книги / Составление дифференциальных уравнений при решении технических задач
..pdfОткуда
осу = 2у. |
(4 ) |
Таким образом, получили дифференциальное уравнение пер вого порядка с разделяющимися переменными, удовлетворяю
щее условиям задачи. Проинтегрируем уравнение (4 ) :
f |
Ÿ |
~ |
2 |
|
|
|
& иi ^ = 2 Ù |
i x + -бгС |
||
Откуда |
|
у |
= С Х 2, |
|
|
|
|
|||
где |
С |
|
- произвольная постоянная. Следовательно, ус |
|||||||
ловию задачи удовлетворяет семейство парабол, проходя |
||||||||||
щих через |
начало |
координат. |
|
|
|
|||||
ÿ Задача 3 . |
Стальная |
проволока |
длиной |
^ |
м, с попереч |
|||||
ным сечением |
Ç |
растягивается |
силой, |
постепенно возрас |
||||||
тающей |
до |
величины |
р |
Найти работу |
растяжения. |
|||||
/tnut.LL J_LLj ///it
L
Решение :
Рассматривая достаточно малые дефор мации воспользуемся законом Гука, согласно которому деформации пропор циональны напряжениям.
|
лС __ |
\ |
лр |
|
d . |
е0 ~ |
в |
' у |
(1 ) |
|
При приращениях силы, мало отличаю |
|||
|
щихся |
от |
нуля, приращение функции аС |
|
становится |
близким к значению дифференциала d e |
то |
||
есть при |
Др — d p —►0 |
лС ^ £ |
Тогда |
соотношение (1 ) |
для элементарного акта рас |
тяжения запишем как |
|
|
i i |
- |
l à l |
€0 |
~ Е |
<F |
ИЛИ ^ ~ E § r Ç > d p |
( 2 ) |
Работа |
растяжения на |
элементарном отрезке |
de |
равна |
dA = |
P de |
Здесь полагается |
что |
(3) |
на каж- |
дом элементарном отрезке работа совершается постоянной
ЬИЛОЙе |
|
|
|
|
Вместо d € |
в формулу (3 ) подставим выражение из {2 К |
|||
Тогда |
|
d ^ |
|
(fl) |
|
^ ^ P |
|||
Интегрируя |
( 4 ) , |
получим |
р л+ С, |
|
|
|
|
|
|
где |
С - постоянная интегрирования равна нулю по усло |
|||
вию |
Я = 0 при |
р = |
0 |
|
|
Следовательно, работа растяжения проволоки может |
|||
быть |
подсчитана по формуле |
|||
|
|
А - |
€о |
П2 |
|
|
Z E 9 |
|
|
Задача 4 . Проходя через лес и испытывая сопротивление
деревьев ветер |
теряет |
часть своей скорости. На бесконечно |
|||||
малом пути |
эта |
потеря |
пропорциональна скорости |
в начале |
|||
и длине его . Найти скорость ветра, |
прошедшего в |
лесу |
|||||
150 м, |
зная |
, что до |
вступления в |
лес начальная |
скорость |
||
ветра |
= |
12 |
м /сек , |
после прохождения |
в лесу |
пути |
|
S * |
1 У скорость ветра уменьшалась до |
величины |
|||||
Ц = |
11 вВ ы /сек в |
|
|
|
|
||
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
Пусть на расстоянии |
S |
от |
||
|
|
начала |
леса |
скорость ветра |
||
|
|
IÇ |
а потеря скорости^а |
|||
|
|
участке |
â 5 |
|
При |
|
|
|
л 5 - J 5 -+О |
с достаточной |
|||
|
|
ТОЧНОСТЬЮ |
= d v |
|
||
|
|
Потеря |
скорости на |
бесконеч |
||
|
|
но малой участке леса пропор- |
||||
циональна |
IT |
На основании условия задачи |
можно |
|||
составить |
соотношение: |
|
|
|
|
|
|
- d v - /cirdS |
|
U ) |
|
|
|
Разделив переменные в (1 ) и проинтегрировав, получим
4k v -- KS + fn
ir=ce-K S
Воспользуемся начальным условием |
1/ = 1% |
при |
|
для определения |
постоянной интегрирования |
С |
|
Закон изменения |
скорости ветра в |
лесу: |
|
|
-& S |
|
|
|
v = i r e |
|
( 2 ) |
с
S = о
: c - i c
Коэффициент пропорциональности К находим из допол нительных условии ZÇ = 11,8 м/сек при S =* 1 и. Следовательно,
|
р К- Ъ |
_ 11,2 _ |
0,98 3 |
||
Ч - К е |
С |
К |
12 |
= |
|
Подставив числовые |
значения в |
уравнение |
( 2 ) , |
находим, |
|
что скорость ветра, прошедшего в лесу 150 м будет |
рав |
|
на |
|
|
V = |
12 ( 0 .9 8 3 )150 « 12 • 0,0776 « 0 , 9 3 |
м /сек |
Подобным же |
образом , можно рассматривать задачу о |
|
характере изменения скорости rasa, жидкости в пористой среде.
