книги из ГПНТБ / Клопский, З. А. Геометрия пробный учебник для 10 класса средней школы

поверхности 18 дм2. При каких размерах коробки сумма длин всех ребер будет наименьшей?

586. В треугольной пирамиде один из плоских углов при вершине прямой, высота пирамиды проходит через точку пересечения высот основания. Найти остальные плоские углы при вершине.

587. Доказать, что в тетраэдре биссектор двугранного угла делит проти­ волежащее ребро в отношении, равном

отношению площадей граней, образующих этот двугранный угол. 588. Разделить куб на три попарно конгруэнтные четырех­

угольные пирамиды.

589.Построить сечение четырехугольной пирамиды плоско­ стью, проходящей через внутреннюю точку отрезка, соединяющего вершину пирамиды с точкой пересечения диагоналей основания, и параллельной одной из ее боковых граней.

590.Доказать, что произвольный тетраэдр можно пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился ромб.

591.В основании пирамиды SABCD лежит квадрат, грани SAB

иSAD перпендикулярны к основанию, площадь основания в т раз меньше площади боковой поверхности. Найти углы наклона гра­ ней SCD и SBC к плоскости основания.

592. Доказать, что отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центроидами противолежащих граней, пересекаются в одной точке (называемой центроидом тетраэдра) и эта точка делит каждый из отрезков в отношении 3 : 1 .

593. 1) Через середину бокового ребра правильной треуголь­ ной пирамиды провести сечение, параллельное противолежащему ребру и перпендикулярное к плоскости основания.

2) Найти объем отсеченной пирамиды, если объем данной пира­

миды равен V.

594. 1) Окружность, касающаяся стороны треугольника и про­ должений двух других сторон (рис. 142), называется вневписанной окружностью по отношению к данному треугольнику. Обозначив радиус вневписанной окружности, касающейся стороны а треуголь­

р— а

2)В треугольной пирамиде все боковые грани одинаково на­

ни пирамиды составляют с плоскостью основания углы 45°. Найти объем пирамиды. Сколько решений имеет задача?

120

2) Сколько решений будет иметь аналогичная задача, если в основании пирамиды лежит: а) разносторонний треугольник, б) рав­ носторонний треугольник?

596. Основание пирамиды — прямоугольный треугольнике пло­ щадью Q и острым углом а. Боковая грань, проходящая через ка­ тет, который прилежит к данному углу, перпендикулярна к плос­

598.1) Доказать, что середины ребер правильного тетраэдра служат вершинами правильного октаэдра.

2)Найти объем этого октаэдра, если объем тетраэдра равен V.

599.Площадь полной поверхности конуса равна Q. Площадь боковой поверхности q. Найти: 1) угол при вершине осевого сече­ ния; 2) угол развертки боковой поверхности.

600.Ромб с площадью Q вращается вокруг стороны. Объем те­

ла вращения равен V. Найти углы ромба. Вычислить при Q —

=18 см\ V = 180 см3.

601.Параллелограмм со сторонами а и b и острым углом а вращается около стороны, равной а. Найти объем и площадь по­ верхности тела вращения.

602.Прямоугольник, стороны которого равны а и 6, вращается

вокруг оси, перпендикулярной к диагонали и проходящей через

ееконец. Найти объем тела вращения.

603.Основанием призмы, вписанной в цилиндр, служит тре­ угольник, два угла которого равны а и 0. Найти отношение пло­

604. В правильной четырехугольной пирамиде расстояние от центра основания до боковой грани равно Ъ, угол между высотой пирамиды и боковой гранью равен а. Найти площадь полной по­ верхности конуса, вписанного в данную пирамиду. Вычислить при b = 34,5 дм, а = 34°16\

605. Усеченный конус вписан в четырехугольную усеченную пирамиду, основанием которой служит равнобедренная трапеция с острым углом ср, боковые стороны оснований равны а и b (а > Ь). Боковое ребро пирамиды образует с большей из параллельных сторон основания угол а. Найти объем усеченного конуса.

121

607Q. 1) Найти множество всех точек, удаленных от данной пря­ мой на расстояние г.

2) Дана прямая MN и на ней точка Л. Найти множество всех

.точек, удаленных от (MN) на расстояние h и от точки Л на рас­ стояние р.

608.Куб, равносторонний цилиндр, равносторонний конус и шар имеют равные площади полных поверхностей. Объем какого из этих тел наибольший и какого наименьший?

609.Плоскость рассекает поверхность шара на части, отно­ шение площадей которых равно т : п. Найти отношение объемов получившихся частей шара.

610.Круговой сегмент с хордой а вращается вокруг диаметра, параллельного этой хорде. Доказать, что объем тела вращения' не зависит от радиуса дуги сегмента.

