книги / Математический анализ в задачах и упражнениях
..pdfно, что из соотношения f x g x при |
x a следует равен- |
||
ство |
lim h x f x lim h x g x или оба эти предела не суще- |
||
|
x a |
x a |
|
ствуют. Таким образом, при вычислении предела произведения f x g x один из сомножителей f x или g x (или оба) в
этом произведении можно заменить эквивалентной функцией. Пользуясь этим свойством, решение предыдущего примера записываем короче:
lim |
ex e x |
= lim |
e2 x 1 |
= lim |
2x |
2 . |
|
sin x |
ex sin x |
1 x |
|||||
x 0 |
x 0 |
x 0 |
|
Здесь мы применили известные эквивалентности при x 0 : e2 x 1 2x, sin x x, ex 1.
Пример 19. Найти lim |
2 2cos 2x sin2 2x |
; |
|
0 |
|
|
|||
x |
4 |
|
0 |
. |
|
||||
x 0 |
|
|
|
|
|
||||
Решение. В силу эквивалентности 1 cos x |
|
x2 |
|
при x 0 |
|||||
2 |
|
||||||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
2 2cos 2x sin2 2x |
lim |
1 2cos 2x cos2 2x |
|
|||
x4 |
|
|
x4 |
||||
x 0 |
|
x 0 |
|
|
|
||
|
lim |
1 cos 2x 2 |
lim |
4x4 4. |
|
||
|
x 0 |
x4 |
|
|
x 0 |
x4 |
|
Внимание! Одна из самых распространенных ошибок при вычислении предела некоторого выражения заключается в замене функции, не являющейся множителем всего этого выражения, на эквивалентную функцию (чаще всего такая ошибочная замена делается в отдельном слагаемом алгебраической суммы). Если, например, в последнем примере заменить функцию
y 2 2cos 2x эквивалентной при x 0 функцией 4x2 и функцию y sin2 2x эквивалентной функцией 4x2 , то получим
lim |
4x2 |
4x2 |
0 |
, что не совпадает с ранее полученным верным |
|
x4 |
|||
x 0 |
|
|
|
результатом, т.е. является неверным решением.
11
elib.pstu.ru
В заключение скажем несколько слов о поиске предельных значений степенно-показательных выражений. При нахождении
пределов вида limu x v x C можно воспользоваться следую- |
||
|
x a |
|
щим общим подходом: |
|
|
1) если существуют конечные пределы limu x A, A 0, |
||
|
|
x a |
lim v x B, |
то C AB ; |
|
x a |
|
|
2) если |
limu x A 1, |
lim v x , то вопрос о нахож- |
|
x a |
x a |
дении предела решается непосредственно исходя из свойств по-
казательной функции (в частности, если |
|
A > 1, а lim v |
x , |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
a |
|
||
то limu x v x ; если A 1, |
lim v x |
, то limu x v x 0 |
||||||||||||||||||||
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
x |
a |
|
||||
и т.д.); |
|
|
|
|
|
limu x 1 |
|
|
|
lim v x |
, |
|
|
|
|
|||||||
3) |
|
|
: |
если |
|
|
и |
|
|
то, |
полагая |
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
a |
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
u x 1 x , где x 0 при x a, получим |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x v x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
u x |
|
1 v x |
|
|
|
||
|
|
|
C lim |
1 |
x x |
|
ex a |
|
|
|
|
|
; |
|
||||||||
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
00 |
|
: limu x 0 , lim v x 0 , u x 0; |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
x a |
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5) |
0 : |
limu x |
, lim v |
x 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x a |
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Неопределенности типа 4 и 5 приводятся к неопределен- |
||||||||||||||||||||||
ности |
типа |
3 |
следующим образом. |
|
Положим |
|
|
u x ev x , |
||||||||||||||
v x ln u x . |
Очевидно, limu x 1 |
|
и lim v x |
. Кро- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
||
