книги / Составление дифференциальных уравнений при решении технических задач
..pdfизвестно значение |
прочности |
при другой высо |
те брикета Н -Н 2 |
Тогда |
|
|
|
|
|
б^в,е |
' |
0 |
|
|
|
|
|
0 . W |
|
|
|
J _ |
, |
е , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(HfH,) |
|
% |
|
и , следовательно» |
|||
закон изменения прочности бркпстов с увеличением их вы |
|||||||||||
соты |
определяется формулой |
н-н, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
значений |
6 ^ - 4 0 |
кг/см2 при |
Н4* 2 см и |
|
||||||
б> = |
20 |
кг/см 2 |
при |
/£ = 4 |
ем находим, что |
|
|
||||
0 = W t |
|
|
Для |
А/ * 6 см прочность брикетов рав |
|||||||
на |
б " |
» 40 |
£ |
/0 |
кг/см 2 . |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
прй |
Н * 6 см |
б |
- |
10кг/сь? |
Задача |
19, |
В помещении цеха, |
вместимостью 10800 |
|
|Р, |
||||||
воздух |
содержит 0,12# углекислой» |
Вентиляторы доставля |
|||||||||
ют свежий воздух, |
содержащий 0 ,0 4 # |
у Ыт кисЛоты* |
в |
Ко |
|||||||
личестве |
й |
» ? fl |
минуту* ПредНолагВя é что |
конЦеНТра-* |
|||||||
ция углекислоты во Всех чаетйх помещений В каздкй МоМейт времени одна и та же (смешаййе чиетбгЬ и ваоряВнейНоРо воздуха происходит немедленно), рассчитаем, какова долж на быть мощность вентилятора, чтобы по иИтечении 10 мин. содержание углекислоты не превышало 0,06# .
Решение :
Пусть концентрация углекислоты в всэдухе в момент
времени Ь равна £, %. |
Составим за промежуток времени |
d t %протекший от момента |
~Ь , баланс углекислоты, |
находящейся в помещении. За это Время вентиляторы доста
вили 0*0004 a d |
t t |
углекислоты, |
а ушло из |
помещения |
0,01 X a d t $ |
углекислоты. Следовательно, |
sa d t ми |
||
нут количество углекислоты в воздухе уменьшилось на |
||||
(0*01 X |
- 0*0004)b d t |
Обозначим |
Через d x |
|
процентное уменьшение содержаний углекислоты в воздухе.
Другим nÿTexîi |
количество |
углекислоты |
dÿ |
можно подсчи |
||||||||||
тать по формуле |
|
|
|
» - |
1О800 |
OjOi -d x |
,ip |
|
||||||
( ВНак миНус вайт потому, |
что d t c |
|
0 ), |
Приравнивая |
друг |
|||||||||
другу оба выражения для |
d<j |
* |
получим дифференциальное |
|||||||||||
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0,01 |
X - |
0 ,0 0 0 4 )0 ^ = |
- |
10800 ■ O. Olofo |
(1) |
||||||||
Разделив |
переменные, получим |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ют |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
f o) |
|
||
|
х-орч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ЙнТегрируем ( 2 ) , |
находив решение |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Х-о,оЧ = с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ТНН как |
X - |
0 ,1 2 при |
t |
= |
0 , |
то |
|
С = 0,08 |
и частный |
|||||
интеграл |
имеет |
вид |
|
|
.а |
£ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ЗЦ -0^^О }О9 £ |
Ю$Ъо |
|
|
|
|
|
( 3 ) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Для определения |
мощности |
Л |
вентиляторов |
положим в |
||||||||||
интеграле |
X |
= 0*06 |
и |
|
t |
= Ю* |
'1огда |
|
|
|
||||
|
|
|
0,02 |
^ 0,08 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Откуда |
|
|
Й =* |
1080 |
|
4 |
^ |
1500 |
м^/мин |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Ответ: Мощность |
вентилятора |
должна |
быть |
||||||||
|
|
|
|
равна 1600 к£/мин* |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Задача 20« |
Пусть |
быстрота |
прироста |
микроорганизмов |