611.1) Ребро двугранного угла, равного а, проходит через

центр сферы радиуса R. Найти площадь части сферы, принадле­ жащей двугранному углу.

2) Найти площадь части поверхности земного шара, заклю­ ченной между Гринвичским и Пулковским меридианами.

612.Найти объем простого сферического сектора, у которого площадь сферической поверхности S, а конической поверхности Q.

613.В конус, у которого угол между образующей и основанием равен а, вписан шар радиуса г. Найти объем той части конуса, расположенной вне шара, которая содержит вершину.

614.Около шара описан усеченный конус, площадь боковой поверхности которого в т раз больше площади поверхности шара. Найти угол наклона образующей к плоскости основания.

615.Около шара описан прямой параллелепипед, объем кото­ рого в т раз больше объема шара. Найти двугранные углы при бо­ ковых ребрах параллелепипеда.

616.Шар вписан в прямую призму, в основании которой лежит равнобедренный треугольник с площадью 5 и углом а при вершине. Найти площадь поверхности шара.

617.Около правильной треугольной пирамиды описан шар, радиус которого R. Найти объем пирамиды, если плоский угол при

еевершине равен а. Исследовать решение.

618.1) В правильной треугольной пирамиде центры вписанного и описанного шаров совпадают. Доказать, что эта пирамида явля­ ется правильным тетраэдром.

2)* В правильной четырехугольной пирамиде центры вписанного и описанного шаров совпадают. Найти угол наклона боковой грани к плоскости основания пирамиды.

к плоскости основания, третья грань образует с основанием дву­ гранный угол <р. Найти объем описанного шара.

620. Около шара радиуса R описана /г-угольная правильная усеченная пирамида с двугранным углом а при основании. Найти

122

площадь боковой поверхности усеченной пирамиды. Достаточно ли данных для вычисления ее объема?

621. Найти множество всех точек пространства, разность квад­ ратов расстояний которых до двух данных точек равна k2.

622. Найти множество всех точек пространства, сумма квадра­ тов расстояний которых до двух данных точек равна &2.

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК

Геометрия, как и другие науки, возникла из практических потребностей людей. При изготовлении орудий труда, строитель­ стве жилищ у человека возникла необходимость определять фор­ му и размеры предметов.

Дошедшие до нас памятники материальной культуры и много­ численные письменные документы древности свидетельствуют о том, что уже около 4000 лет тому назад жители древнего Египта и Вавилона обладали значительным запасом геометрических сведений. Например, египетские пирамиды (гробницы фараонов) отличаются удивительной правильностью формы. Ясно, что руководить их строительством могли лишь люди, располагавшие геометрическими знаниями. В древнеегипетских папирусах, относящихся к 2000— 1700 гг. до н. э., содержится решение ряда геометрических задач, причем некоторые из них решены безукоризненно.

Заслуга дальнейшего накопления геометрических сведений и их систематизация принадлежат ученым древней Греции.

Известно, что уже при жизни Пифагора (564—473 гг. до н. э.) греки знали теоремы о конгруэнтности треугольников, о сумме углов треугольника, владели рядом сведений о параллельных прямых, о подобии фигур, о пространственных фигурах. Фундаментальная

и какое доказательство дано самим Пифагором.

Доказательства истинности геометрических фактов, общие ме­ тоды рассуждений в науке привлекли внимание выдающихся фи­ лософов древности: Демокрита, Платона, Аристотеля. В V и IV вв. до н. э. предприняты попытки последовательного изложения геометрического материала в виде ряда утверждений, подкреплен­ ных доказательствами.

Первые работы по систематизации геометрии до нас не дошли: все они были забыты после появления знаменитых «Начал» Евклида (около 300 г. до н. э.). Систематичность и строгость изложения сде­ лали это произведение источником геометрических знаний во мно­ гих странах мира в течение более двух тысячелетий. До последнего времени почти все учебники школьной геометрии были во многом сходны с «Началами».

Величайший математик древности Архимед (287—212 гг. до н. э.) углубил и дополнил теоретические положения Евклида.

123

Среди открытий Архимеда отметим глубокую разработку вопросов, связан­ ных с измерением длины окружности и площади круга, с вычислением объемов тел, в том числе цилиндра и шара. Архи­ мед погиб как патриот, защищая родной город Сиракузы от нападения римских захватчиков. Он завещал на надгробном камне изобразить шар, вписанный в ци­ линдр. Доказательство того, что объем этого шара составляет 2/3 объема ци­

в. до н. э.) Гиппархом были составлены первые (не дошедшие до нас) тригонометрические таблицы. Ряд работ, посвященных правилам вычислений в геометрии, появляет­ ся в I и II вв. н. э. Так, в работе Герона из Александрии «Метрика» даны правила вычисления площадей и объемов, например, правило нахождения площади треугольника, у которого заданы три сто­ роны (впрочем, это правило было известно еще Архимеду). Птоле­ мей составил таблицу хорд (она заменяла применяющиеся теперь таблицы синусов) для углов от 0° до 180° через каждые 0, 5°.