ме того, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u x v x ev x ln u x |
eln u x v x u x v x . |
|
|
||||||||||||||||
Пример 20. Найти lim cos x |
|
1 |
; 1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
elib.pstu.ru
Решение. Имеем
lim |
u x 1 |
v x lim cos x 1 |
1 |
|
|
||||||||||||||||
sin2 |
x |
||||||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
lim |
2sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
||
|
|
|
|
2 x |
|
|
2 x |
2 |
|
||||||||||||
x 0 |
|
|
|
2 |
4sin |
cos |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
lim cos x |
|
e 2 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13
elib.pstu.ru
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ К ТЕМЕ 1
|
Задание 1. Доказать, |
||||||
1.1. |
a |
|
|
3n 2 |
, |
a 3 |
|
n |
2n 1 |
||||||
|
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|||
1.2. |
a |
n |
4n 1 |
, |
a 2 |
||
|
|
|
2n 1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
1.3. |
a |
n |
7n 4 |
, |
a 7 |
||
|
|
|
2n 1 |
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|||
1.4. |
a |
n |
2n 5 |
, |
a 2 |
||
|
|
|
3n 1 |
|
3 |
||
|
|
|
|
|
1.5.an 7n 1, a 7 n 1
1.6.an 4n2 1 , a 4 3n2 2 3
1.7. |
a |
|
|
9 n2 |
, |
|
a |
1 |
|||||
1 |
|
2n2 |
|
2 |
|||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||
1.8. |
a |
4n 3 , |
|
|
a 2 |
|
|||||||
|
n |
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1.9. |
a |
|
|
1 2n2 |
, |
a |
1 |
||||||
|
2 4n2 |
2 |
|||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||
1.10. a |
|
|
5n |
, |
|
|
a 5 |
|
|||||
n |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.11. a |
n |
|
|
n 1 |
, |
|
a |
1 |
|||||
1 2n |
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1.12. a |
n |
|
2n 1 |
, |
a 2 |
|
|||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3n 5 |
|
|
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1.13. a |
n |
|
1 2n2 |
, a 2 |
|||||||||
|
n2 3 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
что lim an a (указать N ).
1.14. an 3n2 2 , a 3 2 n
1.15. |
a |
|
n |
|
, |
|
a 1 |
|
||
|
|
|
|
|||||||
|
n |
|
3n 1 |
|
|
|
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
1.16. |
a |
|
3n3 |
|
, a 3 |
|
||||
n3 |
1 |
|
||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||
1.17. |
a |
4 2n , |
|
a 2 |
||||||
|
n |
|
1 3n |
|
|
|
3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
1.18. |
a |
5n 15 , |
a 5 |
|||||||
|
n |
|
6 n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
1.19. |
a |
|
3 n2 |
, |
a |
1 |
||||
1 2n2 |
2 |
|||||||||
|
n |
|
|
|
||||||
1.20. |
a |
|
2n 1 |
, |
|
a 2 |
||||
|
|
|||||||||
|
n |
|
2 3n |
|
3 |
|||||
|
|
|
|
|||||||
1.21. |
a |
3n 1, |
|
a 3 |
|
|||||
|
n |
|
5n 1 |
|
|
|
5 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
1.22. |
a |
4n 3 , |
|
a 2 |
|
|||||
|
n |
|
2n 1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
1.23. |
a |
|
1 2n2 |
, |
a |
1 |
||||
2 4n2 |
2 |
|||||||||
|
n |
|
|
|
||||||
1.24. |
a |
|
5n 1 |
, |
a 1 |
|
||||
|
|
|||||||||
|
n |
|
10n 3 |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
1.25. |
a |
2 2n , |
|
a 1 |
||||||
|
n |
|
3 4n |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|||||||
1.26. |
a |
23 4n , |
a 4 |
|
||||||
|
n |
|
2 n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
14
elib.pstu.ru
1.27. an |
|
1 3n , |
a 3 |
1.29. a |
n |
|
3n2 2 |
, |
a 3 |
||||||||||||||||||||||
|
|
6 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4n2 1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1.28. an |
