книги / Составление дифференциальных уравнений при решении технических задач
..pdfжидкости, протекающей через поперечное сечение труба в единицу времени»
|
|
Решение: |
|
|
Выделим в трубе |
элементарный |
|
|
цилиндрический |
слой толщиной |
|
|
4 7 |
такой, что |
в пределах это |
|
го слоя можно считать скорость |
||
|
постоянной. Тогда расход жид |
||
|
кости через это сечение равен |
||
|
ÙQ ~ |
V~A F |
, где ÙF - пло |
щадь кольца, |
равная AF=X(2+Azf-Xl&=2X/Z A l+jt(A if |
||
Полагая л 7 |
- бесконечно малой величиной, пренебрегаем |
||
Х(<а) как бесконечно малой величиной более высокого поряд
ка. Тогда |
заменив при |
ûX-d.T-^0 |
A F = d F |
и |
|
д О - d Q |
, можно написать, что |
|
|
|
|
dQ^vdF=V2Xi i l = ~ |
^ (R S~ t ^ l d l |
(1 ) |
|
||
Соотношение (1 ) представляет собой дифференциальное уравнение задачи. Интегрируя обе части уравнения (1 ) в
пределах 0^ 7 * F и щподучим
р х ( ?У |
г’ )\ |
РХ |
|
'S ju e \ z |
ч / у |
s i t e |
|
Ответ: расход |
равен |
РХ о» |
|
& / е к |
|||
|
|
Задача 12. Определить давление жидкости на пластину, ширина которой является функцией глубины погружения (р и с).
|
|
Решение : |
|
|
|
||
|
Выделим элементарную полос |
||||||
|
ку |
пластины с |
площадью |
|
|||
|
погруженную |
в |
жидкость |
на |
|||
|
глубину «X |
|
Согласно |
за |
|||
|
кону Паскаля |
на |
площадку |
||||
|
4*5 |
действует |
давление |
||||
|
AP = yfi& S |
|
|
, где |
|||
у - удельный вес жидкости, |
- |
глубина |
погружения. |
||||
На выделенную площадку |
&S = [ у 4- у < ] д х |
|
|
действует |
|||
давление |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или при |
àX ’+Q |
|
|||
d p - j f x |
d x |
|
|
( 1 ) |
|
|
|
Уравнение (1) представляет собой дифференциальное урав нение задачи, решение которого записывается в общем слу
чае как |
I |
|
P |
=flT[yjxn,(*)]xJx |
(2) |
а
Задача 13. Вычислить давление жидкости на пластину, коор динаты вершин которой указаны на рис.
Решение :
Уравнение стороны СЮ находим как уравнение прямой,
проходящей через две точки
С и ® |
|
|
У ~ & _ |
x -X f |
Отгуда |
ЧсЧ* |
|
|
|
|
|
У= - |
+ 9 |
Воспользуем |
ся интегралом предыдущей за дачи
- л А6
Ответ: p=10ÿ£]f ед.давл.