||||||||||||||
пропорциональна |
наличному |
его |
количеству |
X |
|
Перво-* |
||||||||||||
начальное |
количество |
микроорганизмов |
|
было |
Q. |
. Черев |
||||||||||||
час оно удвоилось. Do сколько |
раз |
оно |
увеличится через |
|||||||||||||||
3 часа ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение : |
|
|
|
|
|
|
|
||||
По условию задачи дифференциальное уравнение Процесса |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
d x |
- К X |
|
|
|
( 1 ) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
d t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
К - |
коэффициент |
пропорциональности* |
К>0 |
^ак |
как е |
||||||||||||
Увеличением |
t |
растет |
X и, |
следовательно, |
tfù |
' |
||||||||||||
разделяя |
переменные |
, |
получим |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
Общее |
решеНиё |
(2 ) |
имеет |
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
х ^ с е к± |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ь = 0 , |
||||
Постоянную |
|
С |
|
определяем Ий условия {при |
|
|||||||||||||
Х - а |
|
|
|
|
|
|
кО |
Или |
CL- С |
|
|
|
|
|||||
|
Откуда CL-C€ |
|
|
|
|
|
||||||||||||
иодставляя в общее решение значение |
|
С |
, |
получим |
||||||||||||||
частное |
решение |
задачи |
|
|
|
|
о) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
х = а е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Коэффициент пропорциональности Находим из дополнитель |
||||||||||||||||||
ных условий: |
при |
t |
= |
1 час |
|
X |
« |
2 CL |
|
|
|
|||||||
Отсюда ^Д = Й1?АГ/ |
. или |
|
€ * = £ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Подставляя |
в |
частное |
решение |
|
(3 ) |
значение |
-с |
\ по |
||||||||||
лним |
закон |
рассматриваемой |
задачи: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
х = аё*1= ai*
При |
3 часа, |
8 £ |
Ответ: Количество микроорганизмов через 3 часа увеличится в восемь раз.
Задача 21» Ветер производит равномерное давление р кг/см^ на дверь, ширина которой € см, а высота
fi см. Найти момент силы давления ветра, стремящейся повернуть дверь на петлях.
Решение:
Выделим элементарную площадку шириной j y и, высотой ii
На эту площадку действует сила
л Р ~ р л S ~ p h à ÿ
которая |
создает |
момент |
AJ/ = y A p = ijp -h & y |
||
При àU = dl/~>0 |
от соотнorné |
|
es |
<J |
|
ния в приращениях переходим к
соотношению в дифференциалах:
dAl=piu]d\j, (1)
которое*является дифференциальным уравнением задачи. Интегрируя уравнение ( 1 ) , получим
A - p & f y S y - p & j f l - p t - f
О г
Ответ: Ветер создает момент силы рп. -
- з а -
2 ,2 , Однородные и линейные уравнения
Задача 22, Найти изогональные траектории пучна прямых с центром в начале координат.
Решение:
Изогональными траекториями будут служить кривые,
образующие в каждой своей точке постоянный угол |
оС с |
|||
проходящей черев эту точку прямой |
пучка (р й с ,). |
|
||
Пусть уравнение пучка прямых |
||||
у .= а х : |
положим |
i^ d = K |
||
Обозначим текущие координаты |
||||
точки М |
траектории черев |
|||
( X , у. |
), |
угловой |
коэффи |
|
циент касательной к траектории |
||||
в точке |
М ( |
ОС >ÿ- |
) |
равен |
à
По условию имеем: |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
* |
= |
5 о£ - 7 7 ? |
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
й ' а |
|
|
|
В любой |
точке |
( X , |
jf |
) |
всегда |
а= |
^ |
(из уравнения |
пучка). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому |
4м_ а |
|
