книги / Расчет пластин и оболочек, подкрепленных ребрами жесткости, методом конечных элементов
..pdfПосле влементарньк преобразо эний будем иметь
О о О О = i ( 4 . f .
Ф с = 4 ХЧ 0 0 0 0 - Х 0 |
^ |
|
||
Ijio S iv *15к»у |
о о о |
О o l{ q 4 |
||
|
|
|
|
(3.70) |
( н \ = 1 ° i V |
0 0 0 0 |
^ |
^ 'к 1у В,- Кху |
|
- В? |
&У |
Кху в * |
Кху о о |
О О оДЯ-.?, |
c | f \ = 1 0 J * ч 0 ° ° ° - ¥ |
^ |
^ * |
||
0 |
Ky X t K Уск-ку О О о о o i{ q |
|||
Ь — X ji.'ki.-X K t YjC,
,e |
|
|
1ч0Ы м < ч < Ч у |
UJ *,• ч 4 |
i ы л |
* * ^ ч < ч ; к ч ! ; |
ufc^-u5t |
ч * ч ? ь |
Иопольэуя круговую подотановку^определ»i знамения част ныхпроизводных в остальных узлах элемента.
Частные производные от прогиба определяются зависимостью (1 .6 0 ). Только здесь целесообразно расширить вектор {q.„y до полного» что упростит процеос машинкой реализации построения матриц кесткооти. То есть необходимо матрице Г с1 £ придать следую т! вид
о |
о |
-е - * v - 4Yjc |
о |
|
6 |
-2Xj4 -2Y|C |
|
||
t c ] ( о |
о |
-б |
-4Y* о |
о |
о |
о |
о |
|
|
О О-в - 4X,i-'4Ycc О О О |
|
|
|
||||||
0 0 0 0 0 0 0 0 о о |
0 .7 1 ) |
||||||||
о |
о |
6 |
|
о |
о |
о |
о |
о |
|
0 0 0 0 |
о |
0 9 6 |
+2Xu-2Yel |
|
|||||
Тогда выражение. (1 .60) будет включать в |
себя |
полный век |
|||||||
тор неизвестных |
для элемента. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
« г Г * |
t B £1{Ч of.- |
|
|
|
0 .7 2 ) |
||
Таны образом» окончательный вид матричных выражений для чаотнмх проиэводнмх в с -м узле будет следуюиий
(3 .73)
^ - т^ тая,}'
( | i \ - i v , U a . \ T.
Иаи, если ввести в одну эавионыоов,
K r l Tt = |
(3 .7 0 |
|
(< А ^ Ф Л Щ г4\СФ<
' ъ * * 'Л ш у 1^ 1 * к * >
Щ ] - [ ^ ^ v . V y fcj1 |
ft* ь ? ) . |
Если теперь воспользоваться |
L -координатами, то мож |
но записать |
|
( | н ) и = и Л р с + ь г С а + Ч ® « -
(3.75)
= £ < с ц ч ч н £,
W-1
< м т = £ э - Ч и . ь . ц Н с ,
! £ C*Y) * Д э?Чь,ч |
, |
|
ох |
1«1 |
|
- | f ( x y ) - ^ ^ C b , 4 L 0 4 t , |
||
| ^ ( » ) « Й э ^ 'Ч М . ь - . Н с , |
||
ОXоу |
{si |
|
| ^ И |
= ^ 9 Г , , ( ц ц ^ ) я ; . |
|
0Y* |
i-1 *■ |
|
Теперь не представляет особых сложностей определить часть коэффициентов полной матрицы жесткости, исходя из выра жения (3.47) для энергии деформации элемента пологой оболочки.