|
2n 3 |
, |
|
a 2 |
|
|
|
|
1.30. a |
|
|
2 3n2 |
|
, |
a 3 |
|||||||||||||||
n 5 |
|
|
|
|
|
n |
4 5n2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
||||||||||
Задание 2. Вычислить пределы числовых последователь- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ностей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.1. lim |
3 n 2 |
3 n 2 |
2.11. lim |
2 n 1 3 n 2 3 |
|
||||||||||||||||||||||||||
3 n 2 3 n 2 |
|
n2 2n 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
2.2. lim |
3 n |
4 |
|
2 n |
4 |
|
2.12. lim |
|
n 1 3 n 2 3 |
||||||||||||||||||||||
1 n |
4 |
1 n |
4 |
|
n 4 3 n 5 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 3 3 n 4 3 |
|||||||||||||||||||||
2.3. lim |
3 n 4 2 n 4 |
2.13. lim |
|
||||||||||||||||||||||||||||
1 n 3 |
1 n 3 |
|
n 3 4 n 4 4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2.4. lim |
1 n 4 1 n 4 |
|
|
|
2.14. lim |
|
n 1 4 n 1 4 |
||||||||||||||||||||||||
1 n 3 |
1 n 3 |
|
|
|
|
n 1 3 n 1 3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2.5. lim |
6 n 2 |
6 n 2 |
2.15. lim |
|
|
8n3 2n |
|
||||||||||||||||||||||||
|
n 1 4 n 1 4 |
||||||||||||||||||||||||||||||
6 n 2 |
|
1 n 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 6 3 n 1 3 |
||||||||||||
2.6. lim |
n 1 |
n 1 |
|
|
|
2.16. lim |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
2n 3 2 |
n 4 2 |
||||||||||||||||||||||||||
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 3 3 n 5 3 |
|
|||||||||||||||
|
1 2n 3 8n5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2.7. lim |
|
|
|
|
|
2.17. lim |
3n 1 3 |
2n 3 3 |
|||||||||||||||||||||||
1 2n 2 |
4n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
3 |
4n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 10 2 3n 1 2 |
|
|||||||||||||||
2.8. lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
2.18. lim |
|
n 6 3 |
|
n 1 3 |
||||||||||||||||||
n 3 |
3 |
n 3 |
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 3 3n 2 3 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
3 n |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2.9. lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.19. lim 2n 3 3 |
n 7 3 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
n 1 |
2 |
n 1 |
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 7 3 |
|
n 2 3 |
||||||||||||||||
2.10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.20. lim |
|
|
|
||||||||||||
lim n 1 2 n 1 2 n 2 3 |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
3n 2 2 |
4n 1 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 n 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
elib.pstu.ru
2.21. |
lim |
2n 1 3 2n 3 3 |
2.26. |
lim |
n 1 3 |
n 1 3 |
|
|
|||||||
2n 1 2 2n 3 2 |
n 1 2 n 1 2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2.22. |
lim |
n 1 4 |
n 1 4 |
2.27. |
lim |
n 2 3 |
n 2 3 |
||||||||
n 1 3 |
n 1 3 |
n4 2n2 1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2.23. |
lim |
n 2 4 |
n 2 4 |
2.28. |
lim |
n 1 3 |
n 1 3 |
|
|
||||||
n 5 2 |
n 5 2 |
|
|
n3 3n |
|
|
|||||||||
|
|
n |
3 |
n 1 |
3 |
|
|
2.29. |
lim |
n 1 3 |
n 1 3 |
|
|
||
2.24. |
|
|
|
|
|
n3 1 |
|
|
|||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n 1 4 |
n4 |
|
|
2 |
|||||||||||
2.30. |
lim |
n 2 |
2 |
n 2 |
|||||||||||
|
|
n 1 3 |
n 1 3 |
|
|
|
|||||||||
2.25. |
lim |
n 3 2 |
|
|
|||||||||||
n 1 2 |
n 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 3. Вычислить пределы числовых последователь-
ностей.
