книги / Математическое моделирование процессов механической обработки

2. АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СХЕМ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

Для получения математической модели достаточно сложного технического объекта, например металлорежущего станка, состоящего из нескольких физических подсистем (механических, гидравлических), необходимо

1)выделить в объекте однородные физические подсистемы;

2)получить эквивалентные электрические схемы каждой из подсистем;

3)установить связи между подсистемами;

4)получить математическую модель технической системы операторным методом теории линейных электрических цепей.

В эквивалентной электрической схеме отражаются те элементы и свойства реального объекта, которые оказывают существенное влияние на функционирование объекта. Какими эффектами пренебречь, решается на основе опыта и интуиции исследователя. Поэтому процедура составления эквивалентной электрической схемы не может быть полностью формализована.

При составлении эквивалентных электрических схем объектов исследования будем использовать обозначения отдельных элементов или звеньев (ветвей) (рис. 1).

Рис. 1. Звенья электрических цепей

Ветвям типа Е соответствует компонентное уравнение Е = f(z), где в качестве z могут фигурировать независимая переменная t, фазовые переменные, константы.

21

Е – разность переменных типа потенциалов для узлов этой ветви – источник ЭДС.

Ветви типа С (емкость) – компонентное уравнение I C dUdt .

Ветви типа R (сопротивление) – компонентное уравнение I UR .

Ветви типа L (индуктивность) – компонентное уравнение

U L dIdt .

Ветви типа I – компонентное уравнение I = f(z), где z – аргумент такой же, как у ветви типа E.

2.1. Соединение элементов

Для составления электрической модели (электрической цепи) из сосредоточенных параметров – аналога какой-либо механической или другой системы – необходимо иметь либо систему уравнений механической цепи, либо составленную механическую цепь из сосредоточенных элементов трения, податливости, массы.

В том понимании, как это принято в электротехнике, в механике цепей не существует. Однако введение такого понятия позволяет механику значительно упростить рассмотрение многих сложных динамических задач, встречающихся в машиностроении. Подобные цепи представляют собой условную взаимосвязь между носителями механической энергии.

Под механической цепью будем подразумевать совокупность активных и пассивных элементов, составляющих динамическую систему и условно связанных между собой линиями взаимного влияния сил и скоростей (моментов, угловых скоростей), возникающих в результате внешнего воздействия.

Действие силы или крутящего момента на тело во время его поступательного или вращательного движения вызывает различные результаты. Причина в том, что это тело может вести себя по-разному: как масса (инерция), сопротивление или упругость, и показывать, таким образом, три различных формы явлений.

22

Вфизически осуществимой механической динамической системе весьма сложно рассматривать массу, наделенную свойствами упругости и сопротивления, упругость, наделенную свойствами массы и сопротивления, и сопротивление, наделенное свойствами массы и упругости.

Втеории и практике применяется гипотеза, согласно которой механическая динамическая система упрощается и в ней рассматриваются идеализированные сосредоточенные элементы системы. Под сосредоточенным элементом понимают абстрагированный предел реальной системы при бесконечном уменьшении влияния прочих свойств системы. Условное обозначение этих элементов приведено на рис. 2.

J

Рис. 2. Звенья механических цепей

Из физики известно, что каждый активный или пассивный элементы цепи являются двухполюсниками; это особенно явно выражено для элементов упругости и сопротивления; что касается элемента массы, то это свойство выражено не явно, так как вторым полюсом является замыкание «на землю» из-за гравитационного притяжения.

Известно, что элементы, из которых состоят электрические цепи, могут быть соединены последовательно, параллельно или смешанно. В механических системах движение может происходить в трех взаимно перпендикулярных направлениях. При составлении схемы механической цепи следует иметь в виду, что элементы масс могут быть включены только параллельно, так как один их конец присоединен к неподвижной точке (земле). Элементы трения и упругости могут быть соединены произвольным образом. Сущность построения цепи по заданной динамической

23

схеме заключается в следующем: каждая динамическая схема представляет собой закономерное соединение ее составляющих пассивных и активных элементов, каждый элемент обладает двумя полюсами; для упругостей и сопротивлений они выглядят явно, а для массы только один полюс выглядит неявно, а второй нужно представить, соединив эту массу с неподвижной поверхностью, к которой присоединена динамическая система; полюсы различных элементов, которые движутся совместно, соединяются между собой; полюсы различных элементов, которые остаются неподвижными, соединяются с неподвижной поверхностью.

