книги / Математический анализ в задачах и упражнениях
..pdfПример 11. Вычислить I |
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x |
dx. |
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x |
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Решение. Данный интеграл является интегралом от диффе- |
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ренциального бинома, т.е. имеет |
вид |
xm a bxn p dx; m, n, |
p Q (множеству рациональных чисел). Известно (теорема Чебышева), что такие интегралы выражаются через элементарные
функции |
только в |
следующих трех случаях: 1) p – целое; |
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2) |
m 1 |
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целое; 3) |
m 1 |
p – целое. В первом случае делается |
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n |
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n |
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замена x tk , где k – общий знаменатель дробей m и n. Во втором случае замена определяется равенством a bxn z , где– знаменатель дроби p; а в третьем ax n b t , где – знаменатель дроби p.
Запишем интеграл в виде x 12 1 x |
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14 3 dx. |
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Здесь m 1 |
; n 1 ; р |
1 , |
m 1 |
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– |
целое. Приме- |
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1 / 4 |
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4 |
3 |
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n |
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ним подстановку t x4 . |
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Тогда |
3 1 4 |
x |
dx 4 3 |
1 ttdt. |
Обозначая |
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3 1 t |
z, полу- |
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x |
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чим |
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I 12 z z3 1 z2dz 12z7 |
3z4 C |
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7 |
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127 3 1 4 x 7 33 1 4 x 4 C. |
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dx |
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Пример 12. Вычислить |
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x 2 |
1 x3 |
3 dx. |
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2 3 |
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x |
1 x |
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71
elib.pstu.ru
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Решение. В |
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этом |
примере |
m |
= |
–2, n = 3, |
p |
= |
2 |
, |
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m 1 |
p 1 |
2 |
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3 |
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1 |
– целое. Поэтому полагаем |
1 t3 , |
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n |
3 |
x3 |
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3 |
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t3 |
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3 |
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1 |
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t2dt |
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, x t |
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1 |
3 , dx |
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x3 |
t3 1 |
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t3 |
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3 |
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t3 |
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1 |
2 3 |
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t3 |
1 2 t2dt |
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Следовательно, |
I |
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dt |
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3 |
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t |
3 |
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4 |
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t C |
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3 |
1 x3 |
C. |
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x |
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cos5 x |
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Пример 13. Вычислить I |
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sin |
3 |
x |
dx. |
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cos4 xcos xdx |
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Решение. Перепишем интеграл в виде |
. Пола- |
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sin |
3 |
x |
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гаем sin x t, |
cos xdx dt, что дает |
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2 |
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2 |
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I |
1 t |
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dt |
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t |
3 |
dt |
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2 |
dt |
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tdt |
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1 |
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t |
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t |
2 |
C |
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t3 |
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t |
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2ln |
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2 |
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2t2 |
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2ln |
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sin x |
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sin2 |
x |
C. |
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2sin2 x |
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2 |
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Пример 14. Вычислить |
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I |
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x2dx |
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x |
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16 |
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Решение. Применимподстановку x 4cht, dx 4shtdt. Тогда |
