книги / Расчет пластин и оболочек, подкрепленных ребрами жесткости, методом конечных элементов

УУХ УХ* ух3 УХ1 i t

У* Y*X YV yV y V

У3 yJx YV y V У4 У4х y V

V* YSX

Y6

где в. каждой ячейке помещено значение интеграла, взятого в пределах элемента от функции, вид которой определен выраже­ нием, оголяю. в денной ячейке.

И вое-таки, необходимо отметить, что, веомотря на возможость полностью автоматиэфовать лроцеоо формирована матриц

жесткости рассматриваемых элементов, рассмотренвый алгоритм имеет существенный недостаток. Дело в том, что для выполнения веек операций, необходимое ори построении Ш, требуетоя боле­

обходимоотьв интегрирования болевого числа функш . Для прша-

Применение квазилинейной аппроксимации при построении матриц жеотпости

Фиме ненке квазилинейной аппрокоимации рассмотрим на пршера построения матрицы жесткости четырехугольного элемен­ т а , работавшего на нагиб (рио. О .

Для жестких пластин, загруженных поперечной нагрузкой, при определении потенциальной епергин можно ограничиться на­ хождением лишь энергии изгиба:

- ^ Т ^ Й з . в )

Раоомотрш четырехугольный алемент и выделш в пределах его облаоть,огранкченнув двумя сторонами элемента и прямой; ооедкнявщей два узла, принадлежащих атм^ сторонам (рио. 13).

В пределах рассматриваемого треугольника введем одедую-

дем в данном одучае исходить из четырехуалово* ашфокоимаои (1 .6 0 ).

В атом случае вырахеняя ( 3. 54) н (3.55) примут вид

вика трансформируется в квазилинейную в ооставе всего ядемента.

Поскольку характер оокнномов л швея, то количество ин­ тегралов и, что оообето вапю ( период подынтегральных фун­ кций значительно оникается. Это и то, что время по определе­ нно Функций Эрмнта в данном олучае сводится до минимума и является преимуществом раоомачиваемого подхода по сравнению о предыдущим. Кроме того, точность реиенк вине, чем при использовании аппрокоимацин в пределах воего элемента.

В отличие от алгоритма,приведенного в предыдущем парагра­ фе, в рассматриваемом случае используется линейная аппрокси­ мация элементов функционала, которыми являйте" вторые произ­ водные от искомой функцйк.Значеяия.любой производной в пре­ делах элемента определяется их узловыми ана* ниями.Характер кв изменения их вдоль контура элемента остается линейным.

То есть,выражения для вторых производных,полученные выло, является определявшими.При таком подходе.удовлетворявт.оя все

.критерии сходимости,рассмотренные в первой главе.

Скедует отметить,что еслц бы функционал С. .53.) содержал первые производные от прогибаете закон распределения их был

вдоль контура элемента произвольной формы будет обеспечена. Исходя иэ линейной аппрокоимацин слагаемых функционала в пределах треугольного участка элемента произвольной четырех­ угольной формы,очень легко определяется вид полиномов Эрмта, описывавших характер изменения составлявших функционала в пределах чаоти четырехуго;. .ного элемента.

гд* функции ^ м и а иыввт вид

(3 .67)

Коэффициенты Кг« матрицы жеоткостн будут определяться и» завис«10оти

(3 .68)

где значения интегралов легко определяется из выражений

(3 ,6 L)

Отличительной особенностью использования I-координат в атом случае от приемов,изложенных'в известной литературе, при решении задач на основе функционала•второго порядка явдяетсяотсутствйёнеобходимости дифференцирования по декар­ товым координатам, то есть операции

Это резко сокращает объем вычислений)и приводит к наибо­ лее явному проявлению преимущества Ц-координат.При машинной реализации этого алгоритма выспей операцией является перем­ ножение составляющих вектаров^.что'само ijio себе элементарно. Машинное время на формирование системы ^равнений можно еще оокгатить,если площадь четырехугольного: элемента представить сунизй площадей двух треугольников,а не четырех,как ото бы­ ло сделано выше.