книги / Математический анализ в задачах и упражнениях

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пример 6. В эллипс

1 вписать прямоугольник наи-

большей площадисо сторонами, параллельнымиосямэллипса.

Решение. Пусть x и y

– длины полусторон прямоугольни-

ка. Тогда S 4xy, причем x и y

– координаты точки, лежащей

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

1.75 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 186 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Рис. 10. Фрагмент 3

2)–4) y 0; условие x 1 0 эквивалентно на промежутке

условию t , поэтому lim

y x

lim y t 0 ; ана-

x 1 0

логично

lim y x lim

y t

1 ;

t 1 0

случай

x уже рассмотрен в предыдущем пункте,

а случай x исследовать не надо x 0 ;

для

2 , т.е. для

x 1,

;

yx 0

3 4

yx 0 для

t 1; 3

2 , т.е. для

3 4

; точка

3 4

;

3 4

– точка ло-

3 4 1

кального максимума;

для t 1; t0 и

для t t0 ; , где t0 оп-

yx2 0

ределено в п. I.

elib.pstu.ru

Итак, ветвь кривой, соответствующая изменению t на промежутке 1; , представляет собой график непрерывной, положительной на луче x 1 функции с горизонтальной асимпто-

той		y	1		и краевым условием					lim y			x 0. На промежутке
			2							x 1 0
		3 4															3 4
1;					функция возрастает,					на промежутке								;
1;	3				функция возрастает,					на промежутке						3		;
	3															3	4 1
		4 1															4 1
						3 4	;	3 4	–	точка локального максимума.
убывает,				точка
убывает,				точка
					3	4 1		3
Существует точка						x0 x t0 ,			x0			3 4		такая,	что на проме-
Существует точка						x0 x t0 ,			x0		3	4 1		такая,	что на проме-
											3	4 1

жутке 1; x0 функция выпукла вверх, на промежутке x0 ; – выпукла вниз, точка x t0 ; y t0 , t0 1; 3 2 – точка перегиба. Заметим еще, что при параметрическом задании кривой, если

существуют пределы	lim x t a,	lim y t b,	то точка a; b
	t	t

также считается принадлежащей этой кривой. Таким образом, в нашем случае точка 1; 0 принадлежит кривой. График этой

ветви кривой изображен на рис. 11.

Прежде чем объединить все сказанное и построить дан-

ную	в задаче	кривую, заметим		следующее. Имеем
			для t 1 и lim
lim yx lim yx				yx lim yx для
x 1 0	t		x 1 0		t

t 1. Таким образом, ветвь кривой, подходящая снизу к точке

1; 0 , в этой точке имеет правую полукасательную	– луч
x 1, y 0; ветвь кривой, подходящая сверху к точке	1;0 ,

имеет в этой точке правую полукасательную – луч x 1, y 0. Угол между этими лучами равен , следовательно, кривая имеет в точке 1; 0 вертикальную касательную x 1.

Окончательный график кривой изображен на рис. 12.

elib.pstu.ru

Рис. 11. Фрагмент 4

Рис. 12. График функции x t t2t2 1, y t t3t2 1

elib.pstu.ru

Скажем несколько слов о нахождении наибольшего и наименьшего значений функции. Если функция y f x

непрерывна на замкнутом промежутке a; b , то она достигает

на нем своих наибольшего и наименьшего значений. Наибольшее и наименьшее значения функции достигаются либо в критических точках, лежащих внутри промежутка, либо на его концах. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения

функции y f x , следует вычислить ее значения в критических точках, лежащих внутри a; b , и в точках a и b , затем

выбрать среди них наибольшее и наименьшее. Отметим в связи с этим следующие два положения. Если в промежутке

a, b, конечном или бесконечном, одна критическая точка

и в ней локальный максимум (минимум), то в ней наибольшее (наименьшее) значение. Если функция задана и непрерывна на некотором промежутке, не являющемся замкнутым, то среди значений функции на этом промежутке может не быть наибольшего и наименьшего.

Пример 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на указанных промежутках:

1)y x3 3x2 3x на 1; 2 ;

2)y 1 xx2 на ; ;

3)y xln x на 1; e .

Решение. 1) Найдем производную y 3x2 6x 3 3 x 1 2 . Она обращается в нуль в точке x 1 , эта точка лежит внутри отрезка 1; 2 . Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции необходимо вычислить значения функции в точке x 1 и на концах промежутка x 1, x 2 . Находим y 1 7 , y 1 1, y 2 2 . Значит, наименьшее значение равно –7, наибольшееравно2.

elib.pstu.ru

2) Найдемпроизводную y

1 x2

2xx

1 x2

. Онаравна

1 x

нулю в точках x 1, x 1 . Вычислим

y 1

1 , y 1

1 . По-

скольку lim

y x lim

lim

0 ,

то

наименьшее

x 1

значениеравно 12 , наибольшееравно 12 .