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I |
16ch2t4shtdt |
16 ch |
2 |
tdt 8 ch2t 1 dt 4sh2t 8t C. |
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16 |
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ch2t 1 |
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Возвратимся к исходной переменной. Для этого заметим, |
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что |
t àrcch |
x |
ln |
|
x |
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x2 |
1 |
, |
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sh2t 2shtcht 1 x |
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x2 16. |
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4 |
16 |
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8 |
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Окончательно получим
72
elib.pstu.ru
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I |
1 x x2 16 8ln |
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x |
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x2 16 |
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C. |
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2 |
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x2 |
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x 2 |
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Пример 15. Вычислить |
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dx. |
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6x |
5 |
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x |
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Решение. Для вычисления интеграла применим формулу |
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Pn x |
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dx |
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dx Qn 1 |
x y |
y |
, |
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y |
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где y |
ax2 bx c; |
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Pn x |
– многочлен степени n; |
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Qn 1 x |
– неизвестный многочлен степени n 1 ; |
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R. |
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x2 |
x 2 |
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dx Ax B |
x2 6x 5 |
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dx |
. |
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2 |
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x |
2 |
6x 5 |
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x |
6x 5 |
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Дифференцируя это тождество, получим |
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x2 x 2 |
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A |
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x |
2 |
6x 5 |
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x2 6x 5 |
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||||||
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Ax B |
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2x 6 |
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|
. |
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2 x2 6x 5 |
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x2 6x 5 |
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Откуда |
x2 x 2 A x2 |
6x 5 Ax B x 3 , |
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сле- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
довательно, |
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x2 |
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2A 1, |
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1 |
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1 |
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2 |
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1 |
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||||||
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x |
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3A 7B 1, |
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A |
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2 ; B |
4 |
; |
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7 . |
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|||||||||||||||||||||
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x0 |
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5A 3B 2, |
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Таким образом, окончательно имеем |
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x2 x 2 |
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dx |
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1 |
x |
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1 |
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x |
2 |
6x 5 |
|
2 |
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|
dx |
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|||||||||||||||||
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||||||||||||||
x2 |
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2 |
14 |
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7 |
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|
|||||||||||||||||||||
6x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
x 3 2 4 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
73 |
elib.pstu.ru
|
|
1 |
x |
1 |
|
x |
2 |
6x 5 |
|
|
2 |
|
|
x 3 |
x |
2 |
6x |
|
|
C. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
5 |
|||||||||||||||||||
|
2 |
14 |
|
7 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
||||||
|
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|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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||||||||
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Пример 16. Вычислить |
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4x2 9x 1 |
dx. |
|
|
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
2x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Решение. Воспользуемсяформулойизпредыдущего примера: |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
4x3 9x 1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||||||
|
|
dx Ax |
|
Bx |
C |
|
x |
|
2x 5 |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||
x2 2x 5 |
|
|
|
|
x2 2x 5 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
Дифференцируя последнее равенство, получим |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4x3 9x 1 |