Задача 5 . На твердую пробку, находящуюся в канале, действует давление. Сопротивление движению пробки оказы вается трением её поверхности о стенки канала. Опреде лить закон изменения давления на пробку по её высоте.
|
Решение: |
|
|
Сила, |
перемещающая пробку |
равна |
|
[(p + a p j-p ] $ |
где |
- |
|
площадь пробки. |
Сопротивление |
||
двияениэ пробки |
создается |
тре |
|
нием, которое на очень малой |
|||
длине |
можно выразить соотноше |
||
нием |
Ч/дХ-U |
, где |
|
U - периметр пробки, На оснований закона Ньютона при- |
|||
равниваем действующие и противодействующие силы: |
|
||
<fàP = ï ü - ù X |
При |
заменим |
|
приращения дифференциалами |
|
|
|
f d P = Ï U d x .
Воспользовавшись известным соотношением о пропорциональ ности касательного и нормального напряжений * Г -/с £ /
напишем дифференциальное уравнение |
|
|
|
|
||||||
|
|
ÇdP = KUP<{£ |
|
|
|
(1) |
||||
Разделив переменные |
в |
(1) , |
проинтегрируем |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
и |
& Р ^ |
Х |
+ (пС |
(2 ) |
|
Откуда |
|
р |
= |
Q £ |
* |
|
|
|
|
|
Постоянную |
С |
находим из начального условия: |
Р |
= |
||||||
при |
00=z о* |
С « £ |
Коэффициент пропорциональности К. |
|||||||
находим на основании дополнительного условия |
р = |Э |
|||||||||
при |
X - Н |
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
||
Р = Р 0 € |
,где Х=Н |
Откуда |
к |
- $ |
ц |
& § |
||||
Таким |
образом, |
закон изменения давления по высоте пробки |
||||||||
выражается формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|||
р = р „ |
|
|
|
, |
где |
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
Р0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К подобной задаче, в частности, сводится задача опреде |
||||||||||
ления закона распределения давления брикета на стенки |
||||||||||
прессового |
канала. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача 6 . Истечение жидкости из сосуда. Сосуд, площадь поперечного сечения которого есть известная функция высоты,
S- 5(A) , наполнен жидкостью до уровня Н . В дне со
суда имеется отверстие площади СО |
, через |
которое |
жидкость |
|||||
вытекае!г. |
Определить время t |
, за |
которое |
уровень жид |
||||
кости понизится |
от начального |
положения Н |
до произ |
|||||
вольного |
Я |
и время |
t~ полного |
опорожнения |
сосуда, |
|||
Гри этом |
считается, что |
скорость |
1Т |
изменения |
коли- |
|||
чества объема жидкости в сосуде является известной функ-
цией V~= Ü (Û ) от уровня ~fl в сосуде.