3) Найдем производную y ln x x 1x ln x 1. Она обраща-

ется в нуль при x 1e . Точка x 1e не лежит внутри промежутка

1; e . Для отыскания наибольшего и наименьшего значений необходимо вычислить значения функции на концах промежутка. Имеем y 1 1 ln1 0, y e e ln e e. Следовательно, наибольшее значениеравно e, наименьшеезначениеравно0.

К задачам на наибольшее и наименьшее значения часто относят так называемые текстовые задачи. Это задачи, в которых требуется описать с помощью функции какое-нибудь геометрическое свойство, физическое явление и т.п., а затем найти экстремальные значения построенной функции. Приведем несколько примеров таких задач.

Пример 5. Положительное число a разложить на два положительных слагаемых так, чтобы сумма их кубов была наименьшей.

Решение. Пусть первое слагаемое равно x, тогда второе слагаемое равно a x . Составим функцию y x3 a x 3 . По смыслу задачи x 0; a . Задача свелась к нахождению наименьшего значения функции на отрезке 0; a . Найдем произ-

elib.pstu.ru

водную y 3x2 3 a x 2 3a 2x a . Производная обращает-

ся в нуль в точке	x	a	. Поскольку	y x	a		6a 0 , то
		2			y	2

в точке x a2 функция имеет локальный минимум. Поскольку

функция имеет одну критическую точку и в ней минимум, то в этой точке наименьшее значение. Итак, сумма кубов будет

наименьшей, если слагаемые равны друг другу и равны a2 .

на эллипсе. Для упрощения следует записать параметрические

уравнения эллипса: x a cost, y bsin t .						Тогда S 2absin 2t,
откуда	Smax 2ab при t		, а x	a	, y	b	.
		4		2		2

Пример 7. Суточные расходы при плавании судна состоят из двух частей: постоянной, равной a руб., и переменной, возрастающей пропорционально кубу скорости. При какой скорости v плавание судна будет наиболее экономичным?

Решение. Предположим, что судно прошло S км за T сут. Тогда расходы R будут равны Ta kTv3 , где k – коэффициент

пропорциональности. Но так как T Sv , то

R Sav kSv2 .

Проводя обычные исследования на наименьшее значение,

находим скорость, при которой расходы минимальны: v 3 2ak .

elib.pstu.ru

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ К ТЕМЕ 2

Задание 1. Исследовать функции и построить графики.

1.1.а) y 1 1x2

1.2.а) y (x 1) 3 x2

1.3.а) y (x2 1)2

1.4.а) y x3x2 1

1.5.а) y 1 1x2

1.6. а)	y		2x 1
			(x 1)2

1.7. а)	y		x 1
		x2 2x

1.8.а) y (x x1)2

1.9.а) y x2 1 9

б) y x3e 4 x

б) y ln(x2 1)

б) y eх

б) y lnxx

б) y ln(x2 4)

б) y x3e x

б) y (x 1)e3x 1

б) y ex x

б) y (x 4)e2 x

x t2 ,

в) y 0,5t

в) x t2 ,y t3

x a t sin t ,

в)

y a 1 cost

x aet cost,

в) y aet sin t

x t3 3t 1, в) y t3 3t 1

x tet ,

в) y te t

в) x t3 3 ,

y t3 6arctgt

y 3t t3 2, в) x 2t t2 1

			t	2
	x					,
		t			1
в)
				t

	y
		t	2	1

1.10. а) y	x3	б) y x ln(x 1)	в) x t e t ,
	2(x 1)2
			y 2t e 2t

elib.pstu.ru

1.11.а)

1.12.а)

1.13.а)

1.14.а)

1.15.а)

1.16.а)

1.17.а)

1.18.а)

1.19.а)

1.20.а)

1.21.а)

1.22.а)

x 2t

y e

2 x x2

б)

y x

в)


y		2x 2
	4x2 1

y		x3
	3	x2

y		4x
	4	x2

y		x4
	x3 1

y2 4x2 1 4x2

y 33 x2 2x

y 4x2 x3 1

y ln(2x2 3)

y x2 x 2 2x 3

б)

y ln(x2

4x 8)

в) x t2

y t3

б)

в)

x aet sin t,

y aet cost

б)

y ln(x2

4x)

в). x t2

2t,

y t2

б) y x2e x

в) x te t ,

y tet

б) y e2 x x2

в) x t3,

y t3

б)

x 2

в) y t2,

x t3 1

y t

12t,

б)

в)

x t

12t

б) y x4 2x2 3 в)