|
|
|
|
|
|
|
с,(X |
X |
|
|
ИЛЙ |
4м~ |
у + кх |
( i) |
К= 1+ м4м |
|
|
-Г = |
X - K ÿ |
||||
|
|
|
dx |
|
||||
|
7^ х |
dx |
|
|
|
|
|
|
Уравнение (1 ) |
является дифференциальным однородным |
|||||||
уравнением. Для его решения применим подстановку |
||||||||
^ = и х |
Откуда |
dÿ = |
U d x |
+ х du |
||||
Заменив |
^ и |
dy |
в уравнении (1) |
череэ новую пе |
||||
ременную, получим
x d u - к и 3dx. - кхиdu - к dix=o
или после группировки членов:
x(i-ku)cLu-K(}-m2)dx=o (2 )
В уравнении (2 ) разделим переменные
i.Qz™) d u - d î =п
К (i+u*) |
X |
й |
|
|
я проинтегрируем |
, K fdO+u*)] |
f dx _ п |
||
>[ fJu |
||||
Z [J 1+иг |
I J |
1+ иг |
J - j |
хГ ~ ° |
Откуда
a tctjU + € tiC - вп.Х+7) f!n(HU2}=(!r\xfhU*'l (3 )
U |
, приводам (3 ) к виду |
Учитывая, что ^ ~ х |
£ |
jxa+y? - êtс |
или |
ianctf Зсу |
\)ха+ ^ |
= с |
Последнее уравнение можно преобразовать, исполь зовав полярные координаты Х = J>Ctâ<p ip
Тогда искомая кривая примет вид:
|
|
|
|
|
|
|
£ |
|
|
|
|
|
|
|
? = |
к |
|
|
|
|
|
|
|
с е |
|
|
foflftim |
рз, |
|
Составить уравнение кривой, проходящей че |
|||||
рез |
точку |
А ( Ü , U ) и обладающей |
следующим свойством; |
|||||
если |
в |
любой |
точке |
М { X , ^ |
) кривой с |
ординатой РМ |
||
провести касательную до пересечения с |
осью |
ОУ в точ |
||||||
ке |
Г |
|
то |
площадь |
трапеции |
ОТМР |
есть |
величина |
постоянная равная Û (рис.).
Решение:
Площадь, трапеции определяется по
формуле |
5 = 0 Т + Р.О - ОР |
•t a * |
f l r - ÿ - ï j f ' , Р М - у |
а0Р = Х , to дифференциальной
уравнение задачи имеет вид:
(2у - х у ' ) х =2а3
или |
|
|
ц'-â. U = - |
х г |
(* ) |
3 X 7 |
Это линейное уравнение» Его общее решение находим Ме тодом вариации произвольной постоянней!
„ |
|
№ |
|
б.мк |
|
|
= с е |
= с е |
s & * |
= с х ‘ |
(2) |
||
% с ~ С € |
|
|
||||
Зная общее решение линейного уравнения без правей частя, определяем общее решете уравнения (1) 6 правой частью в
. « * : |
|
. n W M № M U |
, |
уравнение (1) |
, находим |
|
|
|
Ф ) |
з а * |
|
Откуда |
|
|
|
|
° с ( х ) = - 2 а г ‘ |
а <т |
(9) |
|
|
|
|
С учетом выражения (3) общее »»— |
|
э&пи- |
|
» „ „ |
' № |
" “ * У Р *«и «™ (1 ) |
|
? - ~ Н е + с ( г
Подставляя в |
(4 ) начальное |
условие X - Ci |
и |
У~0- |
|
||||||
находим, что |
С = у —- |
, |
и , |
следовательно,уравнение |
|||||||
Искомой кривой имеет вид |
|
£ й 2 |
х 2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
У= Т «£ +з а |
|
|
|
|
|
|
||
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 3 . |
ЗАДАЧИ, ПРИ РЕШЕНИИ КОТОРЫХ НЕОБХОДИМО |
|
|||||||||
|
СОСТАВИТЬ ДИМЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ |
|
|
||||||||
|
ВТОРОГО ПОРЯДКА |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задача 24 Консольная стальная балка длиной |
|
/ = |
б и |
|
|||||||
нагружена сосредоточенной |
силой |
Р = 2 т в точке |
В |
|
|||||||
(р и с .). Найти уравнение упругой |
линии |
(кривой |
изгиба) |
и |
|||||||
определить величину прогиба конца балки (модуль упругос |
|||||||||||
ти Е щ 2100000 к г/сь £ , |
момент |
инерции балки |
|
J « |
30000см4 ) |
||||||
|
|
|
|
Решение : |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Изгибающий момент Ж |
для |
||||||
|
|
|
|
сечения с центром в точ |
|||||||
|
|
|
|
ке У " ( X , у |
) |
равен |
|
||||
|
|
|
|
моменту |
силы |
|
Р отно |
||||
|
|
|
|
сительно |
точки |
-У |
|
||||
|
|
|
|
взятому |
со |
знаком плюс, |
|||||
|
|
|
|
т ,е . |
|
|
|
|
|
|
|
М=р(€-х) (!)