чСиЛУЛ, ч , Ч у ) = I , ■ £ W |
< I A . |
Только в данном случае коэффициенты |
будут определять |
ся зависимостью |
|
(3 .76)
- К * к у 1 > э Р № 9 Г + а ; ‘ ! с ) -
+CB ; K J * 2 I>,;K<K»* э « +
* |
” »?*■ - « г ч < с ? й " + * г |
+»“ |
в ^ Г в Г ♦ 4 в ^ ' э Т э “ ,у] < 4 . |
Окончательный вид матрица жесткости пршет пооле дву кратного обхода площади рассматриваемого элемента, что учте
но введепием множителя 0,5 |
в выражение (3,76). То еотъ |
|
К т к = C *im c\ |
+ С ^ "« 0 * |
+4 |
4 ( K m ^ + C w ) . ^ |
(3 > я) |
|
Следует отметить, чти конечный элемент с пятью степеня |
||
ми свободы в узловых точках в чистом виде для включейю в |
||
матрицу жесткости оболочки не подходит. Это связано с тем,что
два угла поворота в местной системе координат |
вх*1Д у и. |
|||
|
Н * |
в об|ЦИ|1 осях |
,weDT ТРЙ проекции: |
9 * ,0 у ( 0 * . |
Следовательно, |
для слу'.ая, |
когда проекции элементов.сходя- |
||
иихся в |
некотором узле, лежат в одной плоскости, |
система раз |
||
решающих |
уравнений получается особенной. Для исключения воз |
|||
можности такой ситуации введем дополнительное неизвестное для каждой узловой точки 0 2 . Одновремепю преобразуем олагаемоэ
3?!гС|у' + 1 х ) 2 Функциенала (3.45).
&U |
.Dtf |
I |
|
|
Ttf |
. Q |
(3.78) |
|
&f |
|
I ' - KY |
|
гл |
4 |
|||
|
|
|
||||||
T№ |
*VJ |
j_ /Ъ ц + ^ 0 \ |
T>U _ 0 |
(3.79) |
||||
D^j |
г * |
a '- v / |
W |
T>Y |
* |
|||
|
||||||||
В результате можно записать |
|
|
||||||
|
|
лт 1 Ш + П ) г - |
|
|||||
|
|
* l\V 1 |
'ДХ > |
|
|
|||
= B(0 f 1 (^ * 4 .^ U |
M |
+ Q |
|
|
- e „ ] = |
|||
J,,a i |
+ ^ |
+ T>X+‘w*J l2.^'by4 'ttx )+ r^y |
|
|||||
|
- » " w « +«>*♦ &$+ |
(3.80) |
||||||
|
|
|||||||
Варьируя n o U C IC O U JU |
п а р а м е т р а м ^ п о л у ч и м |
с о о т в е т с т в у ю |
|
щую о ю т е ы у у р а в н е н и й |
р а в н о в е с и я , к о т о р а я б у д е т |
с о д е р ж а т ь |
|
о ч е в и д н о е с о о тн о ш е н и е |
|
|
|
© = ! ( |
а и _ ™ Л |
(3.81 ) |
|
1 |
2VdY |
||
РАСЧЕТ ПЛАСТИН И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК, ПОДКРЕПЛЕННЫХ РЕБРАМИ УБОГ ЮСЕ Г
Л . Исходные предпосылки ч
Рассмотри», пологую оболочку, подкрепленную ребрами жвес кости (рио,15).
Рио. 15
Для ребер считаем применимой теорию стеркне! Кирсгофа - Клебва и будем учитывать жесткость ребер в плоскости, нормаль ной к срединной поверхности оболочки. Нагибными жесткостями ребер в плоскости, касательной к срединной поверхности оболоч ки, будем пренебрегать. Одна на главных осей инерции попереч - ных сечений ребер перпендикулярна срединной поверхности оболоч ки.
Положение оболочки может быть определено значениями хрск независимых параметров сцг/.иУ в каждой точке. Эти парамет ры представляют собой перемещения точек срединной поверхиооте пластипы или оболочки вдоль кофДннатлых осей.