б) y 3 x2 x

в) x 3t t3 ,

y 2t t2

y x2 1 x

y x2 1x 2

б)	y x ln(x2 1)	в)
б)	y ln(1 ex )	в)

x t2 1,y t3 1

x t3 1,y t3 3t

elib.pstu.ru

1.23. а)	y 3			1 x3
1.24. а)	y			x		б)
1.24. а)	y		x	2	1	б)
			x	2	1
1.25. а)	y			4x
1.25. а)	y	4		x2
		4		x2
1.26. а)	y		x2 x 1
1.26. а)	y		x2 2x
			x2 2x
1.27. а)	y			6x
1.27. а)	y	1		x2
		1		x2

б) y ln sin x

y (2 x2 ) e x2

б) y ln cos x

б) y e2 x x2

б) y x lnxx

		1				y (x2 1)3
1.28. а)	y eх				б)	y (x2 1)3
1.29. а)	y		8		б)	y x 2arctgx
1.29. а)	y	x2 4			б)	y x 2arctgx
		x2 4
1.30. а)	y x2			1	б)	y x sin x
1.30. а)	y x2			x2	б)	y x sin x
				x2

Задание 2. Решить задачу.

в)

x t3 5,y t2 2t

x 3t2 1,

y t 1

x ae t sin t,

y ae t cost

x 2t e 2t ,y t e t

x t2 4t,y t2 4t

x t2 ,

y t3 12t

x 1t t2 ,y 1 t

x t2 8t,y t2 8t

2.1.На странице книги печатный текст (вместе с промежутками между строк) должен занимать 216 см2. Верхнее и нижнее поля должны быть по 3 см, а правое и левое – по 2 см. Каковы должны быть размеры страницы, чтобы ее площадь была наименьшей?

2.2.Пренебрегая сопротивлением воздуха, в первом приближении можно считать, что движение вертикально запущен-

ной метеорологической ракеты происходит по закону

h v t	gt2	, где	v – начальная скорость; g 9,81 м с2.	Опре-
h v t		, где	v – начальная скорость; g 9,81 м с2.	Опре-
0	2		0
	2
				59

elib.pstu.ru

делить, какую надо придать ракете начальную скорость для того, чтобы она поднялась на высоту 200 м.

2.3. В точках А и В находятся источники света, силы соответственно F1 и F2 . На отрезке АВ, равном а, найти наименее освещенную точку М (освещенность точки обратно пропорциональна

квадрату еерасстоянияотисточникасвета: E mFr2 , m const ).

2.4.Полоса жести шириной а должна быть согнута в виде открытого желоба так, чтобы поперечное сечение желоба имело форму кругового сегмента. Каким должен быть центральный угол, опирающийся на этот сегмент, для того, чтобы вместимость желоба была наибольшей?

2.5.Через точку (3; 5) провести прямую с отрицательным угловым коэффициентом так, чтобы площадь треугольника, образованного этой прямой и осями координат, была наименьшей?

2.6.Сосуд, состоящий из цилиндра, заканчивающийся снизу полусферой, должен вмещать 18 л воды. Найти размеры сосуда, при которых на его изготовление пойдет наименьшее количество материала.

2.7.Найти радиус основания и высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара радиусом R.

2.8.При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной вместимости будет иметь наименьшую полную поверхность?

2.9.Найти радиус основания и высоту цилиндра с наибольшей боковой поверхностью, который можно вписать в шар радиусом R.

2.10.Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиусом R.

2.11.Каковы должны быть коэффициенты p и q трехчлена

x2 px q, чтобы этот трехчлен при x 2 имел минимум, рав-

ный I ?

2.12. Лампа висит над центром круглого стола радиусом R. При какой высоте лампы над столом освещенность предмета,

elib.pstu.ru

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 186 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202314.39 Mб20Математические модели элементов интегральной электроники..pdf
#
12.11.202314.5 Mб0Математические основы криптологии и криптографические методы и средства обеспечения информационной безопасности..pdf
#
12.11.2023865.71 Кб4Математические основы теории принятия решений..pdf
#
12.11.20231.41 Mб1Математические основы теории систем. Методы оптимизации.pdf
#
12.11.20234.41 Mб2Математические основы финансового обслуживания..pdf
#
12.11.20231.75 Mб4Математический анализ в задачах и упражнениях..pdf
#
12.11.20232.24 Mб2Математический анализ динамических моделей..pdf
#
12.11.202316.22 Mб4Математическое моделирование дискретные подходы и численные методы..pdf
#
12.11.20233.27 Mб1Математическое моделирование авиационных двигателей..pdf
#
12.11.202314.31 Mб0Математическое моделирование в биофизике. Введение в теоретическую биофизику.pdf
#
20.11.202324.42 Mб0Математическое моделирование в естественных науках.-1.pdf