Задача 14 . Трубопровод тепловой магистрали (диаметр 20 см) защищен изоляцией толщиной 10 см; величина коэффициента теплопроводности К « 0,00017* Температура трубы 160°С, температура внешнего покрова 30° (рис)* Найти распре деление температуры внутри изоляции, а также количество тепла, отдаваемого 1 пог. метром трубы*
|
Решение : |
|
|
Если тело находится в ста |
|||
ционарном тепловом состоя |
|||
нии и температура |
Т в каж |
||
дой его точке есть функция |
|||
только одной |
координаты X |
||
то |
согласно |
закону |
тепло |
проводности Фурье |
количест |
||
во |
теплоты, |
испускаемое в |
|
секунду: |
~ |
|
|
Q = - K F(Z) J X ■-=
где |
F jfy-2'К-У-£ |
- площадь сечения |
тела |
на |
расстоя |
|||
нии |
X ; |
К |
- коэффициент |
теплопроводности; |
£ |
- дли |
||
на трубы в |
см) |
X |
- радиус |
трубопровода |
в см. |
|
|
|
Пооле равделенНя переменных дифференциальное уравнение за
дачи примет вид
|
,т= |
|
Q d x |
|
|
( 2) |
||
|
а ' |
' к г я е х . |
|
|||||
|
|
|
||||||
Интегрируя обе |
части |
(2 ) |
|
находим |
|
|
||
,3fl |
Q |
|
■èp\ |
|
|
|||
•QT - |
|
\ Чх |
|
|
||||
Q |
|
|
(3 ) |
|||||
P ' |
0,00014 гх е J |
|
x |
|
||||
Г / Г - |
Q |
|
|
[ |
a |
|
(4 ) |
|
Jal |
0,00014 3.xz |
J |
^ |
|
|
|||
Ko |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
30-/60 r-q000fj.â. i t |
l |
X J" |
|
Q |
On' |
|
||
|
' o,oodq-2 K è |
\ ( S ) |
||||||
T-160 =~OOÛCff.£,%:( fax I |
|
|
Q |
|
|
|||
|
|
0,00014Z XZin(o,ix) |
(6 ) |
|||||
|
|
|
MO |
|
|
|
|
|
Разделив почленно левые и правые части уравнений |
(5 ) и (б ) |
|||||||
получим |
|
|
_ £ ç f o x ) |
|
|
|||
- m |
-tn-z - |
|
|
^ 2 |
|
|
||
Отскда закон распределения |
|
температуры внутри изоляции |
||||||
|
|
Т =■691,8 - 431,8 |
X |
|
||||
Из (5) находим При |
£ш 100 |
см |
|
|
||||
л130-0,00о(7-ЯЖЧоо = zoojçm-о,оооri
w |
Ùl Z |
0,693 |
Количество тепла,отдаваемого в течение суток, равно:
|
|
|
|
- 2 |
3 - |
|
|
|
|
|
|
24-60-60 |
Q = 86400- |
200 |
ЗГ-130 |
0,00017 |
17306С0кал |
||||
|
|
0,69315 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задача 15. |
При небольших скоростях сопротивление движе |
|||||||||
нию поезда |
определяется |
эмпирической формулой |
|
|||||||
|
|
а = (2 ,5 |
+ 0,05 |
гг |
) Q |
,кг |
|
|||
где |
Q ~ вес |
поезда в |
тонная и |
V - |
скорость |
в м /сек. |
||||
Найти через сколько времени и на каком расстоянии поезд |
||||||||||
приобретает |
скорость |
\Г = |
12км/час, |
если |
|
вес |
поезда с |
|||
элёктровоэом |
и грузом |
Q = 4 0 |
т, а |
сила |
тяги |
электровоза |
||||
F |
2GG гг* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить также силу |
тяги |
Ж |
электровоза |
при |
дальнейшем^ |
|||||
равномерном |
движении. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение : |
|
|
|
|
|
|||
|
Масса |
поезда т = 1~ ^ |
Г^г- С~ — 1 .По |
второцу закону |
||||||
|
|
|
7 |
1 |
м |
J |
|
|
|
|
Ньютона произведение массы на ускорение равно силе, кото
рая в нашей задаче равна |
разности |
сил тяги |
и |
сопро |
|||
тивления |
. Составив |
уравнение |
действующих на |
состав |
|||
7 |
d t 1 |
|
|
F г |
сил (рис) t n ^ - F - H |
||
* |
|
f |
|
после деления на т |
|||
__ Я |
|
|
|||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
получим |
|
|
|
о |
_ _ |
а |
<&+ Ш + 0.0*4V |
F 9 |
||
|
|
|
|
||||
|
|
--------------------х |
d t |
т о |
т о |
Q TÏÏÔÔ “ |
|
|
CÙT-, |
Ï |
|
|
-з |
|
|
Или |
|
0,49 1031Г- 49 Ю % О |
|
|
|||
^ . + 34,5 /0'3+ |
|
|
|||||
|
d V |
■ - -s - |
- - |
- |
|
|
Ц) |
|
21+0,48-10 V--34,5 10 =О |
|
|
||||
Разделив переменные |
в (1) |
