книги / Общие теоремы теории упруго-пластических сред

22 § 2. Основные предположения законы пластичности

Иное обоснование было предложено в 1951 году Бишопом и Хиллом [4], которые вывели (2.11) для поликристаллического агрегата, основываяэь на свойствах отдельных кристаллов. Многообещающие результаты были также получены в 1957— 1958 годах Циглером [87, 88], который предпринял попытку включить теорию пластичности в сфе­ ру действия принципа Онзагера для необратимых термо­ динамических процессов,

В случае пропорционального нагружения элемента, т. е. при пропорциональном возрастании всех напряже­ ний, соотношения между напряжениями и деформациями (2.22) или (2.23) можно, конечно, проинтегрировать. По­ лучаемые при этом соотношения между конечными зна­ чениями напряжений и полными величинами пластических деформаций часто используются также при произвольных путях нагружения; соответствующую теорию обычно на­ зывают деформационной теорией пластичности (в отличие от рассмотренной выше теории течения).

Деформационная теория для идеально пластических материалов названа именем Генки, предложившего ее в 1924 году [27]. Дефекты деформационной теории с фи­ зической точки зрения были отчетливо показаны в 1947 году Хандельманом, Лином и Прагером [28]. Тем не менее, в некоторых случаях теории пластичности деформа­ ционного типа можно использовать с определенной уверен­ ностью для получения полезных приближенных решений, если пути нагружения всех элементов тела не слишком силь­

ционная теория ни в коем случае не может быть приме­ нимой при полностью произвольных путях нагружения. Основные физические соотношения обязательно должны содержать скорости пластической деформации.

Наконец, следует также упомянуть о теории скольже­ ния Ба'тдорфа и Будянского [2], вызвавшей большой

пий в связанных элементах идеально пластического мате­

исследование Койтера [51] обнаружило, что эти теории можно рассматривать как частные случаи общих соотно­ шений (2.23) для сред с сингулярной поверхностью те­ кучести.

§3. Теоремы единственности

3.1.Краевая задача для скоростей изменения напря­ жений. Рассмотрим тело, которое произвольным образом деформировано приложенными массовыми силами и по­ верхностными нагрузками или заданными на поверхности перемещениями. Вообще говоря, при этом некоторая об­

ласть тела будет в пластическом состоянии, т. е. напря-

. женное состояние каждой точки этой области будет изображаться точкой на поверхности текучести; другая область будет в состоянии разгрузки после предшество­ вавшей пластической деформации; наконец, в остальной области тела всюду будут иметь место только упругие деформации. Напряженное состояние для двух последних областей лежит внутри поверхности текучести. Следует иметь в виду, что поверхность текучести может меняться от точки к точке тела; такая неоднородность обязательно будет иметь место в упрочняющемся материале вследствие того, что локальная поверхность текучести зависит от

данными скоростями X it pv ui0. 1).

J) Для упрощения мы не будем рассматривать смешанные кра­ евые условия, когда на части поверхности задаются, например, нормальные {к поверхности) усилия и касательные перемещения. Читатель легко проверит, что теоремы единственности и минималь* ные принципы справедливы п для таких смешанных краевых условий.

ществовать более одного распределения скоростей изменения напряжений, являющегося решением, т. е. удовлетворя­ ющего следующим требованиям:

б) скорости изменения напряжений удовлетворяют краевым условиям для напряжений на S p:

3.2. Доказательство единственности для скоростей изменения напряжений. Теорема единственности будет доказана, если показать, что предположение о существо­

вании двух различных решений (и и ai}-(2) ведет к про­ тиворечию. Заметим, что разность этих решений будет являть­ ся самоуравновещенным распределением скоростей изме­

из соотношений (2.24). В действительности, распределение скоростей деформации в теле из идеально пластического материала не обязательно единственно. Разность между двумя возможными распределениями скоростей деформации дает, конечно, чисто пластическое распределение скоростей; более того, она должна представлять собой поле совместных скоростей деформации, которому соответствует поле скоро­ стей, равных нулю на S u. Обозначим через Ха параметры в соотношениях (2.20), отвечающие одному распределению скоростей деформации; другие решения для скоростей деформации можно получить, если можно найти вариа­

возникновением ненулевого поля скоростей деформации при постоянных нагрузках, представляет собой наиболее важный пример неединственности распределения скоростей деформации. Отсутствие единственности скоростей дефор­ мации может иметь место также и в случае, когда тело еще не находится в стадии пластического разрушения.

