту и апофему пирамиды.

125.На двух боковых ребрах пятиугольной пирамиды, не при надлежащих одной грани, дано по точке. Построить точку пересече ния прямой, проходящей через данные точки: 1) с плоскостью основания; 2) с плоскостью боковой грани, не содержащей ни одной из данных точек.

126.В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, двугранный угол при основании равен ср. Найти пло щадь сечения, проведенного через боковое ребро и высоту пира миды.

127.Найти площадь диагонального сечения правильной че тырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 12 см, боковое ребро образует с плоскостью основания угол ср. Вычислить при <р = 15°20\

128.В правильной шестиугольной пирамиде сторона основа ния равна а, высота пирамиды равна Н. Найти площади диагональ ных сечений.

129.В правильной треугольной пирамиде проведено сечение через вершину пирамиды и середину стороны основания параллель

но одной из двух других сторон основания. Вычислить площадь сечения, если сторона основания равна 10 дм, а боковое ребро

16дм.

130.Построить сечение четырехугольной пирамиды плоско стью, проходящей через три точки, расположенные на трех ее боковых ребрах.

131.В правильной четырехугольной пирамиде провести се чение, проходящее через диагональ основания и параллельное бо ковому ребру. Найти площадь сечения, если сторона основания равна а, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом ср.

3 0 -

132. Плоские углы при основании правильной четырехуголь ной пирамиды равны ср. Найти двугранные углы: 1) при ребре основания; 2) при боковом ребре. Вычислить эти углы при ср =759.

133.Двугранный угол при основании правильной треугольной пирамиды равен (3. Найти плоский угол при вершине пирамиды.

134.Практическая работа.

Спомощью разверток изготовить макеты: 1) правильной тре угольной пирамиды, стороны основания которой равны 4 см> а высота 5 см\ 2) неправильной треугольной пирамиды, все боковые ребра которой равны.

Вычислить для каждой из пирамид угол наклона бокового ребра к плоскости основания и к стороне основания.

§ 14. ГОМОТЕТИЯ ПРОСТРАНСТВА

Для плоскости и пространства определения гомотетии (а также преобразования подобия) аналогичны. Более того, все свойства гомотетии и подобия, изученные в планиметрии, можно распро странить на пространство. Поэтому мы ограничимся кратким об зором этой темы.

О п р е д е л е н и е 1. Гомотетией с центром О и коэффициен том k=f= 0 называется преобразование пространства, которое каждую

точку М отображает в такую точку M v что OMY= kOM.

Теорема 1.	Если при гомотетии с коэффициентом k
точки М и N отображаются соответственно в точ
ки Мг и Nv то	—kMN.

Для пространства эта теорема доказывается так же, как и ана логичная теорема планиметрии (рис. 37 и 38).

Сл е д с т в и я .

1.При гомотетии с коэффициентом k все расстояния между

точками умножаются на | k |:

	\| МИМ = \k \| • \|		MN \|.
2.	Прямая при гомотетии	отображается на		параллельную
ей прямую.		лучи	сонаправлены	(рис. 37), а
3.	При k > 0 гомотетичные
при k <С.О противоположно направлены (рис. 38).

0 M

Рис. 37

Рис. 38

\31

4.	Гомотетия				отображает
плоскость на				параллельную					ей
плоскость.
Д о к а з а т е л ь с т в о .								Рассмот-
рим	гомотетию			Tlk	и	плоскость			а
				п 0
(рис.	39). Проведем				в	плоскости			а
пересекающиеся прямые а							и	Ь.	Со
гласно		следствию 2,				их		образами
будут соответственно параллельные									им
прямые		di	и	Ь1.	Плоскость				alt
проходящая			через		и		blt	парал
лельна а (I,			§	13).	Докажем,				что
Hq (а) = аг.			Выберем				произвольно
точку		А £	а и	убедимся,				что	ее
образ Аг £			ах.	Через		А		проведем
прямую с,			пересекающую				а	и	b в

точках N и Р. Точки Ni =		Hq{N) и Pi =	Н*(Р)	принадлежат соответственно
прямым а\ и Ьъ	тогда ci =	(A^iPi), являющаяся		образом прямой с,	принад
лежит «1 (1, § 4,	аксиома 4). Так как А £ с, то Ai £ ci и, следовательно,				/Л £ с^.
Осталось убедиться, что любая точка Pi £ си есть образ некоторой точки
		.		L
плоскости а. Рассмотрим гомотетию			, обратную гомотетии Н0 . Рассуждая,
как и выше, получим, что		Hq (Pi) = Р,	где Р £ а. Отсюда Н (Р) =		Pi.
Итак, //q	(a) = ai и ai \|\| а. ■

5. Гомотетичные углы конгруэнтны.

