книги / Математическое моделирование процессов механической обработки

Первое слагаемое правой части при подстановке верхнего и нижнего пределов обращается в нуль. При подстановке верхнего предела нуль получается за счет ранее наложенного ограничения на функцию ƒ(t): функция ƒ(t) если и растет с увеличени-

31

ем t, то все же медленнее, чем растет функция eat, где а – действительная часть p. При подстановке нижнего предела получим

где учтено, что к моменту времени t напряжение на конденсаторе определяется не только током, протекающим через него в интервале времени от 0 до t, но и тем напряжением UC(0), которое на

I p

C p , а изображение постоянной UC есть постоянная, деленная

на p: UC 0 . Поэтому изображение напряжения на конденсаторе p

записывается следующим образом:

32

Закон Ома в операторной форме Внутренние ЭДС

На рис. 6 изображена часть сложной разветвленной электрической цепи. Между узлами a и B включена ветвь, содержащая R, L, С и источник ЭДС е(t). Ток в ветви обозначим i. Замыкание ключа K приводит к переходному процессу, при котором баланс напряжений можно выразить так:

UaB UR UL UC e t .

Рис. 6. Электрическая цепь

Выражение перепишем с учетом свойств отдельных элементов:

UL L dtdi ;

Применим к полученному уравнению преобразование Лапласа. Оно является линейным, поэтому изображение суммы равно сумме изображений.

33

Каждое слагаемое заменим операторным изображением (рис. 7).

Рис. 7. Операторная схема замещения электрической цепи

Смысл приведенного преобразования состоит в том, что вместо дифференциального уравнения получим алгебраическое уравнение, связывающее изображение тока I(p) с изображением ЭДС Е(p) и изображением UаB(p):

цепи между точками а и B.

34

Полученное уравнение называют законом Ома в операторной форме для участка цепи, содержащего ЭДС. Оно записано при ненулевых начальных условиях.

Слагаемое L i 0 представляет собой внутреннюю ЭДС,

обусловленную запасом энергии в магнитном поле индуктивной катушки вследствие протекания через нее тока i(0).

обусловленную запасом энергии в электрическом поле конденсатора вследствие наличия в ней UC(0).

2.3. Последовательность расчета операторным методом

Расчет переходных процессов в любой линейной электрической цепи состоит из следующих основных операций:

1.Выбор положительных направлений потоков в ветвях цепи по эквивалентной электрической схеме.

2.Составление операторной схемы замещения.

3.Составление изображения (по Лапласу) искомых токов и напряжений с используемыми законами Ома и Кирхгофа.

4.Получение выражений для искомых токов и напряжений как функций времени с переходом от их изображения по Лапласу.

Переход от изображения к функции времени

Одним из последних этапов расчета переходных процессов с помощью операторного метода является переход от изображения к функции времени. Эту операцию производят по формуле разложения.

N p

Переход от изображения M p к функции времени произ-

водится с помощью формулы разложения

35

Левая часть формулы разложения является формулой p, правая часть – соответствующей ей функцией времени t.

Пропущенная дробь (отношение полиномов), при условии, что n < m и полином М(p) = 0, не имеет кратных корней, может быть представлена в виде суммы простых дробей:

где pk – корни уравнения М(p) = 0.

Переход от изображения (функции p) к оригиналу (функции t) c помощью формулы разложения основан на том, что изображение представлено в виде суммы простых дробей, а оригиналами их являются показательные функции:

36

стоянными интегрирования дифференциальных уравнений цепи в классическом методе расчета.

Если один из корней уравнений М(p) = 0 есть нулевой корень (p = 0), то ему в правой части уравнения (формулы разложения) соответствует слагаемое

Это слагаемое представляет собой составляющую искомого тока (напряжения), обусловленную постоянными вынуждающими силами. Если их нет в схеме, то

N 0 0.

M 0

К формуле разложения необходимо сделать следующие замечания:

1. Формула разложения применима при любых начальных условиях и при любых практически встречающихся формах напряжений источника ЭДС или тока, действующих на систему.

2. Если начальные условия не нулевые, то в состав N(p) войдут внутренние ЭДС.

3. Если уравнение M(p) = 0 имеет комплексно сопряженные корни, то слагаемые, соответствующие им в формуле разложения, оказываются также комплексно-сопряженными и в сумме дают действительные слагаемые.

Параметры переходного процесса

Под переходными процессами понимают процессы перехода от одного режима работы объекта к другому, чем-либо отличающемуся от предыдущего. Переходные процессы в механических системах могут выражаться в следующем:

37

1.Изменение режима работы привода таким образом, что из состояния неподвижного происходит переход в состояние движения без нагрузки – «пуск» механизма.

2.Перевод работы привода с ускоренного хода на рабочий без нагрузки – «переключение» привода.

3.Перевод работы привода с рабочего хода без нагрузки к рабочему ходу с нагрузкой, изменяющийся по какому-либо закону.

Переходные процессы вызываются коммутацией в цепи. Коммутация – процесс замыкания или размыкания выключателей.

Переходные процессы являются относительно быстро протекающими, тем не менее изучение переходных процессов важно, так как дает возможность установить следующие показатели работы системы, в частности привода станка (рис. 8).

tп

Рис. 8. График переходного процесса

1.Длительность переходного процесса tп – интервал времени

смомента подачи входного сигнала до момента окончания переходного процесса.

2.Перерегулирование ,

38

3. Статистическую ошибку – отношение разности между заданным yз и установившимся ууст значениями регулируемого параметра к установившемуся ууст.

4. Частоту колебаний в переходном процессе: определяется число колебаний регулируемого параметра за время переходного процесса; обычно = 1,5…2.

39

3.ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СХЕМЫ НЕКОТОРЫХ СТАНОЧНЫХ МЕХАНИЗМОВ

Вращательная механическая система

Вариант кинематической схемы привода главного движения металлорежущего станка приведен на рис. 9. Необходимым этапом построения эквивалентной электрической схемы является построение механической цепи моделируемой станочной системы. Для этого в моделируемом объекте выделяются сосредоточенные массы (моменты инерции масс), которые нужно учесть в модели. Далее выделяются фрикционные и другие элементы конструкции. Фрикционные элементы включаются между контактирующими телами и конструктивными элементами; элементы упругости включаются между телами, соединенными упругими связями.

Рис. 9. Кинематическая схема привода главного движения

Внешние усилия, прикладываемые к механическим системам, отображаются включением источников скоростей (угловых скоростей) или сил (крутящих моментов). Механическая цепь привода главного движения, составленная по кинематической

40