книги / Математический анализ в задачах и упражнениях

2

x 1 3x

2

2x 1

. Она не существует в точке x 1 (в этой

x 1 4

x 1 4

точке функция не определена (см. п. 1)) и равна нулю при x 1 .

2

Область

определения

функции

разобьем

на

интервалы

;

1

,

1

;1 , 1;

и определим знак y x в каждом из

2

2

них (рис. 2). Для

простоты

вычислений

удобно

взять

x 1 ;

1

, x

0

1 ;1

и x 2 1; .

Тогда

2

2

f 1

1

0 , следовательно, на интервале ; 1

функция

8

2

выпукла вверх;

f 0 2 0 , значит, на интервале ;

1

она

f 2 10 0 ,

2

выпукла

вниз;

следовательно,

на

интервале

1;

функция выпукла вниз. При переходе через точку

x 1

2

функции, здесь f

1

8

.

9

2

Результаты проведенного исследования сведем в таблицу.

х

;

1

1

1

; 0

0

(0; 1)

1

1;

2

2

2

у

–

–

0

+

Разрыв

–

у

–

0

+

+

+

у

микоординат. Крометого, y 0

при x 5

и y 0

при x 5,

x 0.

3) Функция непрерывна на всей числовой оси.

4)

lim

f x , lim f x .

x

x

5) Найдем наклонные асимптоты:

2

f x

x 5 x3

5

2

k

lim

lim

lim 1

x3 ;

x

x

x

x

x

x

k lim

f x

.

x

x

Следовательно, наклонных асимптот нет.

1

6)

f x

5x 3

x 2

,

x 0. Следовательно,

f x 0 при

3

x 0 и x 2 ;

f x 0

при 0 x 2.

10

4

7)

f

x 9 x

3

x 1 , x 0.

Следовательно,

f

x 0

при 1 x 0 и x 0;

f x 0 при x 1 .

Итак, функция

y x 5 3

x2 определена на всей числовой

прямой. График ее пересекает ось OX

в точках

x 0

и

x 5 .

Асимптот нет. На промежутках ; 0

и 2;

функция воз-

растает, на промежутке 0; 2

– убывает, в точке 0; 0

имеет

43

промежутке ; 1

– выпукла вверх. Точка 1; 6 – точка

перегиба. Поскольку

f x непрерывна в нуле и

lim

f x f 0

lim

x 5

,

x 0

3

x

x 0 0

x 0 0

lim

f x f 0

lim

x 5

,

x 0

3

x

x 0 0

x 0 0

то полупрямая x 0,

y 0 является и левой, и правой полукаса-

x t

t2

,

y t

t2

.

t2 1

t3 1

и строго монотонна.

Выделим

такие промежутки. Для этого

и для

дальнейших исследований построим

графики функций

x t

и y t . Найдем производные этих функций. Имеем

xt

2t

yt

t

2 t3

,

.

t2

1 2

t2 1 2

Функция

x t

определена

и

непрерывна

при

t ; 1 1;1 1; ,

причем

t 1 – вертикальные

асимптоты

при

t 1

соответственно. Из

равенства

x t =

= 1

1

следует, что

x 1

– горизонтальная асимптота. Из

t2 1

t, кроме

t 1 , причем t 1 –

вертикальная асимптота. Из

равенства

lim y t 0

видно, что

y 0 – горизонтальная асим-

t

птота и при t ,

и при t . В силу выполнения нера-

45

венства

yt 0

на

промежутках ; 1 , 1; 0 , 3

2;

функция

y t убывает; на промежутке 0; 3 2

имеем

yt 0 , и,

значит, функция

y t

здесь возрастает. Точка

4

явля-

3 2; 3

3

ется точкой локального максимума. График функции

y t

изо-

бражен на рис. 7.

Рис. 6. График функции x(t)

Итак, данные в примере функции x t и

y t определяют

функцию y x на каждом из промежутков

( ; 1), ( 1; 0),

2

t 1 2

t

2

t2

t2 1

t3

2

t2 t 1 2 ,

yx

t

3 1 2

2t

2

y 2

t2 1 3 t3 3t2 9t 8 , t 0, t 1.

x

3

4 t2

t 1

I.

t ; 1 .

1)

x 1 ;

x 1 0

2)–4)

y 0 ; условие

эквивалентно на промежутке

; 1

условию

t ,

поэтому

lim

y x lim y t 0;

x 1 0

t

точно так же

lim y x

lim

y t ;

x

t 1 0

5)

k

lim

y x

lim

y t

lim

t 1

2 ;

x t

x

x

t 1 0

t 1 0 t2 t 1

3

b

lim

y x

2 x

lim

t2 2t 1

1 ;

x

3

t 1 0

3 t

1

2

6

t

t

1

6)

0 , так как t 1;

yx

7)

y 2 0 , так как многочлен g t

t3 3t2

9t 8 0

при

x

t 1

( g t 3t2

6t 9 2t2

t 3 2

0 при любом t

и поэто-

му функция g t

возрастает при t ; ; единственная точка

t0 такая,

что g t 0, t ; t0 , g t 0, t t0 ; ,

т.е.

нуль

функции

g t

принадлежит

промежутку

1;

3 2 ,

так

как

x 0,

y 0, имеющей в точке 0, 0

левую полукасательную:

луч y x, x 0. График ветви кривой изображен на рис. 9.

III. t 0;1 .

1)

x 0;

2)–4)

y 0;

условие

x эквивалентно на промежутке

0;1

условию

t 1 0 ,

поэтому lim y x lim y t

1 , сле-

x

t 1 0

2

довательно, y

1 – горизонтальная асимптота; значению x 0

2

соответствует значение y 0;

5)

случай x уже исследован в предыдущем пункте,

а случай x рассматривать не надо (у нас t 0;1 и x 0 );

6)

0 , так как t 0;1 ; lim yx 1;

yx

t 0 0

7)

y 2

0.

x

Итак, ветвь кривой, соответствующая изменению t

на про-

межутке 0;1 ,

представляет собой график непрерывной, неот-

x 0 функции с асимптотой

y 1

и краевым минимумом

2

x 0, y 0, имеющей в точке

0; 0

левую полукасательную:

луч y x, x 0 .

Таким образом, точка 0; 0 является общей точкой двух

ветви имеют в точке 0; 0

общую левую полукасательную: луч

y x, x 0 . Точка 0; 0

является точкой возврата кривой.