книги из ГПНТБ / Микерин, И. К. Аэродинамика летательных аппаратов
.pdfуплотнения - оо
а. Кинематические соотношения
Разложим скорости Vi и ^г. на составляющие: нормальную и касательную к поверхности скачка (рис.2.22).
Тогда:
Уш - М4 і і п Д ) |
Ѵ г п = Чг sin |
Ѵ г Г = V £ c o s ^ - ^ 2 . i 9 )
Заметим, что для прямого |
скачка |
М 4 П = , |
"= О. |
|
б . Уравнение |
расхода на скачке |
уплотнения |
|
|
При переходе |
газа через |
скачок |
уплотнения |
разрыва |
потека не наблюдается, поэтому массовый секундный расход г а |
||
за через площадку |
Д О" |
равен |
Л V m |
ûCû = ft |
ѴгпАСзили |
Pa V 4 n |
= Л |
Van . |
(2.20) |
Для |
прямого |
скачка Р\ |
-Pi |
V2 |
_ |
(2.20а) |
в . Закон сохранения количества гзижеяия
На основании этого закона импульс сил, действующий на массу Д ГП , равен изменению количества движения этой массы. Применим его в направлении нормали к поверхности скачка. Пренебрегая силами веса и считая газ идеальным,можно
92
записать: |
|
|
|
|
|
|
( р а |
- р J ÛO-д t |
- . і т ( Ѵ , „ - Ѵ а п ) = Л . |
||||
где Л m |
- |
"t _ |
масса |
газа, |
проходящего |
через |
|
|
|
выделенную |
площадку л 6" |
за |
|
|
|
|
время |
à t |
|
|
Сокращая на Д CT |
д t |
, |
получим: |
|
||
Р а - Р< = Л Ѵ*п - |
Л Ѵ«і Ѵяп - |
Л V4 n ( V 4 n - Vanj |
( 2 . 2i) |
||||
|
|
|
|
|
|
^ |
a |
или, используя соотношение (2.20), |
^і~Рл^{п~Р^гп |
||||||
Для прямого скачка: |
Р д |
- |
Р , |
- |
V, (V, - Va J ' |
|
|
Применяя этот закон в направлении касательной к |
|
||||||
скачку; можно записать |
д |
т |
( Ѵ / Г ~ ^ г ) |
» |
|
||
о т к у д а |
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
Ѵ<г |
= |
У11 |
- Ѵт . |
(2.22) |
||
составляющая |
скорости, |
касательная |
|||||
к поверхности скачка,не изменяется при переходе через скачок
уплотнения. |
|
Поэтому для прямого скачка |
|
Ѵ2 cos (jB-cöJ = Va fcosjB cosco + sinß |
ü n u ) J = |
Ѵ=а г 7V =a ( o + S i n t ü j = v ^ S ^ = О; 0 T * y A A |
" ^ 0 . |
или при переходе через прямой скачок уплотнения скорость не изменяет своего направления.
г . Уравнение БЕРНУЛЛИ
Используя соотношение (1.40/ и учитывая, что
V* = ѵД + V/f ; Vjf = v / h 1- v£ |
. запишем: |
^ |
Перенося в левую часть , іолучим:
â |
к-1 ?л " 2 |
|
*-<- |
Рг. • |
|
|
|
||
Используя основные кинематические соотношения (2.19), |
|||||||||
уравнения |
(2.20/) + ^ . 2 3 ) и |
уравнение |
состояния |
газа |
|
||||
|
Ж |
- |
- А , |
|
|
|
(2.24) |
|
|
можно определить все параметры газа за скачком уплотнения |
|
||||||||
по их значениям до скачка и заданной величине |
ß |
(или |
) . |
||||||
§ 2.6. "Оідрірёлёнйё^^ |
|
|
л |
|
|
|
|||
|
скачком |
уплотнс.іия |
|
|
|
|
|||
Д-л |
определения |
, ßz |
, |
Рд |
. Т А . |
необходимо |
|
||
решить уравнения, |
связывающие |
эти параметрами |
с |
параметрами |
|||||
газа перед |
скачком. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
положить, что угол |
ß |
задан и искать зависи |
||||||
мости в функции соответствующего параметра перед скачком, а
также |
числа |
и |
ß |
, |
то кинематические соотношения |
|
(2.19) |
делаются |
независимыми и задача сводится к решению сис |
||||
темы уравнений |
(2.20) + (2.24). |
|
||||
|
а) Определение нормальной составляющей скорости Ѵ^п |
