книги / Составление дифференциальных уравнений при решении технических задач
..pdfВводим вспомогательный угол *р , равный
Ч т=
Тогда x=fây(C0SffÙn.Kt + S n f& S K t)
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
X |
U a ( k t + f ) |
(Э) |
||
Выражение (3) представляет собой гармоническое колеба |
|||||
ние с амплитудой |
А |
и начальной фазой |
♦ Обозначив |
||
период |
колебаний через |
Т |
, можно написать |
||
|
К= ^ |
|
|
U ) |
|
Заменив |
К в (3 ) |
из |
(4 ) |
, окончательно |
получим ответ: |
|
x = Â f û i ( y t + Ÿ j |
|
|||
Задача 26, Найти закон движения материальной точки мас
сы iïl |
по |
прямой |
ОА |
(рис*) под действием отталкивающей |
||
силы, |
обратно пропорциональной третьей степени расстоя |
|||||
ния |
х -о м |
от неподвижнбго центрк |
О |
|||
|
/_ /с |
h |
|
Решение: |
||
О |
Л Дифференциальное |
уравнение движения |
||||
|
||||||
-о — |
|
ms |
|
точки согласно второму закону дина |
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
мики буде Т: |
|
|
|
|
|
|
Ш d t * " * * |
|
|
где |
К - коэффициент пройорциощлэдрстц. |
|||||
Уравнение (1 ) можно представить в |
виде: |
р |
/ |
d i 2~~ т х*~~а |
ï 3 |
Умножим обе части на 2x'ctt : |
|
2 х 'х " o it =2 а г
X 3
Левая часть последнего соотношения есть дифференциал от
х ' 2
Отдуда
х“-йН +0 ~ Н г^ )
или
( 2 )
Разделив переменные в уравнении ( 2)
и проинтегрировав его , получим,
( 3 )
Ответ: Х = ±
Задача 27. Тело массой Ш падает с некоторой высоты со скоростью V .П ри падении тело испытывает сопротивле ние, пропорциональное квадрату скорости . Найти закон движения падающего тела.
|
Решение: |
|
|
В момент времени t |
тело находится |
под действием |
двух |
сил: тяжести и сопротивления среды. |
?ила тяжести |
fl |
|
сила сопротивления |
среды направлена |
в сторону, лротлво- |
|
положную движению, и равна |
KIÏ |
Следовательно, |
равно |
|
действующая этих сил равна |
(т£ -К\У*) |
. С |
другой |
|
стороны, величина сипы, действующей на тело, пропорцио
нальна ускорению движения |
& |
и равна nui |
|
||
Итак, |
|
|
|
( 1) |
|
т а = т у , - к V |
|
|
|||
Если путь, считая от начала |
отсчета, равен S |
то |
|||
скорость ]/= |
, |
и при |
прямолинейном движении |
|
|
|
c L t |
|
|
|
|
равенство |
(1) принимает вид: |
|
|||
|
|
m Ÿ e - mr |
K ( É l |
|
|
( а |
||||
Имеем |
1Г |
Тогда |
d SS |
d V dS — |
|
|
||||
|
CL L |
|
* / з — / л |
/ JL |
V J C- |
|
||||
|
|
|
d i n a r s z |
|
i = v t s |
|
||||
Преобразуем уравнение (2 ) J |
|
|
|
|
|
|
|
|||
ИЛИ |
m f& v -= in < }-K V -s |
|
|
|
|
|
|
|||
m v d ir |
_ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
m g - K V |
(Æ JÛiîC |
|
|
|
|
|
получим |
||
Откуда |
интегрируя |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
) m g - K V l |
|
|
|
|
|
|
|
|
-^.-ùi\mg-Kvs\^ c= |
S |
|
|
(3 ) |
|
||||
Пусть в начальный момент врёмени |
|
t = |
0 |
тело |
находи |
|||||
лось в |
начале |
отсчета |
пути, |
то |
есть |
S |
= 0 ,и начало |
|||
падать с начальной скоростью равной нулю, то есть |
||||||||||
1Г= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставив в уравнение |