|
2Ax B |
x2 2x 5 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 2x 5 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Ax |
2 |
Bx C |
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
x2 2x 5 |
|
x2 2x 5 |
Значит,
4x3 9x 1 2Ax B x2 2x 5
Ax2 Bx C x 1 .
Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях, получим
x3 |
|
|
3A 4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x2 |
|
|
5A 2B 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
10 A 3B C 9, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
5B C 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решая эту систему, |
находим A |
4 |
; |
B |
10 |
; |
C |
17 |
; |
||
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
12.
Окончательно получим
|
4x3 9x 1 |
1 |
4x |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
dx |
3 |
|
10x 17 |
x |
|
2x 5 |
|
|||
x2 2x 5 |
|
|
74
elib.pstu.ru
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4x |
2 |
10x 17 |
|
x |
2 |
2x 5 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 1 2 4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 x2 2x 5 |
|
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Пример 17. Вычислить |
|
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|
|
dx |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 3 2 x 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение. Воспользуемся методом Остроградского: |
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|
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|
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|
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|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ax B |
|
C |
|
dx |
|
|
D |
|
dx |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 3 2 x 1 2 |
|
|
x 3 x 1 |
x 3 |
|
x 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Дифференцируя обе части формулы, получим |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A x2 2x 3 Ax B 2x 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 3 2 x 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 2 x 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
C |
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A x |
2 |
2x 3 Ax B 2x 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 3 |
x 1 |
x 3 |
2 |
|
x 1 |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C x 3 x 1 2 B x 1 x 3 2 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Приравнивая числители дробей, получим систему |
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C D 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A C 7D 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
2B 5C 15D 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
3A 2B 3C 9D 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решая |
эту |
систему, |
|
найдем |
коэффициенты |
|
|
A |
6 |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
32 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
B |
|
; C |
|
|
; D |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
32 |
32 |
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Окончательно получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
6x 10 |
1 |
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 3 2 x 1 2 |
|
|
|
32 |
x 3 x 1 |
32 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x 1 |
|
C |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
6x 10 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
C. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
32 |
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
32 |
x 3 x 1 |
32 |
|
x 3 |
|
|
|
|
75 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
elib.pstu.ru
pstu.elib |
76 |
ru. |
|
Варианты задания к теме 3
Номер |
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер варианта |
|
|
|
|
|
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|
|||
задания |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
1 |
10 |
16 |
22 |
3 |
9 |
15 |
21 |
2 |
8 |
14 |
20 |
1 |
7 |
13 |
19 |
25 |
6 |
12 |
18 |
24 |
2 |
43 |
31 |
44 |
32 |
45 |
33 |
46 |
34 |
47 |
35 |
48 |
36 |
49 |
37 |
50 |
38 |
26 |
39 |
27 |
40 |
3 |
71 |
65 |
59 |
53 |
72 |
66 |
60 |
54 |
73 |
67 |
61 |
55 |
74 |
68 |
62 |
56 |
75 |
69 |
63 |
57 |
4 |
77 |
84 |
91 |
98 |
80 |
87 |
94 |
76 |
83 |
90 |
97 |
79 |
86 |
93 |
100 |
75 |
82 |
89 |
96 |
78 |
5 |
111 |
101 |
116 |
106 |
121 |
112 |
102 |
117 |
107 |
122 |
113 |
103 |
118 |
108 |
123 |
114 |
104 |
119 |
109 |
124 |
6 |
142 |
128 |
139 |
150 |
136 |
147 |
133 |
144 |
130 |
141 |
127 |
138 |
149 |
135 |
146 |
132 |
143 |
129 |
140 |
126 |
7 |
161 |
166 |
171 |
151 |
156 |
162 |
167 |
172 |
152 |
157 |
163 |
168 |
173 |
153 |
158 |
164 |
169 |
153 |
154 |
159 |
8 |
199 |
191 |
183 |
200 |
192 |
184 |
176 |
193 |
185 |
177 |
194 |
186 |
178 |
195 |
187 |
179 |
196 |
188 |
180 |
197 |
9 |
204 |
216 |
203 |
210 |
209 |
218 |
207 |
224 |
214 |
217 |
201 |
223 |
215 |
220 |
215 |
222 |
202 |
221 |
211 |
208 |
10 |
233 |
237 |
241 |
245 |
249 |
228 |
232 |
236 |
240 |
244 |
248 |
227 |
231 |
235 |
239 |
243 |
247 |
226 |
230 |
234 |
11 |
269 |
262 |
265 |
263 |
255 |
254 |
351 |
253 |
252 |
264 |
256 |
275 |
273 |
272 |
274 |
266 |
267 |
271 |
268 |
270 |
12 |
276 |
177 |
278 |
279 |
280 |
281 |
282 |
283 |
284 |
285 |
286 |
287 |
288 |
289 |
290 |
291 |
292 |
293 |
294 |
295 |
13 |
312 |
321 |
305 |
314 |
323 |
307 |
316 |
325 |
309 |
318 |
302 |
311 |
320 |
304 |
313 |
322 |
306 |
315 |
324 |
308 |
14 |
333 |
322 |
336 |
350 |
339 |
328 |
342 |
331 |
345 |
334 |
323 |
337 |
326 |
340 |
329 |
343 |
332 |
346 |
335 |
324 |
15 |
371 |
367 |
363 |
358 |
355 |
351 |
372 |
368 |
364 |
360 |
356 |
352 |
373 |
369 |
365 |
361 |
357 |
353 |
374 |
370 |
16 |
392 |
390 |
388 |
386 |
384 |
382 |
380 |
378 |
376 |
399 |
397 |
395 |
393 |
391 |
389 |
387 |
385 |
383 |
381 |
379 |
17 |
415 |
406 |
422 |
413 |
404 |
420 |
411 |
402 |
418 |
409 |
425 |
416 |
407 |
423 |
414 |
405 |
421 |
412 |
403 |
419 |
18 |
426 |
434 |
442 |
450 |
433 |
441 |
449 |
432 |
440 |
448 |
431 |
439 |
447 |
430 |
438 |
444 |
427 |
435 |
443 |
428 |
19 |
475 |
464 |
471 |
466 |
455 |
465 |
470 |
453 |
451 |
454 |
474 |
452 |
472 |
467 |
460 |
468 |
458 |
457 |
456 |
459 |
20 |
488 |
481 |
479 |
480 |
487 |
485 |
478 |
498 |
482 |
497 |
476 |
484 |
483 |
495 |
496 |
477 |
499 |
486 |
494 |
478 |
76 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ru.pstu.elib
Окончание табл.
