книги из ГПНТБ / Клопский, З. А. Геометрия пробный учебник для 10 класса средней школы

Рис. 63 Рис. 64

ный к этой стороне (докажите ). Зная это, построим изображение правильного вписанного треугольника при заданном изображении окружности (рис. 63, б).

(рис. 64) достаточно провести диаметры из вершин правильного вписанного треугольника АВС и соединить последовательно полу­ чившиеся шесть точек.

За д а ч и

212.Дан эллипс и угол АОВ, изображающий центральный угол окружности. Построить изображение биссектрисы этого централь­ ного угла.

213.Даны эллипс и прямая MN, которые служат изображе­ ниями окружности и ее секущей. Через данную точку А провести прямую, изображающую перпендикуляр к (M N).

214.Построить касательную к эллипсу, параллельную данной его хорде.

215.Через точку, принадлежащую эллипсу, провести к нему касательную.

216.Построить изображения вписанных в окружность: 1) пря­

моугольного треугольника; 2) равнобедренного треугольника; 3) прямоугольника; 4) равнобедренной трапеции; 5) правильного

3) равнобедренного треугольника; 4) ромба; 5) равнобедренной трапеции.

§ 22. ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ И ТЕЛО ВРАЩЕНИЯ

Пусть даны прямая а и точка М вне ее (рис. 65, а). Через М проведем плоскость а, перпендикулярную к а, обозначим а П а = О. Представим себе, что точка М описывает в плоскости а окружность

50

Рис. 65 Рис. 66

с центром О (рис. 65, б). Такое движение точки М условимся назы­ вать вращением точки вокруг оси а.

Рассмотрим плоскую непрерывную линию [L] (прямую, лома­ ную или кривую) и ось а, лежащую с [L] в одной плоскости (рис. 66). Если все точки линии [L] вращать вокруг а, то каждая такая точка М опишет некоторую окружность (рис. 67). Объединение окруж­ ностей, образованных вращением всех точек линии [L] вокруг оси а, называется поверхностью вращения.

Пересечем поверхность вращения (рис. 67, а ) плоскостью а,

51

всех точек фигуры Ф вокруг а образует в пространстве бесконечное множество окружностей (рис. 68, б). Объединение окружностей, образованных вращением всех точек фигуры Ф вокруг оси а, на­ зывается телом вращения.

Поверхность этого тела образована вращением границы [L] данной фигуры вокруг а. Следует отличать тело вращения от его поверхности. Одной из моделей тела и поверхности вращения служит деталь, выточенная на токарном станке (рис. 69), и поверх­ ность этой детали.

§23. ЦИЛИНДР ВРАЩЕНИЯ. РАЗВЕРТКА ЦИЛИНДРА

1.О п р е д е л е н и е . Цилиндром вращения называется тело,

образованное вращением прямоугольника вокруг его стороны.

Вдальнейшем цилиндр вращения (рис. 70) будем кратко име­ новать цилиндром.

*

линдра параллельны и рав­ ны, любая из образующих может служить высотой цилиндра.

2. Вообразим, что боковая поверхность цилиндра изго- ^ товлена из какого-либо гиб- Н кого нерастяжимого матери­ ала, например из бумаги.

Разрежем по образующей бо­ ковую поверхность и развер­ нем ее на плоскости. Получим прямоугольник (рис. 71), основание которого равно длине окружности основания,

а высота — образующей цилиндра. Этот прямоугольник называет­ ся разверткой боковой поверхности цилиндра. Развертку полной поверхности цилиндра (развертку цилиндра) получим, присоеди­ нив к развертке его боковой поверхности два круга оснований

(рис. 71),

За д а ч и

218.Какова форма сечения цилиндра плоскостью: а) проходя­ щей через ось {осевое сечение); б) параллельной основанию; в) па­

раллельной оси; г) наклонной к оси и пересекающей все образую­ щие?

219. Площадь осевого сечения цилиндра равна 8 ж2, площадь основания 12 ж2. Вычислить площадь сечения, параллельного оси

иотстоящего от нее на 1 ж.

220.Радиус цилиндра R , высота Я, площадь сечения, парал­ лельного оси, равна S. На каком расстоянии от оси находится плоскость сечения?'