3.1. lim |
|
|
n 3 5n2 4 9n8 1 |
|
|||||||
|
n |
n |
7 n n2 |
||||||||
3.2. lim |
|
|
n 1 |
n2 1 |
|
||||||
3 |
3n2 3 4 n5 1 |
||||||||||
3.3. lim |
|
|
n3 1 |
n 1 |
|
||||||
3 |
n3 1 |
n 1 |
|||||||||
|
|||||||||||
3.4. lim |
|
3 n2 1 7n3 |
|
||||||||
4 |
n12 n 1 n |
||||||||||
3.5. lim |
|
|
3n 1 3 |
125n3 n |
|||||||
|
|
|
5 n |
n |
|||||||
|
|
|
|
||||||||
3.6. lim |
|
n5 n 3 27n6 n2 |
|
||||||||
|
n 4 n |
9 n2 |
3.7. |
lim |
|
n 2 |
n2 2 |
|
|||||||
4 4n4 1 3 n4 1 |
||||||||||||
3.8. |
lim |
|
n4 |
2 |
n 2 |
|
||||||
4 n4 2 |
n 2 |
|||||||||||
|
|
|||||||||||
3.9. |
lim |
6n3 |
|
n5 |
1 |
|
||||||
|
4n6 3 n |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||
3.10. lim |
5n 2 3 8n3 1 |
|
||||||||||
|
4 n 7 n |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||
3.11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
n 4 3n 1 81n4 n2 1 |
|||||||||||
n 3 |
n |
5 n n2 |
||||||||||
3.12. lim |
n 3 |
n2 3 |
|
|||||||||
3 n5 4 4 n4 1 |
16
elib.pstu.ru
3.13. lim |
n5 3 |
n 3 |
|
||||||
5 n5 3 |
n 3 |
||||||||
|
|||||||||
3.14. lim |
3 n 9n2 |
|
|||||||
3n 4 9n8 |
1 |
||||||||
3.15. lim |
4n 1 3 27n3 4 |
|
|||||||
4 n 3 n5 n |
|||||||||
|
|||||||||
3.16. lim |
n 3 7n 4 81n5 1 |
|
|||||||
n 4 n |
n2 5 |
||||||||
3.17. lim |
3 n3 7 3 n2 4 |
|
|||||||
4 n5 5 |
n |
||||||||
|
|||||||||
3.18. lim |
n6 4 |
n 4 |
|
||||||
6 n6 6 |
n 6 |
||||||||
|
|||||||||
3.19. lim |
4n2 4 n3 |
|
|||||||
3 n6 n3 1 5n |
|||||||||
3.20. lim |
n 3 3 |
8n3 3 |
|
||||||
4 n 4 5 n5 5 |
|||||||||
|
|||||||||
3.21. lim |
n 4 11n |
25n4 81 |
|||||||
n 7 n |
n2 n 1 |
|
3 |
n2 |
|
n2 |
5 |
||||
3.22. lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 n7 |
|
n |
1 |
||||
|
|
|
|
||||||
3.23. |
lim |
|
n7 |
5 |
n 5 |
||||
|
n7 5 |
n 5 |
|||||||
|
7 |
||||||||
3.24. lim |
|
3 n2 2 5n2 |
|
||||||
n |
n4 n 1 |
||||||||
|
|
|
|
n 2 3 |
n3 2 |
3.25.lim 7 n 2 5 n5 2
3.26.lim n 71n 3 64n6 9
n 3 n 11 n2
3.27. |
lim |
|
n 6 |
n2 5 |
|||||
3 n3 3 |
4 n3 1 |
||||||||
|
|
||||||||
3.28. |
lim |
|
n8 |
6 |
n 6 |
|
|||
8 n8 6 |
n 6 |
||||||||
|
|
||||||||
3.29. |
lim |
n2 |
n3 |
1 |
|||||
3 n6 2 |
n |
||||||||
|
|
||||||||
3.30. lim |
|
n 1 3 |
n3 1 |
|
|||||
4 |
n 1 |
5 |
n5 1 |
||||||
|
|
Задание 4. Вычислить пределы числовых последователь-
ностей. |
|
1 |
|
4.1. lim n |
n2 1 n2 |
||
4.2. lim n 3 n3 5 n |
n |
||
4.3. lim |
n5 |
8 n n n2 5 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
17
elib.pstu.ru
4.4. lim n 3 |
4 n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4.5. lim n |
n n 2 n2 |
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
n2 3n 2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4.6. lim |
|
n |
|
9 |
|
|
|
||||||||||
4.7. |
lim |
n |
|
1 n |
|
4 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.8. |
lim |
|
n n 2 |
|
n2 2n 3 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.9. |