Номер |
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Номер варианта |
|
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|
|
|
|
|
|
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||||||
задания |
21 |
|
22 |
|
23 |
|
24 |
|
25 |
|
26 |
|
27 |
|
28 |
|
29 |
|
30 |
|
31 |
|
32 |
|
33 |
|
34 |
|
35 |
|
36 |
|
37 |
|
38 |
|
39 |
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 |
5 |
|
11 |
|
17 |
|
23 |
|
4 |
|
10 |
|
16 |
|
22 |
|
3 |
|
9 |
|
15 |
|
21 |
|
2 |
|
8 |
|
14 |
|
20 |
|
1 |
|
7 |
|
13 |
|
19 |
2 |
28 |
|
41 |
|
29 |
|
42 |
|
30 |
|
30 |
|
43 |
|
31 |
|
44 |
|
32 |
|
45 |
|
33 |
|
46 |
|
34 |
|
47 |
|
35 |
|
48 |
|
36 |
|
49 |
|
37 |
3 |
51 |
|
70 |
|
64 |
|
58 |
|
52 |
|
62 |
|
56 |
|
75 |
|
69 |
|
57 |
|
51 |
|
70 |
|
64 |
|
58 |
|
52 |
|
71 |
|
65 |
|
59 |
|
53 |
|
72 |
4 |
85 |
|
92 |
|
99 |
|
81 |
|
88 |
|
76 |
|
83 |
|
90 |
|
97 |
|
79 |
|
86 |
|
93 |
|
100 |
|
75 |
|
82 |
|
89 |
|
96 |
|
78 |
|
85 |
|
92 |
5 |
115 |
|
105 |
|
120 |
|
110 |
|
125 |
|
112 |
|
102 |
|
117 |
|
107 |
|
122 |
|
113 |
|
103 |
|
118 |
|
108 |
|
123 |
|
114 |
|
104 |
|
119 |
|
109 |
|
124 |
6 |
137 |
|
148 |
|
134 |
|
145 |
|
131 |
|
144 |
|
130 |
|
142 |
|
127 |
|
138 |
|
149 |
|
136 |
|
146 |
|
132 |
|
143 |
|
129 |
|
140 |
|
126 |
|
137 |
|
148 |
7 |
165 |
|
170 |
|
154 |
|
155 |
|
160 |
|
163 |
|
169 |
|
172 |
|
175 |
|
153 |
|
156 |
|
159 |
|
162 |
|
165 |
|
168 |
|
171 |
|
174 |
|
152 |
|
155 |
|
158 |
8 |
189 |
|
181 |
|
198 |
|
190 |
|
182 |
|
192 |
|
194 |
|
176 |
|
193 |
|
185 |
|
177 |
|
194 |
|
186 |
|
178 |
|
195 |
|
187 |
|
179 |
|
200 |
|
188 |
|
180 |
9 |
206 |
|
212 |
|
219 |
|
213 |
|
205 |
|
203 |
|
212 |
|
204 |
|
211 |
|
221 |
|
223 |
|
201 |
|
210 |
|
220 |
|
224 |
|
202 |
|
213 |
|
222 |
|
205 |
|
214 |
10 |
238 |
|
242 |
|
246 |
|
250 |
|
229 |
|
250 |
|
229 |
|
233 |
|
237 |
|
241 |
|
245 |
|
249 |
|
228 |
|
232 |
|
236 |
|
240 |
|
244 |
|
248 |
|
227 |
|
231 |
11 |
260 |
|
258 |
|
259 |
|
261 |
|
257 |
|
254 |
|
255 |
|
253 |
|
270 |
|
272 |
|
251 |
|
252 |
|
267 |
|
256 |
|
268 |
|
269 |
|
257 |
|
260 |
|
259 |
|
258 |
12 |
296 |
|
297 |
|
298 |
|
299 |
|
300 |
|
285 |
|
284 |
|
283 |
|
279 |
|
278 |
|
276 |
|
277 |
|
280 |
|
281 |
|
282 |
|
286 |
|
287 |
|
288 |
|
290 |
|
289 |
13 |
317 |
|
301 |
|
310 |
|
319 |
|
303 |
|
310 |
|
319 |
|
303 |
|
312 |
|
321 |
|
305 |
|
314 |
|
323 |
|
307 |
|
316 |
|
325 |
|
309 |
|
318 |
|
302 |
|
311 |
14 |
338 |
|
327 |
|
341 |
|
330 |
|
344 |
|
339 |
|
328 |
|
342 |
|
331 |
|
345 |
|
334 |
|
323 |
|
337 |
|
326 |
|
340 |
|
329 |
|
343 |
|
332 |
|
346 |
|
335 |
15 |
366 |
|
362 |
|
358 |
|
354 |
|
375 |
|
360 |
|
356 |
|
352 |
|
373 |
|
369 |
|
365 |
|
361 |
|
357 |
|
353 |
|
374 |
|
370 |
|
366 |
|
362 |
|
358 |
|
354 |
16 |
377 |
|
400 |
|
398 |
|
396 |
|
394 |
|
400 |
|
398 |
|
396 |
|
394 |
|
392 |
|
390 |
|
388 |
|
386 |
|
384 |
|
382 |
|
380 |
|
378 |
|
376 |
|
399 |
|
397 |
17 |
410 |
|
401 |
|
417 |
|
408 |
|
424 |
|
420 |
|
411 |
