книги / Математическое моделирование процессов механической обработки

Таким образом,

Mc – оригинал,

Rвр

I UR – аналог.

2. Основное уравнение динамики твердого тела

где J – момент инерции вращающегося элемента, кг∙м2; М – крутящий момент, Н м; J – аналог электрической емкости С.

Момент инерции представляет собой постоянную по времени величину, характеризующую пассивный элемент, обладающий инерцией, в котором накапливается кинематическая энергия вращательного движения.

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси называется физическая величина J , равная сумме произведений массы каждой из n материальных точек системы на квадрат их расстояния до оси. Момент инерции механической системы относительно неподвижной оси α определяется по следующей формуле:

где dm D dV – масса малого элемента объема тела dV; ρ – расстояние от центра масс механической системы до оси α, м; D – плотность, кг/м3.

Таким образом,

M J ddt – оригинал;

I C dUdt – аналог.

11

3. Уравнение деформации при кручении бруса с круглым поперечным сечением

где G – модуль сдвига, Н/м2; J – полярный момент инерции сечения бруса, м4; ddl – относительный угол закручивания бруса, рад/м.

Если рассматривать брус конечной длины, то

где – угол закручивания – угол относительного поворота концевых сечений участка, рад; l – длина деформируемого участка, м.

Продифференцируем обе части уравнения деформации при кручении (7) по времени t:

12

Аналогичное уравнение можно получить для спиральной пружины:

где С – жесткость пружины, (Н м)/рад.

Продифференцируем обе части данного уравнения (10) по времени и выразим ω, при этом получим

Lвр dMdt ,

где Lвр C1 – крутильная податливость пружины, рад/(Н м).

Таким образом, в системе электромеханической аналогии устанавливаются следующие соответствия между механическими и электрическими величинами:

1.1.3. Механическая поступательная подсистема

Основными (базисными) характеристиками процессов, протекающих в механической поступательной системе, являются сила F и скорость V, а также параметры системы: масса m, продольная податливость Lм, сопротивление трения Rм.

Фазовые переменные: силы F и скорости V являются соответственно аналогами токов I и напряжений U по принятой системе электромеханической аналогии. Запишем уравнения для трех типов простейших элементов.

13

1. Уравнение вязкого сопротивления трения

c RM

где Fc – продольная сила трения, Н; V – скорость продольного перемещения тела, м/с; RM 1k – аналог электрического сопро-

тивления, м/(Н с); k – коэффициент вязкого сопротивления трения. Таким образом,

Fc V – оригинал,

RM

I UR – аналог.

2. Уравнение массы (второй закон Ньютона)

m – масса элемента, кг, – аналог электрической емкости С.

Масса – пассивный элемент механической системы, препятствующий изменению скорости движения и накапливающий кинетическую энергию движения. Кинетическая энергия массы увеличивается при увеличении ее линейной скорости, то есть при наличии линейного ускорения.

Таким образом,

F m dVdt – оригинал,

14

где k – жесткость пружины, Н/м; x – перемещение (рабочий ход) пружины, м.

Продифференцируем обе части уравнения (13) по времени:

dFdt k V .

Выразим скорость V:

где LM 1k – величина, обратная жесткости, или коэффициент по-

датливости пружины, м/Н, – аналог электрической индуктивности L. Таким образом, получаем

V LM dFdt – оригинал,

U L dIdt – аналог.

Аналогичное компонентное уравнение можно получить из закона Гука для элемента, у которого учитывается сжимаемость (растягиваемость):

где – напряжение на элементе, Н/м2; Е – модуль продольной упругости, Н/м2; l – длина элемента, м; l – абсолютное изменение длины элемента, м.

Умножим обе части уравнения (15) на S – площадь поперечного сечения элемента:

15

Продифференцируем обе части уравнения (15) по времени t:

При этом следует учесть, что:S F – продольная сила;

d l V – скорость перемещения тела. dt

Тогда получим

са), м/Н – аналог электрической индуктивности L.

Упругость – пассивный элемент механической системы с неизменяемой во времени податливостью, препятствующий изменению нагрузки, в котором накапливается потенциальная энергия.

В системе электромеханической аналогии устанавливаются следующие соответствия между механическими и электрическими величинами:

1.1.4. Гидравлическая (пневматическая) подсистема

Фазовыми переменными в этой подсистеме являются массовые расходы Qm и давления Р, соответственно аналоги токов I и напряжений U. Запишем уравнение трех простейших элементов.

16

1. Уравнение участка трубопровода при стационарном ламинарном течении жидкости

где Рп – потери давления жидкости в трубопроводе определенной длины l и диаметра d, Н/м2; Qm – массовый расход жидкости, кг/с,

где V – скорость течения жидкости по трубопроводу, м/с; S – площадь поперечного сечения трубопровода, м2; ρ – плотность жидкости, кг/м3; Rг – гидравлическое сопротивление трубопровода – аналог электрического сопротивления, 1/(м с),

где v – кинематическая вязкость жидкости, м2/с; l – длина трубопровода, м; d – диаметр трубопровода, м.

Таким образом,

Pп Rг Qm – оригинал,

UI R – аналог.

2.Уравнение сжимаемости жидкости в некотором объеме при воздействии давления Р

где S – площадь сосуда, м2; l – изменение высоты столба жидкости, м.

17

Перепишем уравнение (20), с учетом выражения (21):

гидравлическая емкость, аналог электрической емкости С, м c2.

3. Уравнение Эйлера (закон движения идеальной жидкости)

Если рассмотреть участок трубопровода длиной l с давле-

ниями на концах P1и Р2, то при замене производной dPdx первой разностью получим

18

Для получения в левой части уравнения массового расхода умножим обе части уравнения (26) на ρ∙S:

где Lг Sl – аналог электрической индуктивности, 1/м.

Таким образом,

dQ

P Lг m – оригинал, dt

U L dIdt – аналог.

Закон движения реальной жидкости описывается уравнением Навье-Стокса, которое для одномерного случая имеет следующий вид:

где Gм – массовые силы, кг; v – кинематическая вязкость, м2/с.

Выделяя участок трубопровода и считая, что dVdx a const,

получим, что участок может быть представлен гидравлическим сопротивлением и индуктивностью (массовыми силами пренебрегаем).

19

Таким образом,

В системе электрогидравлической аналогии устанавливаются следующие соответствия между гидравлическими (пневматическими) и электрическими величинами:

20