221.1) Имея изображение цилиндра, построить изображение правильной ц-угольной призмы, все вершины которой лежат на

. пункте 1, если радиус основания цилиндра равен Я, а образующая L.

222.Точка М принадлежит основанию цилиндра, а точка N — его оси. Построить точки пересечения (MN) с боковой поверхностью цилиндра (или с ее продолжением).

223.Точки А у В и С принадлежат различным образующим ци­ линдра. Построить точку пересечения плоскости АВС с какойлибо образующей (или с ее продолжением), не проходящей через данные точки.

224.Диагональ развертки боковой поверхности цилиндра, равная d, образует с высотой развертки угол а. Найти площади основания и осевого сечения цилиндра.

53

§ 24. КОНУС ВРАЩЕНИЯ. РАЗВЕРТКА КОНУСА

О п р е д е л е н и е . Конусом вращения называется тело,

образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг его катета (рис. 73).

Конус вращения в дальнейшем будем называть просто конусом. На рисунке 73 изображен конус, образованный вращением пря­ моугольного треугольника SOA вокруг катета SO. Второй катет ОА, перпендикулярный к оси (SO), при вращении образует круг,

соединяющие вершину S вращаемого треугольника с точками ок­ ружности основания конуса, называются его образующими. Точ­ ку S, общую для всех образующих, называют вершиной конуса,

основание конуса. Точки А и В не являются концами диаметра эллипса, а треугольник A SB не служит осевым сечением конуса; такое сечение — треу­ гольник ASA i.

54

Параллельное сечение конуса (рис. 74, б) — круг. Оно изображается

эллипсом, у которого отношение большой и малой осей равно отношению этих осей на изображении основания (например, 2 : 1 на рисунке 74, б).

Вообразим боковую поверхность конуса (рис. 75, а) «разрезан­ ной» по образующей SA и «развернутой» на плоскости. Получится круговой сектор (рис. 75, б), который называется разверткой боковой поверхности конуса. Радиус сектора равен образующей, длина дуги сектора равна длине окружности осно­ вания конуса. Развертку полной поверх­ ности конуса (кратко — развертку ко­ нуса) получим, присоединив к этому сектору круг, являющийся основанием конуса (рис. 76).

55

Рис. 78

плоскость а параллельна только одной из образующих (рис. 78, б) или двум образующим (рис. 78, в), то соответственно получим параболу или ветвь

гиперболы.

Полученные линии, часто встречающиеся в математике, физике, механике, астрономии, носят общее название конических сечений. Эти ли­

нии очень обстоятельно были изучены еще в древности (III в. до н. э.). Доказательство проводить не будем.

З а д а ч и

228°. 1) Одинаково ли наклонены к плоскости основания кону­ са его образующие?

2) Высота конуса равна А, образующая составляет с плоскостью' основания угол ср. Найти образующую и радиус основания.

229. 1) Образующая конуса равна /, угол при вершине осевого сечения ср. Найти площадь основания.

2) Площадь основания конуса равна Q, образующая /. Найти площадь осевого сечения.

230. 1) Дано изображение конуса. Построить изображение пра­ вильной треугольной пирамиды, у которой вершина совпадает

свершиной конуса, а основание вписано в основание конуса.

2)Вычислить площадь боковой поверхности пирамиды, если высота конуса 20 см, а диаметр его основания 40 см.

231. Радиус основания конуса равен R, угол наклона образую­ щей к плоскости основания а. Плоскость проходит через вершину конуса и пересекает основание под углом ср. Найти площадь сече­

ния.

232. Высота конуса равна И. На каком расстоянии от плоскости основания нужно провести параллельное сечение, чтобы его пло-

56

\

щадь была равна: 1) половине площади основания; 2) — площади

п

основания?

233.Дана точка, принадлежащая основанию конуса. Постро­ ить точку пересечения боковой поверхности конуса и прямой, про­ ходящей через данную точку и середину высоты.

234.Точки А, В и С принадлежат различным образующим конуса. Построить точку пересечения плоскости АВС с какой-либо

образующей (или с ее продолжением), не проходящей через данные точки.