Решение :
Пусть высота жидкости в сосуде в некоторый момент
времени |
Ь |
равна |
'h . Количество |
жидкости |
d V |
, вы |
||
текшее из |
оосуда |
в |
промежуток |
времени d t |
от момента |
|||
t до t +d b |
можно подсчитать |
как |
объем цилиндра |
с пло |
||||
щадью основания |
W |
й высотой |
|
Таким |
обра |
|||
зом* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d V = W V ( û ) d t |
|
(1 ) |
|
|
|||
Этот же объем жидкости может быть вычислен другим спо собом, Вследствие утечки уровень воды в сосуде понизит
ся на d û . Следовательно,
J V - S ( * ) М
Знак минус поставлен потому» что |
art < О |
Приравнивая |
Друг Другу оба выражения для d V |
составим |
дифферен |
циальное уравнение |
|
|
w V fA )d t = - S (fijd A |
(3 ) |
|
Разделив переменные в (3 ) , получим
л — Щ « м
^V "(h)
Омуда
trM Шт л
4. _ Х I SW Jj,
v(h)dh
Бели истечение происходит через малое отверстие, т о ,
согласно, закону Торичелли, IT—М у2 ÿ Л |
где |
£ - ускорение силы тяжести, a |
yll |
- |
эмпирический |
||||||||||
коэффициент ( коэффициент расхода). |
|
|
|
|
|
||||||||
Задача 7 »Определить |
время опорожнения |
заполненной керо |
|||||||||||
сином цистерны, |
имеющей длину |
£ |
и диаметр |
d |
, черев |
||||||||
короткий сливной патрубок, площадь поперечного сеченйя |
|||||||||||||
которого |
(JÜ |
(р и с .)* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Переменная |
S (А) |
площади |
||||
|
|
|
|
|
|
|
зеркала нефтепродукта |
оп |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
ределяется |
по форцуле |
|
||||
|
|
|
|
|
|
S(A)-2 |
|
|
|
|
= |
||
|
|
|
|
|
|
J |
и ПОТОМУ |
|
2 |
|
|
||
|
|
T — |
|
( №-А)А ^ |
- zi.аЛГ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J GÜ/ Г Щ |
|
|||
В частности, |
при |
£ |
= 12 |
м, |
d = |
2,6 |
м, |
ÜÜ = 0,01 |
|||||
и коэффициенте расхода |
ytt^ 0 ,6 |
имеем |
|
|
|
|
|
||||||
|
, |
4 -1 2 -2 ,6 |
{г Ж |
|
= 2520 сек ^ 42 мий |
||||||||
|
|
3 -0 ,0 1 |
• 0,6 |
|
|
||||||||
|
|
/1 9 ,6 2 * |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Ответ: Время |
опорожнения цистерны равно |
|||||||||
|
|
|
|
|
42 |
мин. |
|
|
|
|
|
|
|
Задача 8. На дне цилиндрического |
резервуара |
, |
напол |
||||||||||
ненного |
жидкостью образовалась щель (р и с .) |
ч Принимая |
|||||||||||
скорость истечения жидкости пропорциональной высоте её |
|||||||||||||
уровня и зная |
что |
в |
течение |
первых суток |
вытекло |
10^ |
|||||||
содержимого, |
определить, |
сколько |
времени потребуется! |
||||||||||
чтобы И8 |
сосуда вытекла половина |
жидкости. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
R - |
радиус |
резервуара, |
|
||||||
|
|
|
| _ ы |
А - |
его высота, |
|
|
|
||||||
- |
|
|
X - |
высота |
уровня жидкос |
|||||||||
|
|
------- |
t=r. |
|||||||||||
— |
|
|
1 |
|
ти в резервуаре |
через |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
Ь дней. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
------- -------------- |
4 |
|
|
Решение: |
|
|
|
|
||||||
Объем жидкости в |
момент |
t |
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
||||||||||
|
|
\ т яь |
|
равен |
a a fx |
а |