приходим к дифреренциальноцу |
|||||
уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ю*d r |
Г = |
d t |
|
|
|
|
24,Г -0 ,W |
|
|
|
||||
Проинтегрировав ( 2 ) , |
находим |
|
|
||||
- qf j l& C (M ,f-0 ,4 9 V )= t |
|
( 9 ) |
|||||
Постоянную интегрирования |
С |
определяем из заданных |
|||||
начальных условий: при |
t |
= 0 ; |
|
0 и, следовательно, |
|||
|
-Stl(ZA ,5- с ) |
= |
0 и |
С -' |
|||
|
|
|
|
|
|
|
24,5 |
Согласно условию |
задачи |
при |
t |
= |
,• скорость поезда |
||
составит |
12 |
км/час. Таким |
образом, из соотношения |
||||
,3> » |
. |
|
|
|
|
|
|
Для определения расстояния при котором скорость по.езда
достигнет 12 |
км/час, выразим 77 |
через |
||
dr_ dr ds_1hdr |
dt |
уравнение (1J можно за |
||
cFfc~~dS |
d t |
~ U dS |
Тогда |
|
писать в |
виде: |
_ J~ |
|
|
|
|
ttftdr |
|
|
24,5-0,49 Г
Интегрируя его , получим
' 4 ü [ r < |
- |
|
U ) |
Постоянную |
С |
находим из |
условия: при S = О Г = 0 . |
Следовательно, |
С = - Щ |
Iti 2 4 ,5 |
|
Подставляя |
знамение |
С |
и |
V= 3,33 |
м/сек |
в уравнение |
||||
( 4 ) , находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
2*1,5 А |
_ . 24,5 |
_ г Л |
= 9 6 |
|
||||
|
Ю |
|
||||||||
ЧЛС |
0,49 |
0,49 |
16 24)5-0//ду |
J |
|
|
|
|||
|
равномерном движении |
( |
{Г® 3,33 |
м/сек) |
||||||
При дальнейшем |
||||||||||
сила тяги |
равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J /" - С? ( 2 , Г) |
4-0 ,05'3 ,33) |
= |
40(2,5+0,05 |
3 ,3 3 ) |
= 106,б ^ Т |
|||||
Задача 16. Опоеделить уравнение кривбй , по которой рас полагается уровень грунтовых эод вблизи круглого колод
ца, простирающегося до непроницаемого слоя |
(рис*) |
|
||
|
Решение : |
|
||
£ |
Пусть АВ - поверх- |
|||
{// / у / / |
ность |
земли, СД- |
п о- |
|
|
верхнос ть |
грунт овнх |
||
|
вод до |
устройства |
K o- |
|
у лодца, |
EF |
- водонеп |
||
|
роницаемый |
слой, |
огранй- |
|
: f |
чиэающий сниву поток |
|||
|
грунтовых вод. |
|
||
Если высота вода поддерживается в колодце вычерпыванием
на постоянном уровне, |
то |
поверхность грунтовых вод |
|||
вблизи от колодца понижается определенным обравом. |
|||||
Кривая поверхности грунтовых вод устанавливается на |
|||||
основании опытного правила, по которому |
скорость |
ZT |
|||
течения |
воды в точке |
р |
пропускающего |
(дренирующего) |
|
г1руйта |
пропорциональна наклону^ кривой в |
точке М* |
,лежащей |
||
на вертикали точки р |
|
Обозначив коэффициент пропор- |
|||
циональности получим выражение скорости
|
V‘3’ K È |
(1 ) |
|
|
Черев |
боковую поверхность |
цилиндра |
протекает |
коли |
чество |
ВОДЫ |
|
|
|
|
=2ЯХу К. ^ |
( 2 ) |
|
|
которое для всего цилиндра раДиуса |
X равно |
расходу |
||
воды в |
колодtie* Равенство |
(2 ) Дает |
дифференциальное |
|
уравнение задачи» которое после разделения переменных
йривоДйтЬя |
к виду: |
|
|
|
|
|
|
|
(»> |
Интегрируя |
(Э) » получим |
/7 |
1Г К |
£ |
I t i X - |
|
+С |
||
Постоянную интегрирования |
находим из |
условия , Дто |
||
кривая ÏÏH |
переходит в поверхность |
колодца, т . е . |
||
при я = 2 |
|
|
|
+ C |
Откуда |
С = û i l |
|
|
|
|
чг |
|
|
|
Окончательно, уравнение кривой поверхности грунтовых
,о я ü \ = x- i ( f - t f )
Задача 17 . Через сосуд емкостью |
# |
литров |
наполненный |
|
водным раствором некоторой соли, непрерывно протекает |
||||
жидкость, причем в единицу времени |
втекает |
-в |
•~ит- |
|
ров чистой воды и вытекает такое |
же |
количество |
раствора- |
|
Наи*и закон, по которому изменяется содержание соли в сосуде в зависимости o f времеНй протекания хидкостй через сосуд.