В действительности это отсутствие единственности заложено в самой концепции идеально пластического тела и не должно давать повода для необоснованных сомне­ ний. За исключением случая пластического разрушения, единственность скоростей деформации может быть вос­ становлена, если рассматривать идеально пластический материал как предельный случай упрочняющегося мате­

использован Хиллом для преодоления аналогичного затруд­ нения в теории жестко-пластических тел [38].

3.4.Единственность напряжений. Заметим, что теорема

оединственности для краевой задачи, сформулированной

т. е. к приращениям напряжений, соответствующим задан­ ным приращениям нагрузок или перемещений на поверхно­ сти. Отсюда следует, что напряженное состояние тела также единственно, если задана вся история нагружения тела, начиная от исходного «естественного» состояния и кончая рассматриваемыми конечными значениями на­ грузок и заданных на поверхности перемещений. С другой стороны, распределение напряжений в заключительной стадии нагружения существенно зависит от этой истории нагружения, т. е. от пути, по которому были достигнуты эти конечные значения нагрузок и заданных на поверхно­ сти перемещений. Поэтому нельзя ожидать единственности распределения напряжений, если даны только конечные значения нагрузок и перемещений, заданных на поверх­ ности.

Однако единственность распределения напряжений при заданных конечных значениях нагрузок и (или) переме­ щений на поверхности будет обеспечена, если в добав­ ление к этим конечным значениям нагрузок и перемещений на поверхности будет задано распределение в теле пла­ стических деформаций г"ц. Для доказательства этой теоремы покажем, как и ранее, что предположение о суще­ ствовании двух различных распределений напряжений, Стц(1) и оц(2), ведет к противоречию. Очевидно, что раз­ ность этих двух распределений напряжений самоуравновешена. Упругие деформации ер (() и elj (2), соответствующие двум распределениям напряжений, не обязательно будут

распределением деформаций, которому отвечают переме­

С другой стороны, из закона Гука (2.7) следует, что подинтегральное выражение в (3.10) положительно, если она) Ф оц(2)1 таким образом, единственность доказана,

ние напряжений в идеально упругом материале, соответ­ ствующее заданным массовым силам Х 1 в объеме тела, поверхностным нагрузкам pt на 5 Р и перемещениям ui0, заданным на поверхности Su. Это «упругое» распределе­ ние напряжений, очевидно, единственно. Теперь действи­ тельные напряжения всегда могут быть представлены в форме

ветствии с законом Гука, необходимы для того, чтобы результирующие деформации были совместными. Иначе остаточные напряжения могут быть определены как постоянные напряжения, остающиеся в теле после раз­ грузки, т. е. после снятия внешних нагрузок и возвра­ щения перемещений, заданных на поверхности Su,

к нулевым значениям, если такая разгрузка происходит без возникновения новых пластических деформаций. Оче­

В этих терминах теорема гласит, что может существовать не более, чем одно распределение остаточных напряже­ ний Qij, соответствующее заданному распределению пла­

J) Заметим, что обратное утверждение несправедливо. Данное распределение остаточных напряжений может быть вызвано множе­ ством распределений пластических деформаций; добавление любого совместного поля пластических деформаций с перемещениями, рав­ ными нулю на S u , не влияет на остаточные напряжения-

ности в краевой задаче для скоростей изменения напряже­ ний (3.1), поскольку здесь не существенно, являются ли заданные пластические деформации е|) действительно пластическими или они имеют иное неу'пругое происхожде­ ние. Поэтому, например, теорема применима также в слу­ чае температурных напряжений.