В курсе сопротивления материалов известна формула радиуса кривизны упругой линии для балок любого сече ния
|
n _ £ 2 |
|
где |
fl |
|
||
|
f i - |
M |
|
У |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Обычно |
изгибы |
балок |
настолько |
ш ли, что в любой её точке |
|||
угловой |
коэффициент |
|
du |
мало отличается от |
|||
касательной ^ |
|||||||
нуля и потоку в задачах по рассмотрению упругого про |
|||||||
гиба |
величиной |
у!* пренебрегают. |
|
||||
Таким |
образом, |
и" |
МСх) |
|
|
||
|
|
|
|
|
( 2) |
||
|
|
|
|
® |
Е й |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставляя |
выражение |
(1 ) в уравнение |
( 2 ) , получим диф |
||||
ференциальное уравнение упругой линии в виде |
|||||||
|
|
|
'З х * = Т э ( ^ ~ х ) |
|
(3 ) |
||
Это уравнение |
второго порядка |
типа |
у = £ (х ) |
||||
Решая его непосредственным двукратным интегрированием*
Соответственно |
получаем |
|
|
|
||||
|
fo- |
P |
|
(t-x) |
с |
|
|
|
|
Ш ~ ЕЗ |
3 |
' |
|
|
|||
|
и -JL & |
|
й + С,х+Сл |
|
(4) |
|||
|
? |
ЕЗ |
|
6 |
|
|
|
|
Постоянные |
С, и |
|
сз |
определяем из |
начальных условий |
|||
при |
X - 0 |
|
|
0 |
и |
|
Находим , что |
|
1 ЕЗ 3 |
|
|
|
|
г - |
р |
ег |
|
|
|
|
|
и La~ |
J£ |
6 |
||
Подставляя |
Ç |
|
и |
Q в |
общее решение ( 4 ) , находим ис |
|||
комое |
уравнение |
|
упругой |
линии |
|
|
||
Г т ( * * )
Прогиб балки в точке В находится из формулы (Б) при
Х -£ :
2 - _ Е _ Г / Л ) - Р - / * " ЛЛ£ЕЗ7Ч( ^* 3з ;/- З ЕЗЕЗЭ* -
Подставляя числовые значения условия задачи и приводя их к единой размерности, получим прогиб
р2000 600Э
TL ---------- -----» |
■■■ — - ■& 2 ,3 см |
3 2ЮООСО |
30000 |
Задача 25« Определить 8анон движения материальной части
цы массы |
ÏÏI |
под влиянием силы, направленной |
к центру О |
||||
й прямо пропорциональной уравнению X |
частицы от |
центра |
|||||
притяжения О |
|
(рис) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение : |
|
|
||
|
4 = -а х |
Восстанавливающая |
сила в данной |
||||
|
задаче равна : |
^ -- d X |
, где |
# > 0 |
|||
|
|
|
|||||
|
|
|
а знак минус определяется тем, что с |
||||
|
|
|
увеличением X |
восстанавливающая |
|||
|
|
|
с и т убывает. |
По второму закону |
|||
динамики |
она выражается уравнением |
1/=■ Щ |
сСЬ |
Отсю |
|||
да л^гко получить дифференциальное уравнение движения:
Ш |
|
-- & Х |
или |
> |
(1 ) |
где |
К |
Ci |
Ci - коэффициент восстановления, |
|
|
= PI= |
|
||||
К- частота .
Уравнение (1 ) является однородным линейным 2 -г о порядка. Так как корни характеристического уравнения мнимые, то
общее решение имеет вид:
X=Cf 9ù t K t + С . Ш tc t
или