После гибели рабовладельческих государств древности центр научной мысли перемещается к индийцам, арабам и народам Средней

Азии.

Расцвет математики в Индии относится к V—XII вв. Индийцы уделяли большое внимание вычислительной геометрии: вычислению площадей поверхностей и объемов тел, тригонометрическим вычис­ лениям. В тригонометрии они пользовались не хордой, а полухор­ дой; наряду с синусом они ввели величину, называемую теперь косинусом.

Доказательства отсутствовали в трудах индийских ученых: чертеж и слово «смотри!» подле него составляли, как правило, все изложение теоремы.

Завоевания арабов в VII в. привели к возникновению на тер­ ритории от Индии до Испании обширных государств, росту городов, оживлению хозяйственной и культурной жизни. В области мате­ матики арабы использовали достижения ученых Индии, Китая и труды античных авторов. К концу IX в. на арабский язык были переведены творения Евклида, Архимеда, Аполлония и их много­ численных комментаторов. На арабском языке были написаны ма­ тематические сочинения ученых, живших в IX—XI вв. на терри­ тории, занимаемой ныне среднеазиатскими республиками Совет­ ского Союза.

224

Арабские и среднеазиатские ученые особенно продвинулись в области алгебры и тригонометрии. Вопросами геометрии, в част­ ности теорией параллельных прямых, занимался великий таджик­ ский и иранский ученый Омар Хайям (XI в.), известный также как поэт, позднее (в XIII в.) учение о параллельных и геометрическую теорию пропорций разрабатывал Насирэддин Туей, живший на территории современного Азербайджана.

Хотя результаты работ арабских ученых были весьма значи­ тельными, они все же не привели к перевороту в математической науке. Причиной этого являлось, конечно, не отсутствие у арабов одаренных математиков, а то обстоятельство, что уровень произ­ водства в арабских государствах почти не отличался от уровня, дос­ тигнутого в античной Греции. Главная заслуга арабских ученых состояла в том, что они сохранили науку древних в тот период, когда в Европе царили мрак и одичание средневековья.

В XII в., в связи с крестовыми походами, в Европе возникает интерес к математической культуре арабов. С арабского языка на латинский (бывший тогда официальным языком ученых всех стран Европы) переводятся «Начала» Евклида. В эпоху раннего Возрож­ дения (XII—XV вв.) математические знания распространялись среди все более широкого круга ученых. Накануне великих геогра­ фических открытий (XV в.) особый интерес возник к астрономии и в связи с этим к тригонометрии. Тригонометрия выделяется в са­ мостоятельную науку, начиная с издания Иоганном Мюллером со­ чинения «Пять книг о треугольниках всякого рода» (1461).

Мюллер ввел тригонометрические функции, которые мы назы­ ваем тангенсом и котангенсом, применил алгебру к решению гео­ метрических задач.

Бурное развитие техники, начавшееся в странах Западной Ев­ ропы в XVI—XVII вв., привело к не менее замечательным резуль­ татам в области математики.

Ране Декарт, французский философ и математик первой поло­ вины XVII в., в своей «Геометрии» впервые ввел в математику пере­ менные величины. Декарт рассматривал линии на плоскости как графики функций, выражающих зависимость одной переменной величины от другой. Тем самым он заложил основы аналитической геометрии плоскости.

Вскоре переменные величины окончательно укоренились в ма­ тематике благодаря работам Исаака Ньютона (1643—1727, Англия) и Готфрида Вильгельма Лейбница (1646—1716, Германия), завер­ шивших создание основ дифференциального и интегрального ис­ числения. Математические открытия Декарта, Ньютона и Лейбница были подлинной революцией в математике. С помощью новых раз­ делов математики было легко найдено решение многих геометри­ ческих задач: о проведении касательной к произвольной кривой, о вычислении площадей различных фигур, объемов многих тел и др.

С XVII в. трудами французских ученых Дезарга и Паскаля положено начало новому направлению в геометрии, получившему

125

в дальнейшем наименование проективной геометрии.

Полутора столетиями позднее их соотечественник Гаспар Монж разработал метод изображения фи­ гур с помощью ортогонального проектирования на две плоскости. Работы Монжа послужили основой технического черчения и начерта­ тельной геометрии.

С XVIII в. в России начинают печататься учебники и научные тру­ ды по геометрии. Разделы, посвя­ щенные геометрии, имелись в пер­ вом русском учебнике математики— «Арифметике» Л. Ф. Магницкого, вышедшем в 1703 г. Леонард Эй­ лер (1707—1783), многие годы жив­ ший и работавший в России, обна­

ружил ряд замечательных свойств поверхностей и пространствен­ ных кривых. Благодаря исследованиям Эйлера и Монжа в XVIII в. возникает метод изучения свойств геометрических фигур, осно­ ванный на применении производной,— дифференциальная геометрия.

