книги / Расчет пластин и оболочек, подкрепленных ребрами жесткости, методом конечных элементов

услов яи непрерывности перемещений и их первых проиэводныу по линиям контакта КЭ. Определенным недостатком полинома шестой степени С 1 .2 0 является отсутствие некоторых членов и отличие от однородного решения дифференциальною операто­ ра для изгибаемой пластины. Другим i эдост'-■ком полинома яв­ ляется его особенность, приводящая к несимметричному закону распределения деформаций в пределах элемента, факти» ски наделяющая элемент различной жесткостью в направлен'-ч коор­ динатных ооей. Отмеченные недостатки не обеспечивают сходи­ мости решения (табл .О » хотя выражения для вторых -производ­ ных, но не их значения, входящих в функционал, в узловых точках стремятся к истинным при стремлении сторон элемента к нулю.

Приведенные примеры подчеркивают, что вопросы выбора форм перемещений не терпят подхода, основанного на формаль­ ном удовлетворении приведенных виде критфнев. ^обх^димо сохранять и математическую и физическую строгость при выбо­ ре аппроксимирующих полиномов.

рассмотрим общепринятые и предлагаемый приемы нахождения к<ь аффициентов Матриц жесткости.

Поскольку я рассматриваемый функционал входят вторые производные, то для получения сходящегося решения, кроме вы­ полнения прочих уоловий сходшости, требуется добиться не­ прерывности производных до первой вклочнтельно. Это требова­ ние непрерывн ети основано, на необходимости дифференцирова­ ния искомой функции прежде чем мы придем к выспей про изводвой, входящей в (1 .2 3 ). На рис.4 отражена оитуация, когда разрыв непрерывности первой производной приводит к неопре - Деленюсти второй проиэродной в пределам смежных границ эле­ ментов.

Если при уменьшении сторон элемента этот разрыв не бу­ дет стремиться к нуле или конечному значение в случае сту -

-ом дифференцировании он приводит к линейному характеру из­ менения вторых производных по границам элемента. А следова­ тельно, разрыв в значениях вторых производных по границе смежных элементов будет определяться разрывом этих производимх в угловых точках, где соблюдается условие непрерывности

тигь большую сдшность получения оодиномов дня виагентов ир©~ идвоимой фор— , которые оркводкии бы после двукрвтыого д ф- фереацнрованвя к такой бдагопритвой ситуавии дик иееошестних моментов. Учитывая в*о. в дальвеввьм буя— от зреться бегать последовательного дыфферевцфоваввя иекемоВ функ^ин при оцредеженнк высиых производных, есин вгевтеа разрывы во»- прерывности н кэвв . То есть определять вь~вае вровзводвые

как бы "независчмо" от производных низшего порядка. Вернег-я к общеизвестной схеие я рассмотрим методику

рым степенным полиномом, содержащим число неизвестных пара­

m- количество узлов элемента;

п.- количество неизвестных для узла,

Р= т а

лось, недостатком его является невозможность в ряде случаев удовлетворить воем условиям сходимости одн фемпнно при ес­ тественных условиях в уалас ь..емента.( Элементы с промежуточ­ ными узлами мы не рассматриваем в настояла пособии). Это удается выполнить для ряда элементов, если в состав узлов х неизвестных включаютоя параметры, соблюдение непрерывности которых не требуется исходя из физической сущпс :и задачи. Например, е ти дополнительно включить в состав неиэвест «

Предлагаемый подлог построения матриц жесткости ’ ис

совместных" элементов заключается в раздельной аппроксима-

Вданном случае можно провести аналогию между предлага­ емым приемом и идеей, заложенной в методе конечных слементов

Вначале прошлого века Павье сформулфовал общую задачу

расчета упругой конструкции как задачу определения перемеще­ ний во всех точках конструкций, то есть такого вектора м/(х.у,е), который удовлетворяет уравнениям теории упругости и граничным условиям. Правда, найти эту функцию оказалось неаросто. Для тел относительно простой Форш это научились-делать с помощью приближенных методов Ритца, Бубнова-Галеркина и ряда других. Однако, как тодысо иженеры пытались примерить их к более сложным телам, начинались неприятности. Решение нашли в отве­ те на вопрос: обязательно ли во всем объёме тела функция

v<r(x,y,«) должна иметь одно и то же аналитическое представ­ ление? Б 1ть макет, область, занимаемую телом, можно разбить на подобласти, в каждой из которых деформированное состояние является достаточно простым, а затем "сшить" из этих подоб­ ластей полную область? Эта простая идея, разделить тело и властвовать над отдельными областями, оказалась чрезвычайно плодотворной, она обогнала по эффективности многие глубокие и тонкие идеи.

То же самое используется н в предлагаемом приеме. Ап­ проксимировать деформированное состояние поэлементно. Но эле­ ментами в данном случае являются составляющие рассматриваемо­ го функционала.

В соответствии с этим сформулируем основные критерии сходимости, выполнение которых должно быть обязательна.

I . Координатные функции должны быть линейно независимы­ ми и оонованы на полном полиноме n. - а степени.

2 . Координатные функции для коыпонентов полного переме­ щение должны обеспечивать геометрически возможные перемеще­ ния в предел® всего елемента о сохранением условий непрерыв­

функции должны отражать естественный характер дсформирования и стремиться к точному при уменьшении стЬрон элементов;

б) значения (П -й производной от искомой Функции в узло­ вых точках должны стремиться к точным при уменьшении размеров элемента;

в; пря узловых, перемещениях, отвечающие условию постоян­ ной деформаций, это состояние должно реализоваться в элемен - те;

будет оценено на конкретные пр(мерах.

2. В*сине производные отвечают всем необходим требова­ ниям сходимости.

Независимая аппроксимация компонентов функционала позво­ ляет очень прост'* получать матрицы жесткости автоматически, се прибегая к явной Форме определения их .оэффициентов.