(3 ) |
5 |
- |
0 |
и |
2Г= 0 , |
находим |
|||
- f t û i nmi yq -+ C = o
■faким образом,
~ 'Т к ^ 1 \т9 K}r \+ ! u ï & i m fJ = S
или
Так как
Уравнение (4 ) - это уравнение первого порядка, преоб разуемое к виду
(5 )
Разделив переменные (5 ) и проинтегрировав, получим
|
|
[ М |
- Я П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
а . |
о |
Задача 28, |
Определить закон |
двизения |
материальной ч а с |
||||
тицы массы |
/71 |
под влиянием восстанавливающей |
силы |
||||
(силы |
направленной |
к центру |
0 и прямо пропорциональ |
||||
ной |
удалению |
X |
частицы от центра притяжения 0 ) , |
||||
силы |
сопротивления |
и внешней силы f=CfSûi(gt+<fi>) f |
|||||
Кроме восстанавливаю щ ей си
лы |
|
силы с о п р о т и в |
ления |
.пропорц иональн ой |
|
с к о р о с т и |
V |
на ч а с т и |
цу д е й с т в у е т |
внешняя с-^ла |
|
$-С iui(qt +
Равнодействующая всех сил |
,где |
при |
JcAXкЛк |
- |
Т1 |
|Л так1,сопротивление дви;;гению возрастает с увеличением
На основании второго закона динамики получим дифферен циальное уравнение движения ь виде:
£>0> tr
m T P + t j ï + a * = c, * * ( 9 t + 4 i )
ИЛИ
|
|
+К |
с< ^ ( Ф +% ), |
(1 ) |
где |
|
|
О |
|
2С 4a = -m# |
~пг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это неоднородное дифференциальное уравнение второ |
|||
го |
порядка. Решим его для |
случая $ -~К&< 0 |
(случай мало |
|
го сопротивления). Характеристическое уравнение дифферен
циального уравнения |
(1 ) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
ч ^ + г-А г+ к ^ о |
|
имеет |
комплексные |
корни |
||||||
Z,--i±pi |
|
|
|
й |
/2 |
о |
|
|
|||
|
, |
<уде |
р - п -К |
|
|
|
|||||
Общее решение |
уравнения (1 ) |
без |
правой части |
ииеет вид |
|||||||
|
|
|
|
|
—“fi"t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х=Ав tin(pt+y), |
|
|
|
||||
где |
Jj |
и |
<f |
~ постоянные. Частное |
решение |
определяем |
|||||
в виде функции |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
V=Miin(qt+<i)+JfCos(<jt+ip0) |
|
|
(2) |
||||||
и |
|
|
|
|
|
dit |
|
№ |
|
|
|
|
|
производных |
™ |
и |
|
и подстановка |
|||||
Наховдение |
JJ. |
|
|
||||||||
их в уравнение ( l ) |
позволяет определить |
коэффициента |
|||||||||
ж |
и |
М |
|
„ |
|
с (к*-9*) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М = |
|
|
|
|
|
|
|
Щ Ч « Ч У
Л. /^2 л
X U y + (K * - f)2
окончательно получим
Колебательное движение описываемое уравнением ( 3 ) , состо ит из двух частей: собственного колебания
и вынужденного колебания
. Первая часть имеет значение только во время установления процесса* В дальнейшем величина X почти исключительно определяется вторым слагаемым, которое дает закон установившегося вынужден ного колебания.
§ 4 . ЗАДАЧИ, РЕШЕНИЕ КОТОРЫХ СаЯЗАНО С СОСТАВЛЕНИЕМ СИС1ЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В прикладных вопросах особое значение приобретают системы дифференциальных уравнений, к которым в частнос ти, сводится всякая задача, связанная с движением мате риальных точек или тел в пространстве и во времени.