|
|
|
|
Решение : |
|
|
|
|
|
|
|
В |
момент |
времени |
t |
в сосуДе |
содержится некото |
||||
рое |
неизвестное нам число |
X |
нг |
coJrn, |
Следовательно, |
|||||
в каждом ЛйТре |
раствора |
содержится |
g |
KÎ* |
соли; й В |
|||||
€ |
Литрах ^ |
UP . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если бы Л течение единицы времени, нбчиНал С моден- |
|||||||||
та |
Ь |
концентрация |
растйора |
оставалась |
не йенеИной, |
|||||
то |
есть |
такой |
какЬй ойа |
была |
В |
момент |
il |
то коли |
||
чество соли в сосуде за единицу времени уменьшилось бы
На |
^ |
кг; |
такова |
скорость |
уменьшения количества Ьолй |
|||
в сосуде |
для |
момента |
t |
. |
С другой стороны ; Проиввод- |
|||
НаЯ |
^ = й |
с п |
Х (Ь *А$ ~ Х $ |
|
||||
|
d t |
л+'>0 |
|
A t |
|
|
|
|
равна скорости прироста количества соли В |
момент it |
|||||||
Следовательно, скорбеть уменьшений колййёсФВа сояй В |
||||||||
момент |
t |
равна |
- |
d |
t |
Итак, имеем |
|
|
|
|
_ d x _ |
|
|
|
|
а ) |
|
|
|
|
d t |
& |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
Разделив |
переменные, |
получим |
|
|||||
|
|
|
sc |
i-dt |
|
|
||
|
|
|
а аь |
|
|
|||
Откуда Интегрируя, |
находим |
|
|
|||||
|
ôi л' = - £ { .± -ék .cT |
|
|
- it |
||||
|
**ли~Н-отекцируя |
x-S* |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
где С, произвольная постоянная. Положим, что при
0 в |
сосуде |
было соли |
Са |
кг. Тогда |
полагая |
в (2 ) |
0 находим С = С 0 |
|
Окончательно, получим |
||
|
|
-£+ |
|
|
|
|
ОС « |
С0 € а |
|
|
|
то есть количество соли убивает в сосуде согласно пока
занному saкону.
торфяных Задача 18, ПрочностьУбрикетов понижается с увеличением
Их высоты. Скорость изменения прочности брикетов оказы вается пропорциональной текущему значению прочности.
Известно, |
что при Н « |
2 см |
прочность |
6 ‘ = |
40 кг/сы^. |
|
Найти прочность |
брикетов |
для |
Н = 6'см |
если |
при На 4см |
|
6" * 20 |
кг/см |
2 . |
|
|
|
|
|
|
Решение : |
|
|
|
|
Скорость изменения прочности брикетов при измене
нии их высоты выражается производной ^ По уело-
ссН
вию задачи
dG
где К>0 |
, dtëmvi минус показывает, |
что ^ ^ чн ость брике |
||
тов убывает с ростом высоты Н . |
|
|||
Разделив переменные |
в (1 ) и проинтегрировав, получим |
|||
J ^ Ы и |
& б = - к н /•А с |
|||
Откуда |
|
, |
~кН- |
|
|
|
6 = се |
< » |
|
Йв условия: |
при |
Н=Н4 |
находим |
|
С=(о |
£ <И1 |
Следовательно, |
||
|
e |
= 6 f |
- ф - н , ) |
<з> |
|
C |
|||
коэффициент пропорциональности можно определить, если