Действительно, при k > 0 (рис. 40, а) стороны гомотетичных углов со

ответственно сонаправлены (свойство 3) и, следовательно, эти углы конгру энтны (I, § 30). При k < 0 (рис. 40, б) стороны гомотетичных углов противо

положно направлены. В этом случае один из углов можно отобразить дру гой центральной симметрией, центр которой есть середина отрезка ММХ,

соединяющего вершины углов (рис. 40, б).

На рисунке 41 изображены татраэдр ABCD и его образ A1B1ClD1 при гомотетии с цент ром О и коэффициентом k ——0,5.

О п р е д е л е н и е 2. Преоб

разование пространства, при котором все расстояния между точками умножаются на одно и то же число k > 0, называется подобием с коэффициентом k.

Согласно следствию 1, вся кая гомотетия является подо бием, коэффициент которого равен модулю коэффициента гомотетии. Любое перемещение

также является подобием, для которого k = 1.

Если фигура Ф отобража ется подобием на фигуру Фи то говорят, что Ф1 подобна Ф.

Т е о р е м а 2. Отношение

площадей подобных много угольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство, приведен ное в планиметрии, пригодно

идля пространства.

Сл е д с т в и е . Отноше ние площадей поверхностей подобных многогранников рав но квадрату коэффициента подобия.

Рис. 41

За д а ч и

135.1) Какие точки, прямые и плоскости при гомотетии отображаются на себя?

2) Каким преобразованием является гомотетия при k — 1 k = — l?

136.Гомотетия задана центром S(a, b, с) и коэффициентом k. Найти координаты образа точки М(х, у , z).

137.Изобразить тетраэдр и центр гомотетии. Построить образ этого тетраэдра, принимая: 1) k = —2; 2) k = 0,5. Для каждого

случая найти отношение площадей поверхностей данного и постро

енного	тетраэдров.
138.	1)	Принимая за центр гомотетии одну из вершин паралле
лепипеда,		построить его		образ		при k =	— .
2) Найти			отношение 5	: S 4 площадей			поверхностей параллеле
пипеда	и	его	образа при	k	=	- у . Каким должно быть k, чтобы
S : S i = 10?					при k =^= ±
139.	1)	Существуют ли					1 гомотетичные фигуры,
которые	являются конгруэнтными?

2) Доказать, что гомотетичные двугранные углы равновелики.

§ 15. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СЕЧЕНИЕ ПИРАМИДЫ

Сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, на зывают параллельным сечением пирамиды.

Т е о р е м а . Параллельное сечение пирамиды гомотетично ее

основанию, причем центром гомотетии служит вершина пирами ды. Площади сечения и основания относятся, как квадраты рас стояний их плоскостей от вершины пирамиды.

2— 861

Д о к а з а т е л ь с т в о .				1. Пусть в пи
рамиде SABCD проведено параллельное се
чение	A iBiCiD { (рис.		42). Рассмотрим гомо
тетию	с	центром	5 и	коэффициентом'
JU- 1^11		Эта гомотетия отображает точку А
\|S 4 \|

в точку Л ь а плоскость основания пирамиды—

на параллельную ей плоскость (§ 14,		следст
вие 4). Но через точку	проходит	единст

венная плоскость, параллельная			плоскости
основания, следовательно, основание ABCD
пирамиды	отображается	на	сечение
AiBfiiDi.

2. Высота [*SM] пирамиды (рис. 42) пересекает плоскость се чения в точке М {. Согласно § 14, имеем:

SА ХВХСХР Х

'ABCD

= &2 =	S M l	SMX
	\| SM	\|SM I 2

З а д а ч и

140°. 1) Через середину высоты пирамиды проведено сечение,, параллельное основанию. Найти площадь сечения, если площадь основания равна Q.