|||||
|
Для этого |
воспользуемся уравнением (2.21 ) , разделив |
||||
в нем обе чаоти на |
ßy |
\Jin |
— ß |
' |
||
9k
Л Van |
р, |
- |
" |
|
(а) |
|
|
|
||
M» |
|
= VwM |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
.3. |
|
|
|
|
|
Из уравнения |
|
БЕРНУЛЖ |
|
+ - ^ - |
+ -äL |
JL |
= |
^Ё£* |
|
найдем |
-PL = |
|
(V *Q „ . v * _ ѵ * |
|
|
|
|
|||
и подставим |
его в |
соотношение ( а ) : |
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
Z |
|
|
2. |
2 |
|
|
|
|
К - \ |
/Ѵ/гіок-Ѵг |
_ |
\/ |
VmQV-ѴТ ^ \/ |
\ - |
\/ |
_ |
\/ |
||
* к 1 ~ ^ Г |
|
2 " |
ѵ ^ Г ѵ |
^ ~ ѵ |
" |
|
І П - |
|||
,Приводя левую часть к общему знаменателю и решая
полученное |
|
соотношение |
относительно |
Ѵ 1 П |
Ѵ а п , |
получим: |
|||||||||||
|
|
^•m |
Van = |
£ + |
^ ( У mat |
~ |
У<с ) |
|
|
|
|
||||||
Учитывая, |
что |
\ / г |
|
- |
|
Q^rn |
|
» a |
V,r |
= |
V. |
|
|||||
|
|
|
|
|
V o x |
" |
к-4 |
^ |
*Р |
|
|
L |
|
|
|
||
окончательно запишем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
V |
м |
- о * - J S i i . V 1 |
c o s ^ ß |
|
{ 2 - 2 5 ) |
|||||||||
Для |
прямого |
скачка |
V,, |
= |
& к.р |
|
|
|
|
|
(2.25а) |
||||||
|
|
Соотношение (2 . 25а) показывает, что |
для |
прямого |
скач |
||||||||||||
ка |
V g < |
Û < p , таг |
как |
поток |
сверхзвуковой и |
Ѵ 4 > a |
к р , |
||||||||||
то |
есть за |
прямым скачком скорость всегда |
дозвуковая, |
как |
|||||||||||||
бы ни |
была |
велика |
V* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
На косом |
скачке |
уплотнения |
Ѵ < п |
> |
О- кс |
, |
поэтому |
||||||||
\ / a r |
? |
О к р • |
(Действительно, |
|
|
= |
^ |
SinjB» |
, а |
и з |
|||||||
соотношения |
(2.19) |
0.А |
s Ѵ 4 і і п / І |
• |
Но так как |
ß |
, |
||||||||||
то |
V ^ n |
_ |
V<3tn> |
> |
\ |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
95
но |
Ѵ2 = Ѵ ѵ / п + ѵ / , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
то есть величина скорости за косым скачком |
ѴЙ |
|
зависит |
||||||||||
от составляющей |
М/с |
. При больших |
значениях |
J& |
с о с |
||||||||
тавляющая |
= |
^ |
COSjb |
мала и |
Vg |
<£. û < p |
. ' |
||||||
При малых углах |
/ а |
|
составляющая |
Ѵ<г |
оказывает |
||||||||
решающее |
значение |
и |
величина |
Vg |
может |
быть |
|
больше |
скорос |
||||
ти звука. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
|
за косым |
скачком уплотнения |
скорость |
|||||||||
может быть как дозвуковой, |
так и |
сверхзвуковой. |
|
|
|||||||||
б ) . |
Определение |
давления |
Pq |
за |
скачком |
|
|
||||||
|
|
уплотнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Разделив все члены уравнения (2.21) |
на |
|
Р < |
|
, |
||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В соотношении |
(б) заменим |
~ ~ - |
т — |
||
и |
произведение |
Чт |
Ѵ 2 ц , используя |
соотношение |
||
|
учитывая, |
что |
Ѵт |
= v f COS^B = |
i/4 f i ^ |
_ |
и |
Чтюх = |
vf +• • |
|
|
(см.соотношение (2.9), |
|
получим
Тогда
96
Для |
|
|
= - ~ - M* |
Sin2 |
^ - |
|
|
|
|
То есть -р^- |
|
|
-~~ . |
(2.27) |
|||||
|
прямого скачка |
~ = |
- ~ - |
M f |
^ т г • |
(2 . 27а) |
|||
Таким |
образом, при неограниченном |
увеличении |
числа М, |
||||||
давление за прямым скачком неограниченно растет (рис. 2.23).