ирадиус)?

237.Радиус основания конуса 22,5 мм, высота 60 мм. Сделать чертеж развертки полной поверхности этого конуса.

238.Разверткой боковой поверхности конуса служит полу­ круг. Найти угол при вершине осевого сечения.

§ 25. УСЕЧЕННЫЙ КОНУС

При вращении прямоугольной трапеции AAfiiO (рис. 79) во­ круг ее боковой стороны Ofi, перпендикулярной к основаниям, образуется тело вращения, называемое усеченным конусом. Вра­ щение оснований трапеции образует два круга, которые называются основаниями усеченного конуса. Перпендикуляр, опущенный из какой-либо точки одного основания усеченного конуса на плос­ кость другого, называется высотой усеченного конуса. За высоту можно принять отрезок 0 {0 (рис. 79), соединяющий центры осно­ ваний усеченного конуса.

Боковая поверхность усеченного конуса образуется при вра­ щении наклонной боковой стороны A tA трапеции (рис. 79).

Усеченный конус можно рассматривать как часть полного кону­ са (рис. 80, а), полученную при пересечении его плоскостью, па­ раллельной основанию. Образующие [А±А], [В{В] и т. п. усечен­ ного конуса являются частями соответствую­

усеченный конус до полного.

57

Рис. 80

За д а ч и

239.Радиусы оснований усеченного конуса 11 см и 19 смг высота 15 см. Найти образующую.

240. Радиусы оснований усеченного конуса R и /*, образующая /. Найти образующую и высоту полного конуса, от которого отде­ лен данный усеченный конус.

241. 1) Образующая длиной / усеченного конуса составляет с плоскостью основания угол ср, диаметр меньшего основания равен d. Найти площадь осевого сечения.

2) Радиусы оснований усеченного конуса относятся как 1 : 3, образующая составляет с плоскостью основания угол 45°, высота равна h. Найти площади оснований.

242.Радиусы оснований усеченного конуса равны R и г. Вы­ сота конуса разделена на три равные части, и через точки деления проведены плоскости параллельно основаниям. Найти площади получившихся сечений.

243.Имея изображение усеченного конуса, построить изобра­ жение правильной четырехугольной усеченной пирамиды, верши­

ны оснований которой принадлежат окружностям оснований усе­ ченного конуса.

244. Найти площадь боковой поверхности усеченной пирамиды, вписанной в усеченный конус (см. задачу 243), если радиусы ос­ нований усеченного конуса равны 2 см и 6 см, а двугранный угол при основании пирамиды равен 60°.

245. I) Радиусы оснований усеченного конуса 5 см и 2 см, вы­ сота равна 4 см. Найти размеры (радиусы и градусные меры дуг) развертки боковой поверхности. Изготовить макет усеченного конуса.

.58

2) Какие размеры имеет развертка боковой поверхности ведра, если диаметры его оснований равны 28 см и 20 см, а высота 24 см. Сколько квадратных дециметров материала нужно затратить на изготовление этого ведра (без учета расхода на швы)?

§26. СФЕРА И ШАР. УРАВНЕНИЕ СФЕРЫ

1.О п р е д е л е н и е . Сферой называется поверхность вра­

щения полуокружности вокруг ее диаметра.

Центр О вращаемой полуокружности (рис. 81) — центр сферы.

Отрезок ОМ, соединяющий центр с произвольной точкой сферы, называется радиусом сферы. Все радиусы сферы имеют равные длины. Поэтому сферу можно рассматривать как множество всех точек пространства, удаленных от одной точки (центра сферы) на данное расстояние (равное радиусу сферы).

Отрезок прямой, соединяющий две любые точки сферы, назы­ вается хордой сферы. Хорда, проходящая через центр О, называется диаметром сферы. Длина диаметра равна удвоенной длине радиуса.

сферу с центром S (а, Ь,с) радиуса R (рис. 82). Найдем уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки М (х, у, z) сфе­ ры. Для всех точек, принадлежащих сфере, и только для этих то­ чек, выполняется равенство | SM | = R. Это равенство запишем в координатной форме, пользуясь формулой расстояния между двумя точками (§ 3, задача). Получим:

у

59