2) Высота пирамиды равна И. На каком расстоянии от верши ны пирамиды надо провести плоскость, параллельную основанию,

чтобы площадь сечения равнялась: а)

площади основания;

б) — площади основания?

141. Периметр основания пирамиды равен Р, а площадь осно вания Q. Найти периметр и площадь параллельного сечения, от

секающего, считая от основания: 1) — высоты; 2)	высоты
5	п
(т < п).

142.Плоскость а делит боковые ребра пирамиды в отношении

т: п (считая от вершины).

1) Доказать, что а параллельна плоскости основания.

2) Найти площадь сечения, если площадь основания рав на Q.

143. Высота пирамиды равна 16 см, площадь основания 512см2. На каком расстоянии от плоскости основания находится параллель ное сечение с площадью 0,5 дм2?

34 •


	§	16.	УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА
Рассмотрим							многогранник
ABCDEAiBiCiDiEi (рис. 43), вершинами
которого служат вершины основания пира
миды	и вершины				ее параллельного сече
ния. Такой многогранник называют усе
ченной пирамидой.									основа
Усеченная пирамида имеет два
ния (ABCDE и /41B1C1D 1£'1на рис. 43). Они
являются		гомотетичными				многоугольника				£
ми (§	15).	Перпендикуляр					[OOil,		опущен
ный из какой-либо					точки		одного		основа		Рис. 43
ния на плоскость другого основания, на
зывается		высотой			усеченной			пирамиды.
Боковые		грани		усеченной				пирамиды —
трапеции		АВВ±А и ВССхВи ...						.Усеченная
пирамида		называется правильной, если она
составляет часть правильной пирамиды.
Боковые грани правильной усеченной пира
миды — конгруэнтные равнобедренные тра
пеции.	Высота			каждой		из этих трапеций
называется апофемой правильной усеченной
пирамиды		(IAfAfJ			на рис.		43). Усеченную
пирамиду можно изобразить							путем построе
ния параллельного сечения на изображении											рис 44
полной пирамиды.							треугольной усеченной
Развертка			правильной								пирамиды изо
бражена на			рисунке 44.

За д а ч и

144.Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна 16 см, а стороны оснований 24 см и 40 см. Найти диагональ усеченной пирамиды и площадь диагонального сечения.

145.Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды а и Ь, боковое ребро с. Найти высоту и апофему.

146.1) Построить сечение правильной усеченной четырехуголь ной пирамиды плоскостью, проходящей через конец диагонали меньшего основания и перпендикулярной к этой диагонали.

	2) Вычислить площадь			сечения,		если	стороны		оснований рав
ны а и Ь, а боковое ребро с.
	147. У	правильной треугольной				усеченной		пирамиды стороны
оснований 12 см и 6 см,				высота 4 см.			Через	сторону		нижнего
основания		и	противолежащую вершину верхнего							основания
проведена		плоскость. Найти площадь получившегося сечения.
и	148. Площади оснований				усеченной		пирамиды		равны 32 м2
	50 л*2. Найти площадь параллельного сечения, делящего высоту
в	отношении		1 : 3 (считая	от	меньшего основания).

*149. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде сто роны оснований и апофема пропорциональны числам: 4, 10, 5, высота равна 16 см. Найти площади оснований.

150. В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 3 см и 9 см, площадь боковой грани 1-2 см2. Найти высоту усеченной пирамиды и двугранные углы при сторонах ее оснований.

151. 1) Стороны оснований правильной шестиугольной усечен ной пирамиды равны 12 см и 10 см, высота усеченной пирамиды 6 см. Через сторону нижнего основания и центр верхнего основания про ведено сечение. Найти его площадь.

2) Каким должно быть отношение сторон оснований данной усеченной пирамиды, чтобы построенное сечение превратилось в прямоугольник?

§17. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ПИРАМИДЫ

ИУСЕЧЕННОЙ ПИРАМИДЫ

Те о р е м а . 1. Площадь боковой поверхности правильной пи рамиды равна половине произведения периметра основания на

апофему пирамиды.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как боковые грани правильной пирамиды SABCD (рис. 45) конгруэнтны, то S6 = S a s a b - п (где п — число сторон основания).