В XIX в. в связи с задачами геометрии, механики и физики возникает векторное исчисление. Термин «вектор» предложил ан­ глийский ученый У. Р. Гамильтон, современное изложение век­ торного исчисления принадлежит физику Дж. В. Гиббсу (1839—1903, США). Немалый вклад в разработку теории и приложений векторов внесли русские математики М. В. Остроградский и А. П. Котель­ ников.

К середине XIX в. русские ученые не только поднялись до уровня, достигнутого передовыми математиками Западной Европы, но и сделали ряд открытий первостепенной важности. Особое место здесь принадлежит великому русскому ученому Н. И. Лобачев­ скому (1792—1856), создавшему неевклидову геометрию.

Чтобы лучше уяснить значение научного подвига Н. И. Лоба­ чевского, рассмотрим некоторые особенности «Начал» Евклида.

Евклид начинает с определений геометрических понятий: точ­ ки, линии, прямой, поверхности, плоскости, тела, угла и т. п. Так, первое определение гласит: точка есть то, что не имеет частей. Определение прямой таково: прямая — это линия, одинаково расположенная относительно всех своих точек. Приведенные оп­ ределения можно рассматривать лишь как наглядные описания понятий точки и прямой, причем эти описания не вполне удачны. Например, «определению» прямой, по-видимому, удовлетворяет и окружность и сфера. Разумеется, опираться на такие определе­ ния при построении математической теории нельзя — Евклид и не пытается этого делать.

126

Во все времена особое внимание математиков привлекал пятый постулат Евклида: если две прямые образуют с третьей по одну ее сторону внутренние углы, сумма которых меньше развернутого угла, то такие прямые пересекаются при достаточном продолжении с этой стороны (рис. 143).

Если остальные постулаты и аксиомы казались вполне очевид­ ными, то очевидность пятого постулата вызывала сомнения. От­ личался он от других постулатов и сложностью формулировки. Поэтому были предприняты многочисленные попытки доказать этот постулат, основываясь на первых четырех постулатах и пяти аксиомах «Начал». На протяжении двух тысячелетий многие круп­ нейшие математики пытались это сделать, но безуспешно. Удава­ лось лишь заменить пятый постулат эквивалентными предложе­ ниями, которые нередко формулировались проще и обладали большей наглядностью, но, тем не менее, оставались недоказанными.

Безрезультатность попыток доказательства пятого постулата привела нескольких выдающихся ученых к предположению о воз­ можности существования геометрической системы, в которой вместо пятого постулата Евклида взято противоречащее ему предложе­ ние. При этом вначале вопрос ставился чисто логически: наглядное истолкование и практические применения новой системы были отодвинуты на второй план.

Впервые такую геометрию во всей ее полноте создал Николай Иванович Лобачевский. В 1826 г. он делает устное сообщение о своем открытии, а в дальнейшем публикует ряд трудов по неевкли­ довой геометрии2.

Н. И. Лобачевский заменяет пятый постулат следующей

результаты в 1832 г. Раусе не имел мужества публично выступить g изложе­ нием своих работ по неевклидовой геометрии. Он опасался непонимания со стороны современных ему ученых.

127

(рис. 144). Все остальные постулаты и аксиомы Евклида Н. И. Лобачевский при­ нимает за истинные. Если бы пятый посту­ лат вытекал из этих предложений, то, приняв противоречащее ему предложение, Н. И. Лобачевский должен был получить противоречие при дальнейших рассужде­ ниях. Но никакого противоречия с ос­

тальными девятью аксиомами не получалось в многочисленных те­ оремах и формулах, доказанных Лобачевским на основе его акси­ омы. Более того, предложения, доказанные Н. И. Лобачевским, составили стройную систему, не уступавшую геометрии Евклида по логичности и полноте.

Аксиома Н. И. Лобачевского, теоремы, основанные на ней, поразили своей необычностью современников великого ученого, привыкших к геометрии Евклида. Так, например, в геометрии Ло­ бачевского сумма углов треугольника оказалась меньше 180° и уменьшалась с увеличением его площади; в новой геометрии не су­ ществовало прямоугольников и подобных фигур.

Ученые того времени не сумели оценить глубины и важности

рения не могли дать оснований для какого-нибудь определенного вы­ вода. Например, можно рассчитать, что сумма углов равнобедрен­ ного прямоугольного треугольника с катетом, равным диаметру земной орбиты, согласно формулам Лобачевского, должна быть меньше 180° примерно на 0,000003 угловой секунды. А такой «де­ фект» пока неуловим даже для наиболее совершенной измеритель­ ной аппаратуры нашего времени.

128