Этот вывод справедлив |
и для косого скачка. Как будет |
показа |
||||||||||||
но |
выше, при ІЧ^ |
-а"° |
угол |
наклона скачка |
ß |
уменьша |
||||||||
ется. Но минимальная |
величина |
ß |
ограничена |
|
углом полу |
|||||||||
раствора передней |
кромки |
тела |
^ |
(рис. 2.20). При любом |
||||||||||
M.) |
величина |
JB > |
% |
, |
следовательно, при |
M ,, — <*> |
, |
|||||||
цроизведваиеM^ sin2 |
ß будет |
неограниченно возрас«ать. |
|
|||||||||||
|
|
в ) . Определение |
плотности Pq |
и |
температуры |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
за |
скачком |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
С целью получения |
зависимости |
для |
Р& |
|
восполь |
|
||||||
зуемся |
выражением |
(2.20), разделив обе его части |
на |
/ д Ѵ < |
п : |
|||||||||
• |
|
- ^ з п - М^Ѵап _ Mm Ѵгп |
|
|
|
|
|
|||||||
|
Pa " V ' |
|
Vfn |
|
|
Vf s i n ^ . |
|
|
|
|
|
|||
|
|
Подставив |
значение |
|
|
|
из соотношения |
(2.26) |
||||||
и |
учитывая, что |
~~ |
- ѵЛ, |
, |
получим: |
|
|
|
|
|
||||
Ѵзц |
|
|
|
|
|
|
||||||||
или
7. 3a.t. Г?7р. |
' |
97 |
Для прямого |
скачка |
— |
- |
^ + / | |
> (2 . 28а) |
|
pi |
3 • (К - -Ij Mf |
|
(2.29a) |
|||
|
|
|||||
Из соотношений (2.29) и (2.29a) видно,что |
при неограничен |
|||||
ном увеличении числа |
^ |
-і |
|
массовая |
плотность возрас |
|
тает до определенного предела (рис. 2.24): |
|
|||||
lim |
г |
- A l i - . |
|
|
(2.30) |
|
Для воздуха |
этот |
предел |
равен 6, то есть массовая плот |
|||
ность воздуха на скачке уплотнения может увеличиться не более, чем в 6 раз.
Это объясняется тем,что на скачке уплотнения сильно повышается температура. О характере изменения температуры на скачке уплотнения можно судить по соотношению (2.24):
|
Для прямого скачка эта зависимость«представлена на |
||||||||
рис. 2.33. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При |
|
— » |
— ех=> отношение |
- ~ |
неограниченно возрас- |
|||
тает, |
так |
как |
|
, |
а |
— — |
-j^y*. |
|
|
M., |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Так, |
например, |
при |
|
^-•fö |
температура на прямом |
|||
скачке |
уплотнения |
повышается в 20 раз. С повышением |
темпера |
||||||
туры газ стремится расшириться, его упругие свойства повыша |
|||||||||
ются, что ведет к падению массовой |
плотности. |
|
|||||||
|
Поэтому при больших |
числах |
M і |
увеличение |
плотнос |
||||
ти за счет повышения давления почти полностью компенсируется 98
уменьшением плотности за счет повышения температуры.