Пусть [SAf] — апофема,		тогда SA s a b =	\АВ \| • \| SM \| и S6 =
= —	\АВ\ • \|SAf\| • п = —	(\АВ\ ■п) • \|S M \|=	— Р • \|S M \|..
2	2		2

Т е о р е м а 2. Площадь боковой поверхности правильной усе ченной пирамиды равна полусумме периметров оснований, умно женной на апофему.

Эту теорему докажите самостоятельно.

Площадь боковой поверхности неправильной пирамиды (пол ной или усеченной) следует находить путем суммирования пло

щадей всех боковых граней.
Площадь	полной поверхности пирамиды вычисляют по форму
5	лам: *Sn = Sq +	*S0 (для	полной пирамиды);
5	Sn = Sq + Si +	S2 (для усеченной), где S { и
	S2— площади	оснований	усеченной	пира
	миды.
		З а д а ч и
	152. Найти	площади	боковой и	полной

Аповерхностей правильной четырехугольной

пирамиды, боковое ребро		которой	равно
26 см, а сторона основания 20 см.
153.	По стороне основания	а и высоте h
найти	площадь боковой поверхности		пра-

вильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) ше стиугольной; 4) м-угольной.

154.Сторона основания правильной четырехугольной пира миды равна 6 м. Какой должна быть высота пирамиды, чтобы пло щадь боковой поверхности равнялась 60 ж2?

155.В правильной треугольной пирамиде площадь боковой

поверхности равна 9 6 ]/3 , а площадь полной

поверхности

112VT. Найти сторону основания и высоту.

156.1) В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 6 см, плоский угол при основании пирамиды 45®. Найти площадь полной поверхности.


2) В правильной n-угольной	пирамиде боковое ребро		равно
b, плоский угол при вершине а.	Найти площадь боковой		поверх
ности.		треуголь
157. 1) Основанием пирамиды служит прямоугольный
ник с катетами а и Ь, высота пирамиды проходит через		вершину

прямого угла основания и равна h. Найти площадь полной поверх ности.

	2) Стороны основания треугольной					пирамиды равны			34		см,
20 см и 18 см, две боковые грани пирамиды, проходящие										через
большие стороны основания, перпендикулярны к плоскости										осно
вания, высота пирамиды равна 12 см. Найти площадь полной											по
верхности.				пирамиды — треугольник			со	сторонами		5 см,
5 а	158. Основание
	и 6 см,		высота пирамиды проходит через центр круга,						вписан
ного в этот треугольник, и равна 2 см. Найти								площадь	боковой
поверхности.										6 дм,
	159.	Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами
15 дм,		высота пирамиды проходит через точку пересечения								диаго
налей и равна 4 дм. Найти площадь боковой поверхности.									высота
ее	160.	Основанием		пирамиды	служит	параллелограмм,
	проходит		через точку пересечения диагоналей основания.								До
казать,		что	любая	плоскость, проходящая через высоту					пирами
ды,	делит полную			поверхность	пирамиды		на	две равновеликие
части.

161.Основание пирамиды — правильный треугольник со сто роной а, одна из боковых граней — равнобедренный прямоуголь ный треугольник, плоскость которого перпендикулярна к плос кости основания. Найти площадь боковой поверхности (два случая).

162.Найти площади боковой и полной поверхностей правиль ной четырехугольной усеченной пирамиды, стороны основания которой равны 10 см и 2 см, а высота 3 см.

163.Стороны основания правильной треугольной усеченной

пирамиды 30 см и 60 см, высота равна 5 см. Найти площадь ее			пол
ной	поверхности.		пло
164. По высоте h и сторонам оснований а к Ь (а > Ь) найти
щадь	боковой	поверхности правильной усеченной пирамиды:
1) треугольной;		2) четырехугольной; 3) я-угольной.

165. Практическая работа.

Изготовить развертки:			1) правиль
ной	треугольной	усеченной	пирамиды;
2) правильной шестиугольной усечен
ной	пирамиды.	Вычислить площади их

	боковых и полных поверхностей.
	166. На рисунке 46 изображен бун
	кер,	поверхность основной			части кото
	рого	представляет боковую поверхность
	правильной		четырехугольной усеченной
	пирамиды.		По	размерам,	указанным
	на рисунке (в сантиметрах), вычислить,
	сколько квадратных дециметров листо-
вого	железа нужно для изготовления			бункера (не считая рука-
вов	А и В).