|
402 |
|
418 |
|
409 |
|
425 |
|
416 |
|
407 |
|
423 |
|
414 |
|
405 |
|
421 |
|
412 |
|
403 |
|
419 |
18 |
446 |
|
445 |
|
427 |
|
436 |
|
437 |
|
444 |
|
427 |
|
435 |
|
443 |
|
426 |
|
434 |
|
442 |
|
450 |
|
433 |
|
441 |
|
449 |
|
432 |
|
440 |
|
448 |
|
431 |
19 |
463 |
|
469 |
|
461 |
|
473 |
|
462 |
|
455 |
|
471 |
|
469 |
|
453 |
|
454 |
|
470 |
|
468 |
|
451 |
|
462 |
|
467 |
|
452 |
|
466 |
|
463 |
|
464 |
|
465 |
20 |
493 |
|
490 |
|
492 |
|
491 |
|
489 |
|
481 |
|
491 |
|
500 |
|
482 |
|
490 |
|
489 |
|
499 |
|
477 |
|
478 |
|
476 |
|
498 |
|
492 |
|
493 |
|
480 |
|
479 |
77
77
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ К ТЕМЕ 3
Номер варианта выбирается по таблице Задание. Вычислить неопределенный интеграл.
1.1. |
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
dx |
|
|
|||||||
|
|
|
x |
6 |
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1.2. |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
xln xln(ln x) |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
1.3. |
|
x(1 |
x2 ) |
dx |
|
|
|||||||||||||
|
|
1 x |
4 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1.4. |
2x |
|
arcsin x |
dx |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 x |
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1.5. |
x |
(arccos3x)2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||
|
|
|
|
|
|
1 9x |
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1.6. |
|
|
cos d |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
a |
2 |
sin |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1.7. |
|
1 xdx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1.8. |
1 x x |
2 |
|
dx |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1.9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
2 |
x 1 tgx |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1.10. cos3 4xdx sin x
1.11. sin3 d . cos
1.12. sincos3 xxdx
1.13. cos 2xdx 1 sin xcos x
1.14. x 1 |
|
|
x2 2xdx |
|||||||||||||||
1.15. 1 e3 x 2e3 xdx |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|||||
1.16. |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|||||||||
2 |
3x3 |
|
|
|
x3 dx |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.17. |
|
2x 3 |
|
|
dx |
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1.18. |
|
|
2x 1 |
|
|
|
|
dx |
|
|
||||||||
|
|
9x |
2 |
4 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1.19. |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
3 ln |
2 |
x |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1.20. |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
e |
x |
|
1 e |
2 x |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1.21. |
|
|
|
ln xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x 1 ln |
2 |
x |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.22. e2 x2 ln xdx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1.23. eex xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