скорость |
из |
||||||
|
|
|
менения |
объема |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
По условию задачи эта величина пропорциональна |
ос |
. Сле |
||||||||||||
довательно, |
дифференциальное уравнение задачи |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Ж R 2 j f = / с Х |
|
|
|
|
( 1 ) |
|
|
|||||
где /С |
- |
коэффициент пропорциональности. |
Разделив |
пере- |
||||||||||
пенные |
в |
(1 ) |
0 ^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
и ватем проинтегрировав, |
полу |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
чим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 [ R % x |
= K t + С |
|
|
|
|
( 2 ) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Согласно начальному условию, при |
t |
= 0 |
резервуар пол |
|||||||||||
ностью наполнен, то |
есть |
X - f i |
. Следовательно, |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Ж R*€п й = с |
|
|
|
|
|
|
||||
С ученом значения |
С |
из ( 2 ) , |
имеем |
|
7 |
= fit- |
|
|||||||
По дополнительному условию при |
t = 1 |
K = KR .aiïi-fô
интересующего нас случая (X - искомое время
£ = %ks éi | |
{ n i |
к. |
6,57 суток |
£ |
|
|
10 |
Итак , в условиях рассматриваемой задачи для исте чения половины жидкости требуется 6 суток 14 часов. Задача 9 . Вычислить работу которую необходимо затра тить, чтобы выкачать жидкость из сосуда, сечение которого яоляется функцией глубины (р и с).
|
|
|
|
Решение: |
|
|
||
|
|
|
Пусть площадь поперечного се |
|||||
|
|
|
чения |
S f ë ) |
. На глубине |
X |
||
|
|
|
выделим элементарный слой |
тол |
||||
|
|
|
щиной |
Л X |
|
|
|
|
|
|
|
Масса этого |
слоя àïïl = SûXp f |
||||
|
|
|
где р |
- плотность |
жидкости. |
|||
|
|
|
Необходимая |
работа |
для пере |
|||
мещения элементарного слоя |
на высоту |
X |
равна |
|
||||
|
л Л ~ Х |
а !Р |
# где |
|
|
|
|
|
с . » |
„ е р е ш * * , |
|
|
ТУШ», |
„ « P * , » , |
|
||
а Я |
= х &$г= a:ÿütn=xj)ÿ. S(X) A X = )fx S(X ) A X |
|
||||||
1:ри |
ù x = d x - * o |
можно допустить равенство &A~dJI. |
||||||
Тогда |
Дифференциальное уравнение |
примет вид |
|
|
||||
d A = У X S(x)dcc
интегрируя уравнение (1 ) и используя дополнительные
условия задачи, находим величину работы.
Задача 10 .Найта работу, затраченную на выкачивание воды
из |
корыта, имеющего форцу полуцилиндра, Дйина которого |
||
£ |
, радиус Ъ (р и с .) |
|
|
|
|
Решение: |
|
|
Воспользуемся формулой |
( 1 ) , пре |
|
|
дыдущей задачи |
|
|
|
d A =yxS (x)c/x |
|
|
|
S(X) |
в нашей задаче |
равно |
|
f y f r ) . |
где £ = / т й- Х г |
|
|
Таким |
образом, |
|
|
d A = y x £ ^ - x Fd x |
(1 ) |
|
Интегрируем уравнение (1 ) в пределах изменения
и 04CL&JI Тогда
Я - f k ? |
[ | ( г - х * ) 1 ] = | т |
3 |
||
|
|
Ответ: |
|
|
Задача 11 . При установившемся ламинарном течении жидкос |
||||
ти черед |
трубу |
круглого сечения радиуса R. |
скорость |
тече |
ния V" в |
слое |
находящемся на расстоянии |
Ъ от оси |
|
трубы, дается формулой
Р - разность |
давлений жидкости |
на |
концах |
трубы, |
|
JU- вязкость |
жидкости, |
£ ~ Длина |
трубы. |
||
Определить расход жидкости |
Q |
то |
есть |
количество |
|