3.5. Исторические замечания. Теорема о единственно­ сти решения краевой задачи, сформулированная в п. 3.1, была установлена в 1938 году Меланом в двух важных и в высшей степени оригинальных работах как для упрочняющейся [59], так и для идеально пластической среды [58], причем в обоих случаях для произвольной регулярной поверхности текучести. Теорема единственно­ сти в последней работе, по-видимому, осталась не замечен­ ной позднейшими авторами. Она была повторно доказана в 1949 году Гринбергом [23] для идеально пластического материала, подчиняющегося критерию текучести Мизеса [60]; обобщение теоремы на случай произвольной функции текучести Хилл [33] приписывает Ф. Б. Бауэру. Обобще­ ние для сингулярных поверхностей текучести как для упрочняющихся, так и для идеально пластических мате­ риалов было получено несколькими годами позже [51].

Все доказательства единственности решения краевой задачи п. 3. 1 основаны на достаточном условии (3.8) положительности интеграла (3.6). Возникает естественный вопрос, будет ли это достаточное условие также необходи­ мым; необходимость условия явилась бы дополнительным обснованием соотношений между напряжениями и деформа­ циями, опирающихся на фундаментальный квазитермодинамический постулат. Доказательства необходимости чрез­ вычайно трудны, и краткие замечания Мелана по этому поводу [59] едва ли могут .быть признаны достаточными, С другой стороны, Друккер показал на простом примере [19],)*

*) Теорема единственности для краевой задачи, сформулиро­ ванной в п. 3.1, также может быть высказана в терминах скоростей изменения остаточных напряжений, однако такая модификация, по-видимому, не имеет каких-либо преимуществ.

напряжений может иметь место в случае применения кри­ терия текучести Треска и неассоциированного закона тече­ ния Леви — Мизеса. Представляется вероятным, что исполь­ зование соотношений между напряжениями и деформациями, ассоциированных с условием текучести, действительно необходимо для обеспечения единственности решения краевой задачи.

Теорема о единственности результирующего распреде­ ления напряжений при заданном распределении пластиче­ ских деформаций (п. 3.4) в значительной степени при­ надлежит Колоннетти [10, 11, 12]. Эта теорема была незави­ симо снова открыта Рейсснером [74] и Меланом [58, 59].

§4. Минимальные принципы

4.1.Определения. Чтобы иметь возможность сформу лировать минимальные принципы, соответствующие краевой

задаче п. 3.1, введем некоторые определения. Распределе­

и краевым условиям (3.2) для напряжений на Sp. Статиче­ ски возможное распределение скоростей изменения напряже­ ний в идеально пластическом теле должно также удо­ влетворять дополнительному условию (3.5), поскольку материал не может воспринимать напряжения, превосходя­ щие предел текучести. Скорости деформации (2.24) или

(2.26), соответствующие статически возможным скоростям

• •

изменения напряжений ст*,, будем обозначать ег* . Заме­ тим, что для произвольного распределения статически воз­ можных скоростей изменения напряжений скорости дефор-

мации е*j несовместны.

Поле скоростей деформации е?у будем называть кине­ матически возможным, если оно может быть выведено

посредством (3.3) из поля скоростей и\, удовлетворяющего краевому условию (3.4) на Su. Скорости изменения напряже­ ний, по (единственному) обращению формул (2.24) или

(2.26), соответствующие кинематически возможному рас­

пределению скоростей деформации, будем обозначать о?3. Заметим, что эти скорости изменения напряжений не удо­ влетворяют уравнениям равновесия (3.1) или краевым условиям (3.2) для напряжений на Sp, если кинематически возможное поле скоростей деформации выбрано произ­ вольно.

4.2. Формулировка принципов для скоростей измене­ ния напряжений и деформации. Минимальный принцип для скоростей изменения напряжений теперь можно выска­ зать в форме следующего утверждения: абсолютный минимум выражения

s«

определенного для всех статически возможных распреде­ лений скоростей изменения напряжений, отвечает действи­ тельному распределению скоростей изменения напряжений

Оц (являющемуся решением краевой задачи, сформулиро­ ванной в п. 3.1).

Аналогично, минимальный принцип для скоростей

Sp

определенного для всех кинематически возможных рас­

пределений скоростей деформации, отвечает действитель-

»

ному распределению скоростей деформации ei;- и соот­

ветствующих им скоростей ut (являющемуся решением краевой задачи п. 3.1). В случае идеально пластического тела действительное распределение скоростей деформации не обязательно единственно, и минимум (4.2) достигается при всех распределениях скоростей деформации, являю­ щихся решением краевой задачи.

Посредством равенства