cos 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1.24. cos2 x dx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
arctgx 23 |
dx |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.25. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 x |
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1.26. ex2 xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.27. |
|
tgx 7 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
cos |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
78
elib.pstu.ru
1.28. ln5 x dx |
|
|
|
||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
1.29. |
|
|
1 x2 dx |
|
|
||||
1.30. |
|
7 arctg2 x |
dx |
||||||
|
|
1 x |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.31. ex3 x2dx |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
1.32. |
|
tg 2 x 9 |
dx |
|
|||||
|
|
cos |
2 |
x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.33. |
|
2x5 3x2 |
|
dx |
|||||
1 |
3x |
3 |
x |
6 |
|||||
|
|
|
|
3
1.34.ln 2 xx 4 dx
1.35.ex4 x3dx
1.36. |
4 x5 x4dx |
1.37 1xdx4 x
1.38.3 lnx 2 x dx
1ctg4 x
1.39.sin2 x dx
1.40.3 5 x3 x2dx
x2dx
1.41.1 x6
1.42.e1 x2 xdx
1.43.esin2 x sin 2xdx
1.44.sin2 (lnx x) dx
1.45. |
|
ex |
|
|
|
dx |
|
1 |
e |
2 x |
|||||
|
|
|
|
|
|||
1.46. tg(ln x)dx |
|
||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
1.47. |
xdx |
|
|
|
|
||
1 |
x |
4 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
1.48. ecos x sin xdx |
|||||||
1.49. |
cos2 (ctgx) |
dx |
|||||
sin |
2 |
x |
|
||||
|
|
|
|
||||
1.50. |
e2 x |
|
|
dx |
|||
1 |
e |
4 x |
|||||
|
|
|
|
|
1.51.x2arctgxdx
1.52.x2 sin xdx
1.53.ex cos xdx
1.54. |
ln xdx |
|
|||
x |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1.55. |
x ln xdx |
||||
1.56. |
xcos x |
dx |
|||
sin |
3 |
x |
|||
|
|
|
1.57. x2 cos xdx 1.58. x5ex2 dx
1.59. xln2 xdx
1.60. sinx2 x dx
1.61. x2 dx cos x
1.62. x3e xdx
79
elib.pstu.ru
x
1.63.x2e 2 dx
1.64. arctgx |
|
|
2x 1dx |
||||||||
|
|
arcsin |
x |
|
|
|
|||||
1.65. |
|
|
dx |
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||
1.66. |
arctg |
|
x |
dx |
|||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
1.67. arcsin |
|
|
|
x dx |
|||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
1.68. |
|
xarcsin x |
dx |
||||||||
|
1 |
x |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1.69. |
ln cos x |
dx |
|||||||||
cos |
2 |
x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.70. |
ln sin x |
|
dx |
||||||||
sin2 x |
|
|
1.71. x3e2 xdx 1.72. x3ex2 dx 1.73. ex sin2 xdx 1.74. sin xdx
1.75. arcsin x dx 1 x
1.76.xln x2 4 dx
1.77.xshxdx
1.78.e3 x dx
1.79. arctg 1 |
x dx |
1.80. earcsin xdx |
|
80 |
|
x2
1.81.arctgx1 x2 dx
2
1.82.dx
x
1.83.ln x 1 x2 dx
1.84.xln 11 xxdxln x
1.85. arccos |
x |
|
dx |
|
x 1 |
||||
|
|
1.86.32xx2 x1 arctgxdx
1.87.ln lnx x dx
1.88. |
xln x |
dx |
2 |
||
|
x 1 |
|
1.89. sin xln tgx dx
1.90. arcsin x dx x2
1.91. arcsin ex dx ex
1.92.xarccos x dx
1 x2 3
1.93.xsin xcos xdx
1.94.ln3 xdx
1.95.xarccos 1 dx
x
1.96.xarctg xdx
1.97.sin 3 xdx
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