При вксцентричном расположении пебер перемещения-точек
оси ребра а |
-го направления связаны с независжлми парветр а |
ми условиями |
неразрывности деформаций. |
^(чл e |
|
l o t a s * |
0 . 2 ) |
* |
v - |
. |
(3 .3 ) |
du> |
a u 0 |
do) |
du)o |
a rt ** а л » a s = a s
■ доподнитедьвыын умениями.
Ч.ч * - ULCo&(a,^ + >1Со$Сл.У),
tfolS =»-U.CO£(a,Y)+ \УСоз(а,х)
Здесь |
- |
экоцентпкситет оои а |
-го ребра по отно- |
|
|
|
■онао к. срединной поверхности; |
||
ц, Л. |
u3L - |
перемещения точек оси ребра в системе ко- |
||
|
|
0рДВНа? a © S |
(рко. |
16); |
|
|
перемещения точек |
срединной поверхности |
|
'1 ободочки иди пдаотины в системе коордп -
•нет a o s
Перемещения точек поперечного сечения ребра по высоте будут определяться зависимостью
a p - u o ^ - i I l T - о - г ^ . |
|
(3 .5) |
||
|
|
|
|
|
Деформации же элемечтов ребра будут равны |
|
|||
6,Р |
йп |
*1 э а г ^ |
» |
(3.6) |
<Р - |
кривизна оси ребра жесткости; |
|
|
|
- |
Бксцентриситет бои ребра по отвожена к навей |
|||
1 |
поверхности элементе. |
|
|
|
|
|
|
||
§2. Построение матрицы жесткости еле*мента пологой оболочки,подкрепленной ребрами
жесткости
%■ формировании матриц жееткоотн элементов будем пред полагать, что ребра жесткости окаймляют рассматриваемый злемент. Количество вс по периметру элемента может быть различ ным: от нуля для неподкрепленюго елемента, до четырех - для
^че тырехуголъпого' елемента. подкрепленного по каждой крике. Элементы матрицы жесткооти определи..гоя, исходя из условия экстремальности потенциальной энергии но параметрам ашрокс»- ынрулщк ПОЛИНОМОВ
+ |
Ь* |
* |
i |
v e ( & p- % - |
|
где |
приняты следующие |
о |
|
V - S i l L - |
, |
|
|
tt |
l-J4 r* » |
12 r t f |
|
|
|
|
(3.21) |
" * i2 I>* ' |
ч Лу*" |
^22'“ \2®*г |
|
|
Следует заметить, |
то матрицу яе^ткооти целесообразно |
|
отрои? как сушу матриц неподкрапленного элемента и подкреп лявших ребер. 14>и этом для построения матрицы жесткости под креплявшие элементов можно воспользоваться матрицей жесткости
иэолфованногс элемента, |
произвольно рас полленного в плоскос |
ти v У. Учитывая условия |
совместности я обобщенных перемещениях |
можно легко перестроить матрицу изолированного элшента в мат рицу жесткости элемента, однозначно ориентированного э преде лак элемента. 06 этой причине в этом параграфе будем строить матрицу жесткости одного подкреплявшего ребра с учетом взаимо действия его с элементом оболочки. Матрица жесткости элемента оболочки легко строится автоматически по методике, предложен
ие! |
выше. |
|
|
|
|
|
П'тенциальная энергия ребра с учетом совместности в обоб |
||||
щенных перемещениях |
ребра |
к элемента оболочки имеет вид |
|||
|
пf |
|
|
|
V |
|
С |
|
|
|
(3.22) |
|
|
+ Ь |
^ tt uq + |
ч,*) 1 ^ ^ • |
|
где |
*3 = 3 |
F |
- |
момент |
инерции ребра относительно |
|
|
|
|
точки соединения с элементом обо |
|
|
|
|
|
лочки. |
|
|
Црмнямаем следующие |
илпрокекмноугщие полиномы: |
|||
I. Для тангенциальных о носительных перемещений __ (Цж-Цг) Хлг+Ф ь-Ц рУ»
at " |
е*Р |
+ |