lim |
|
n 2 n 1 |
n 1 n 3 |
|
||||||||||||
|
|
|
n |
|
1 n |
|
2 |
|
|
( n |
|
|
2 |
||||
4.10. lim |
|
|
|
|
1 n |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.11.lim n2 n n4 1 n5 8
4.12.lim n 3 5 8n3 2n
4.13.lim n2 3 5 n3 3 3 n3
4.14. |
lim |
|
3 |
n 2 |
2 |
|
3 |
n 3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.15. lim |
|
n 1 3 n n 1 n 3 |
|||
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
||
4.16. lim |
|
n 2 |
n 3 |
||
4.17. lim |
n2 3n 2 n2 |
3 |
|||
4.18. lim( |
n(n 5) n) |
|
|||
4.19. lim |
|
n3 8 n3 |
2 |
n3 1 |
|
4.20. lim |
n |
n n 1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
elib.pstu.ru
4.21. lim |
|
n n5 |
9 |
|
n4 1 n2 5 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
n5 |
1 n2 |
1 n n |
n4 1 |
||||||||||||||||||||
4.22. lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
n3 |
1 n2 |
3 |
|
|
|
n |
|
n4 2 |
|
|||||||||||||
4.23. lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4.24. lim n |
3 |
3 |
n |
2 |
n |
6 |
|
4 |
|
3 |
n |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
4.25. lim n |
|
|
|
|
|
|
|
n4 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4.26. lim |
n |
n |
n n 1 n 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.27. lim |
3 n 3 n2 3 n n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.28. lim |
|
|
n 2 |
n 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
n 4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
n4 |
1 n2 |
1 n6 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
4.29. lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4.30. lim |
|
n n 1 n 2 |
|
|
n3 3 |
|||||||||||||||||||||
Задание 5. Вычислить пределы числовых последователь- |
||||||||||||||||||||||||||
ностей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
||||||||||||
5.1. lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
n |
2 |
n |
2 |
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.2.lim 2n 1 ! 2n 2 !
2n 3 !
5.3.lim 1 3 5 7 2n 1 2n 1
n 1 2
19
elib.pstu.ru
5.4. lim |
1 2 3 n |
|
|||||
|
|
9n4 1 |
|
||||
5.5. lim |
2n 1 3n 1 |
|
|||||
|
2n 3n |
|
|||||
5.6. lim |
1 3 5 2n 1 |
|
|
||||
|
1 2 3 n |
|
|||||
|
|
|
|||||
5.7. lim |
n 4 ! n 2 ! |
|
|||||
|
n 3 ! |
|
|||||
5.8. lim |
1 4 7 3n 2 |
|
|
||||
|
5n4 n 1 |
|
|||||
|
|
|
|||||
5.9. lim |
3n 1 ! 3n 1 ! |
|
|||||
|
3n ! n 1 |
|
|
||||
|
1 3 5 2n 1 |
|
|||||
5.10. lim |
|
|
|
|
n |
||
n 3 |
|||||||
|
|
|
5.11. lim 2n 5n 1 2n 1 5n 2
1 1 12 1n
5.12. lim 3 3 3 1 15 512 51n
5.13. lim |
3n 2n |
|
|
|
|
|||
3 |
n 1 |
2 |
n |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
5.14. lim |
1 3 |
4n 3 4n 1 |
||||||
|
n2 1 n2 n 1 |
|||||||
|
|
|
|
|||||
5.15. lim |
1 |
2 |
2n 1 2n |
|
||||
|
|
|
|
|
n |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
5.16. lim |
|
3 n3 5 3n4 2 |
||||||
1 |
3 |
5 2n 1 |
|
20
elib.pstu.ru