167.Основаниями усеченной пирамиды служат равнобедрен

ные треугольники, боковые их стороны равны а и	b (а >* 6),	углы
при вершинах треугольников равны 120°. Ребро	пирамиды,	про

ходящее через вершины данных углов перпендикулярно к плос костям оснований, равно с. Найти площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.

168. Основаниями усеченной пирамиды служат квадраты со сторонами 8 см и 4 см, одна из боковых граней, являющаяся рав нобедренной трапецией, перпендикулярна к плоскостям основа ний, а противолежащая ей грань образует с плоскостью основания угол 60°. Вычислить площадь боковой поверхности усеченной пи рамиды.

§ 18. ПЛОЩАДЬ ОРТОГОНАЛЬНОЙ ПРОЕКЦИИ МНОГОУГОЛЬНИКА НА ПЛОСКОСТЬ

Т е о р е м а . Площадь ортогональной проекции многоугольни ка на плоскость равна площади проектируемого многоугольника, умноженной на косинус угла, образованного плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим треугольник АВС, плос кость которого пересекает плоскость проекций а под углом ф.

Возможны два случая: 1) одна из сторон		данного	треугольника
параллельна плоскости проекций	(рис. 47,	а)\ 2) все стороны тре
угольника принадлежат прямым,	пересекающим а		(рис. 47, б).
1. Пусть IАВ] \|\| а (рис. 47, а).	Через [АВ] проведем плоскости

dj || а.

При пересечении этих плоскостей плоскостью АВС образуются двугранные углы, равные ф (почему?). Проектируем А АВС на плос кости а и а 4. Получим конгруэнтные треугольники А'В'С' и АВСХ

(kA'B'C' можно		получить,	отобразив треугольник АВСХ век
тором	А А '). Поэтому вместо площади треугольника А'В'С' будем
искать	площадь	треугольника	АВС

3 8 .

Рис. 47

Проведем [CDJJAAB], соединим Dx и С,, тогда [CiDJ _L [АВ]

(I,

43) и

CDfit — ср.

5Д лбс, =

— | АВ | • | CXD^.

Но | C1D11=

| CD11• cos ф,

поэтому

SA авс, =

| АВ | •

| CDX| cos ср =

SA abq

• cos ср.

Из трех

вершин

треугольника

АВС выберем ближайшую к

плоскости а, пусть это будет вершина А.

Проведем через А плоскость a^ l а

(рис. 47, б), проекцией тре

угольника АВС на плоскость сц

будет треугольник A B fi4.

Пусть (£С)

пересекает а 4 в точке Л4. Тогда SA л^с,

5длмс,—

—SA AMBt = 5д АМС ' COS Ф —SA АМВ *COS ср = (SA АМС— SA АМв) COS Ср=

SA ABC • COS cp.

му

Всякий многоугольник можно разбить на треугольники, поэто

нетрудно

доказать,

что теорема верна и для многоугольника..

З а д а ч а .

Площадь основания пирамиды равна Q, двугранные

углы при всех сторонах основания рае-

ны ф.

Доказать,

что

----------•

’

COS Ср

Р е ш е н и е .

В данной пирамиде

SABCDE (рис.

48)

проведем

высоту

[50],

затем

строим

линейные

углы

SKOy

SLO, ...

(детали

построения

опускаем). Согласно условию задачи,

SKO =

SLO =

SNO =

... =

ф.

Из

конгруэнтности

прямоугольных

тре

угольников SKO, SLO, 5iV0, ... по

лучим:

| /СО | =

| L0

| = | N0 | =

...,

т. е.

О — центр

круга,

впи

Рис. 48

санного

в основание ABCDE

пира-

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 154 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

Пусть [SAf] — апофема,		тогда SA s a b =	\АВ \| • \| SM \| и S6 =
= —	\АВ\ • \|SAf\| • п = —	(\АВ\ ■п) • \|S M \|=	— Р • \|S M \|..
2	2		2