Задача 29» Некоторое вещество Л |
разлагается на два |
|||||||||||||
вещества |
р |
и |
|
Q |
|
Скорость |
образования |
каздого из |
||||||
этих веществ пропорциональна количеству неравложенногю |
||||||||||||||
вещества* |
Пусть |
1 |
и |
у |
- |
количества вещества |
Р |
и Q |
||||||
образовавшиеся |
к моменту |
|
t |
Определить |
вакон их |
|||||||||
изменений, |
|
зная, что |
в начальный |
момент |
# = 0 * |
^.=0, |
||||||||
а через один час |
Æ =| С |
|
у = у |
С |
|
, |
где |
£ |
- пер |
|||||
воначальное |
количество |
вещества |
А |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
||
В момент |
Ь |
скорости |
образования |
вещества |
P |
I |
||||||||
Q по условию задачи будут |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
( й =к'(с-х-у) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1‘ |
|
так как к рассматриваемому моменту времени |
количество |
|||||||||||||
неразложившегося |
вещества |
А равно |
|
|
|
• |
Урав |
|||||||
нения (1 ) представляют собой систему |
двух дифференциаль |
|||||||||||||
ных уравнений |
первого |
порядка. |
|
|
|
|
|
|
||||||
Дифференцируя |
первое |
уравнение , |
получим |
|
|
|||||||||
Подставим в (2 ) значение ^ |
из системы уравнений: |
( 3 >
Уравнение (3 ) является однородным.линейным уравнением второго порядка. Его характеристическое уравнение
га+(к,+кй)х=о,
корни |
Еоторого |
равны: % = 0 |
и ï 5=-- |
Общее |
решение |
уравнения (В) |
записываем в виде |
|
X = C f +C,e |
|
|
|
|
(4) |
|
|||||
Для нахождения |
^ |
дифференцируем решение |
(4 ) |
и подстав |
||||||||
ляем X |
и |
|
|
|
в |
первое |
уравнение |
системы |
|
|||
|
ч |
Л~(\+*з)£ |
|
/ |
|
0 (K*Ks)t |
\ |
|
||||
- са{к ? ь )€ |
|
=кХ с ~ cf ~с* ^ |
|
~ У ) |
|
|||||||
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y - c - £ c /vi>i-c, |
|
|
|
( о) |
|
|||||||
Таким образом общее решение системы: |
|
|
|
|||||||||
х = с |
+ са€ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
У я с + % са е |
(к***-с; |
|
|
|
(6 ) |
|
||||||
Постоянные |
|
С |
и |
С2 |
определяем на |
основании |
началь |
|||||
ных условий: |
при |
|
t |
* |
О |
Х = 0 |
и |
у = 0 . Для |
||||
определения |
|
^ |
и |
|
|
имеем систему |
уравнении |
|||||
|
|
|
Г с / с г = о |
|
|
|
|
|
|
|||
Откуда |
|
|
*)С |
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
L' |
|
АГ,+ |
К~ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подставив |
Cf |
и |
Сг |
|
в |
общие решения |
(G ), |
получим |
||||
законы изменения |
00 |
|
и |
У |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
х = |
К, С |
|
|
|
|
|
|
|
К + к г |
|
-(Kf+K^t -I |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
S f f ô - l ' - t |
' |
J |
|
|
|||
Коэффициенты пропорциональности находятся из Дополни |
||||||||
тельных условий: при |
|
t |
= 1 ч ,, |
Æ= |
й |/=^С |
|||
|
|
|
|
|
|
|
В |
а 8 ■ |
Подставив |
эти |
условия |
в решения |
(7 ) |
, получим |
|
||
К, |
—3 |
|
Ki |
_ ± |
|
- ё ^ - г |
|
|
К+Кг |
4 |
К * к» |
4 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, окончательно находим
а - ^ И О - т )
Задача ЭО. |
Камень |
брошен под углом |
сС |
к горизрйТу и |
|||
движется в среде, сопротивление которой пропорциональ |
|||||||
но скорости |
V~ |
Определить траекторий |
движения камня. |
||||
|
|
|
Решение: |
|
|
||
|
|
В |
любой |
точке |
траекторий |
||
|
|
камня J f ( |
X |
, у. |
) на не |
||
|
|
го |
действуют |
две |
силы: |
||
|
|
1) |
вес |
P = |
|
|
|
|
|
2) |
сопротивление |
среды 7-K V |
|||
Составляющие их равнодействующей по осям координат равны
Х" * Р ж ( р ; x ) + r o i ( i ; x )
У= р ссз(р "у) + Т с е з ($ у )
;а )
гда M(p,x)—^
d S
Следовательно, |
|
и \J=-tnÿ-Kiïé£ |
Так как У"= |
то система (2 ) |
окончательно примет |
вид |
Х ‘ - к & |
|
|
|
|
|
Ч‘ ~кМ ~ т9 |
131 |
Используя второй закон динамики, получим дифференциаль ное уравнение движения
' уу, d sx _ „ dx |
r(tx _ _.к dx |
m dts~~Kdt |
d t z - т d t |
'& - * & - * * |
141 |
Решая первое уравнение в системе (4 ) как неполное ли нейное второго порядка, а второе - как полное линейное уравнение второго порядка, получим общие решения:
х =е, + с2 е
|
/ |
'IÜ* |
|
(5 ) |
|
- 9f t |
|
||
Для ^нахоздения |
частного |
решения используем начальные |
||
условия : |
|
|
|
|
при |
£ = . О, |
Х=0, |
У = 0 , itï = %a,s°c |
|
На основе указанных начальных условий постоянные равны:
C ~ j K < W o C |
Сг — % 1 Т < м и ; |
<?3= p ( ^ /7ty Ar^ /<W<^ . |
С^ ~ % ( $ п tK'ÏJtnec) |