г ) . Определение числа |
^ & за скачком уплотнения |
Полная энергия единицы массы газа при переходе через скачок уплотнения не изменяется, поэтому и температура тормо жения перед а за скачком остаются постоянными, то есть
к-4
откуда
2
Подставив з соотношение (2.32) значение — из уравнения (2.31), можно получить:
|
г |
_ _ J J L I 3 Z _ I 1 L - _ |
|
H t |
cos&ß |
|
|
||||
М |
* |
"iCMfsin*J8 |
- |
Ь ^ - + |
^ |
J ^ L M |
f s i n y |
(2.33) |
|||
а |
для прямого скачка |
уплотнения |
|
|
|
|
|||||
|
|
M S |
- |
± |
1 |
^ ^ |
|
' |
|
(2 . 33а) |
|
|
|
Следовательно, число М2 за |
скачком уплотнения тем больше, |
||||||||
чем больше |
число |
|
и чем меньше |
повышение температуры |
на |
||||||
скачке. |
§"277] |
Ударная |
адиабата |
|
— — : — |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Процесс перехода газа через скачок уплотнения является |
|||||||||
адиабатическим, |
так как полная энергия |
( І 0 ) единицы |
массы |
||||||||
газа |
не изменяется. Однако |
на скачке уплотнения |
происходит |
||||||||
? * |
|
|
|
|
|
|
|
|
Э9 |
||
ударное сжатие, которое сопровождается изменением энтропии,
поэтому соотношения ( Ï . 9 ) , справедливые |
для изэятропического |
||||||||
течения газа, |
здесь непригодны. |
|
|
|
|
||||
|
Покажем |
это на примере |
зависимости |
между давлением |
|||||
и плотностью. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При изэнтропическом процессе эти параметры связаны |
||||||||
зависимостью (1.9) |
Pa V |
|
|
> |
|
||||
|
|
'А . / |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
Найдем зависимость между этими параметрами на скачке |
||||||||
уплотнения.Для |
этого |
воспользуемся |
соотношениями |
(2.27) и ( 2 . 2 8 ) , |
|||||
исключив из них параметр |
|
bin |
Р |
р |
, |
2 |
|||
Из |
соотношения (2.29) |
M f |
|
— |
|
' р . |
|
||
|
M,S\n£ß |
|
|
||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ . |
aie £ 2 « |
чк Я> |
к-і/к-«*А |
|
-тр. - |
~ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к-и |
Таким образом, полученная зависимость (2.34), связываю щая между собой отношение давлений * плотностей на скачке уп лотнения, не совпадает с уравнением (1.9) и к нему не сводит с я .
Следовательно, |
процесс |
перехода через |
скачок уплотнения |
не является изэнтропическим. |
|
|
|
Кривая, соответствующая |
уравнению (2.34) называется |
||
ударной адиабатой, в |
отличие |
от изэнтропн, |
соответствующей |
уравнению (1 . 9) . |
|
|
|
Обе эти кривые представлены на рис. 2.^4.
IQ0
Видно, что при небольшом изменении плотности (-^- |
- £ - 2 ) , |
||
|
|
г-» |
|
когда повышение |
температуры на скачке |
несущественное, |
ударная |
адиабата и изэнтропа почти совпадают. |
|
|
|
Ря |
|
|
|
При у- |
>-<о при одном и том же |
относительном изменении |
|
плотности давление при ударном сжатии должно повышаться быст
рее, чем при безударном. Так, для |
воздуха при К = 1,4 |
для |
и з |
||||
менения плотности в 5 раз давление повышается в 30 |
раз, |
в |
то |
||||
время как при изэнтропическом сжатии-менее чем г, 10 раз. К |
|
||||||
тому же, как было указано ранее, |
при ударном сжатии |
плотность |
|||||
не может увеличиться более чем в |
"^.^ |
раз, |
а при |
изэнтропи |
|||
ческом сжатии она можеѵ увеличиваться во много раз |
больше. |
|
|||||
Это объясняется сильным разогревом газа на скачке уплот |
|||||||
нения. |
|
, |
|
|
|
|
|
§ 2.8. Давление торможения |
за прямым скачком |
уплот |
|
||||
нения. Формула РЕЛЕЯ |
|
|
|
|
|
|
|
При полете летательных аппаратов со сверхзвуковой |
ско |
||||||
ростью для замера скорости (или числа |
М<*> |
) полета |
исполь |
||||
зуют приемник воздушных давлений (ПВД). Работа ПВД (рис . 2 . 25)
основана на замере |
давлений: давления торможения, |
поступающего |
|||||||||
через |
центральную |
часть приемника и ста-ического, |
которое |
||||||||
попадает в ПВД через |
ряд |
радиальных |
отверстий, |
расположенных |
|||||||
в периферийной части |
приемника |
на расстоянии |
•£ |
|
от носка. |
||||||
|
Расстояние |
£ |
|
выбирается |
таким образом, |
чтобы |
в |
||||
месте |
расположения |
отверстий |
поток был восстановлен, |
то |
есть |
||||||
Р с г - |
= Р< |
( |
обычно |
I |
3: Ad |
). |
|
|
|
|
|
|
Связь между |
Мы>, |
0 ° ° |
|
и давлением торможения |
устанав |
|||||
ливает |
соотношение |
(2.4 б ) . |
|
|
|
|
|
|
|
||
101