Классическим примером системы с одной степенью свободы являются груз, подвешенный на пружине (рис. 3). Источником механической силы F, сдвигающей груз в вертикальной плоскости, является электромагнит. Схема механической цепи будет иметь вид, приведенный на рис. 4.

Рис. 3. Схема груза на пружине

Рис. 4. Механическая цепь

24

Электрическая цепь, эквивалентная данной механической цепи, состоит из параллельно включенных элементов R, L, C, находящихся под воздействием источника тока I, как показано на рис. 5. Таким образом, электрическая цепь аналогична механической цепи системы.

Рис. 5. Эквивалентная электрическая схема

Главная трудность моделирования механических систем из пассивных элементов заключается в составлении механической цепи. А как только составлена механическая цепь системы, так сейчас же можно автоматически составить электрическую эквивалентную схему – электрическую модель.

Для составления электрических цепей сложных динамических систем, состоящих из большого числа упругих, инерционных и фрикционных элементов, соединенных в виде цепочек из этих элементов (цепочные системы) или содержащих несколько ветвей из таких цепочек (разветвление схемы), целесообразно применять метод четырехполюсников. Метод четырехполюсников дает возможность единого подхода к решению задачи при продольных и крутильных перемещениях. Можно представить, что модель составляется из отдельных элементов четырехполюсников так же, как составляется из элементов-звеньев исходная система. При этом каждый элемент исходной механической системы замещается элементом электрической модели – четырехполюсником, воспроизводящим связи между силами и динамическими перемещениями на концах.

Уместно напомнить, что четырехполюсниками являются электрические цепи, имеющие две пары выводимых зажимов (полюсов), при этом протекающие через них токи попарно равны по величине и противоположны по направлениям.

25

Вточках сопряжения пассивных четырехполюсников, замещающих элементы механической системы, включаются источники напряжения и тока, соответствующие приложению внешних сил. Из четырехполюсников, замещающих отдельные элементы механической цепи, составляется электрическая модель динамической системы в целом.

Втаблице показаны схемы замещения (четырехполюсники) для большого числа возможных элементов – звеньев упругих механических станочных систем при кручении и растяжении (сжатии) этих элементов-звеньев.

Схемы замещения элементов упругих механических систем по методу электромеханической аналогии

26

27

2.2. Описание моделей операторным методом теории электрических цепей

Операторный метод основан на использовании понятия об изображении функции времени. В операторном методе каждой функции времени t соответствует функция новой переменной, обозначаемой буквой p, и наоборот – функции переменной p от-

вечает определенная функция времени t. Переход от функции времени t к функции p осуществляется с помощью прямого преобразования Лапласа.

Операторный метод расчета электрических цепей (переходных процессов в них, в частности) позволяет свести операцию дифференцирования к умножению, а операцию интегрирования к делению. Это обстоятельство значительно облегчает интегрирование дифференциальных уравнений, поскольку классический способ их решения требует определения из начальных условий постоянных интегрирования, что представляет основную трудность расчета классическим методом.

Преобразование Лапласа

Принято под p понимать комплексное число:

28

Функцию времени (ток, напряжение, ЭДС, заряд и т.п.) обозначают ƒ(t) и называют оригиналом. Ей соответствует функция F(p), которая называется изображением.

Связь между ними выглядит следующим образом:

Соответствие между функциями F(p) и f(t) записывается так

Знак « » называется знаком соответствия.

Если требуется найти изображение функции f(t) = A, где А – постоянная величина, то с этой целью в исходное уравнение связи (30) вместо функции f(t) подставляют А и проводят интегрирование:

29

Интегрирование произведем по частям:

при t = 0. Следовательно,

30