книги / Общие теоремы теории упруго-пластических сред
..pdf§ 4. Минимальные принципы
справедливого для действительных скоростей измене ния напряжений, скоростей деформации и поля скоростей, минимальные свойства решения краевой задачи могут быть объединены в следующей цепочке неравенств
> — Y ^ |
dv + ^ |
^ Pi“*dS' |
(4-4) |
Первое неравенство переходит в равенство только тогда, когда статически возможное поле скоростей изменения
напряжений а*, совпадает с действительным распределе нием скоростей изменения напряжений, т. е. с решением краевой задачи; в последнем неравенстве знак равенства имеет место только тогда, когда кинематически возможное
поле скоростей деформации е°,- представляет собой реше ние краевой задачи.
4.3. Доказательство принципов, сформулированных в п. 4.2. Для доказательства минимального принципа для скоростей изменения напряжений [т. е. для доказатель ства первого неравенства в (4.4)] заметим, что разность
скоростей изменения напряжений [щ* — <rw] самоуравновешена и соответствует нулевым нагрузкам на Sp, действи
тельные скорости деформации ei3совместны и соответ
ствуют заданным на Su скоростям ui0. Поэтому разность членов, стоящих в левой и правой частях доказываемого неравенства, может быть преобразована с помощью урав нения виртуальных работ к следующему виду:
= 4 [ K J e *i - a a e'i) ~ 2 [<**; - a t/l 8i;) d v - |
(4 -5) |
§ 4. Минимальные принципы |
33 |
Теперь нетрудно показать, что подинтегральное выраже
ние (4.5) всегда положительно (при сг*; ф cri3), если учесть,
что скорости деформации е,* и ei}- связаны со скоростями
изменения напряжений о*;- и oi;- законами деформирова ния (2.24) или (2.26). Пользуясь свойствами симметрии коэффициентов упругости (2.8), находим для упругих составляющих скоростей деформации в подинтегральном выражении (4.5)
А т К - °ц] № - °nk] > 0. |
(4.6) |
Знак равенства здесь имеет место только при о*, = cri3-. Для идеально пластического материала из (2.14) и (2.16) немед ленно следует, что для пластических составляющих ско ростей деформации подинтегральное выражение в (4.5) неотрицательно. В случае упрочняющегося материала ана логичный результат можно получить, если подинтегральное выражение (4.5) предварительно преобразовать с помощью (2.23) к виду
аЙ ®й "Ь аа ЕЬ ~ 2сг*у е£3- =
|
= 2 |
Лв [CafT + Cafl - |
2 С а Ш , |
|
(4-7) |
|
а |
|
|
|
|
где для всех функций текучести, |
которые |
могут |
быть |
||
активными |
(т. е. для которых /а == 0), следует принимать |
||||
= 1 при |
fa > 0, |
Са = 0 при /£ < |
0, Са = 1 |
При |
/а > 0 |
и са = 0 при /а < 0; при этом (4.7) также неотрицательно. Аналогично доказывается минимальный принцип для скоростей деформации [т. е. последнее неравенство в (4.4)]. В зтом случае используется тот факт, что действительное
распределение скоростей изменения напряжений cri3 уравно
вешено скоростями изменений массовых сил в объеме
тела и скоростями изменения поверхностных нагрузок р1 на Sp, а разность между кинематически возможными
и действительными скоростями деформаций [е“3 — е^] пред ставляет собой поле совместных скоростей деформации, которому отвечают скорости, равные нулю на Su. При
3 В. Т. Койтер
34 |
§ 4. Минимальные принципы |
этом разность между членами, стоящими в левой и пра вой частях доказываемого неравенства, может быть пре образована посредством уравнения виртуальных работ к виду
Y \ К |
- аи et,] d o + ^ X i (ut - |
и?) d v + ^ p i (щ - и\) dS = |
|||
|
= -J \ |
ВЬ - °и*ц - |
2ау [г°а ~ e'ij] dv. |
(4.8) |
|
Скорости изменения напряжений о?; |
и аи , соответствую |
||||
щие скоростям деформации е?,- и еу, |
определяются |
(един |
|||
ственным) |
обращением соотношений |
между напряжениями |
|||
и деформациями (2.24) или (2.26). Как и прежде, доказа
тельство завершается |
установлением |
положительности |
|
подинтегрального выражения (4.8), когда |
не совпадают |
||
с решением еу краевой задачи. Подробности |
доказатель |
||
ства вполне аналогичны |
изложенным |
выше |
при доказа |
тельстве первого неравенства; проведение полного доказа тельства мы предоставляем читателю.
4.4. Принципы для напряжений и деформаций. Мгно венное распределение напряжений в упруго-пластической среде зависит от истории нагружения, поэтому не удиви тельно, что для мгновенных напряжений или полных деформаций не существует общих минимальных принци пов. Если, однако, в дополнение к мгновенным значениям массовых сил X it поверхностных нагрузок pt на Sp и пере мещений ui0 на поверхности Su, заданы также пластиче ские деформации, то результирующее распределение напряжений и деформаций может быть представлено, как решение некоторых вариационных задач. Как и прежде, введем вначале некоторые определения. Распределение напряжений ог*- будем называть статически возможным, если оно удовлетворяет уравнениям равновесия (2.3) в объ
еме тела и краевым |
условиям для напряжений (2.4) на |
Sp 1). Распределение |
деформаций e“j будем называть кине- |
х) Следует заметить, что здесь (в отличие от определения стати чески возможного распределения скоростей изменения напряжений в п. 4.1) для случая идеально пластического тела не вводится
§ 4. Минимальные принципы |
35 |
матически возможным, если его можно вывести посред ством формул (2.1) из поля перемещений и®, удовлетво ряющего краевому условию и\ = ui0 на Su. Обозначим через Oij напряжения, соответствующие упругим деформа циям [е®,— ву], т. е.
оЪ = Aljhk [ - eftft], |
(4.9) |
где Aijhk — тензор модулей упругости, |
полученный обра |
щением (2.7).
Теперь минимальный принцип для напряжений может быть высказан в следующей форме: абсолютный минимум выражения
~2 ^ jhiflij o/iftrfo |- |
dv ^ ацп^и10й8, (4.10) |
определенного для заданных |
пластических деформаций |
е-'у и для всех статически возможных распределений напря
жений, |
отвечает |
действительному |
распределению напря |
|||
жений |
Минимальный |
принцип |
для |
деформаций |
||
состоит в следующем: абсолютный |
минимум |
выражения |
||||
^ Ajjhh [е®у - |
е*у ] [еЯ* — елл] dv— ^ |
dv-^ jj ptu\ dS, |
||||
|
|
|
|
|
|
(4.11) |
определенного для заданных |
пластических деформаций е/у |
|||||
и для всех кинематически возможных распределений де формаций, отвечает действительному распределению де формаций ei;- и соответствующих им перемещений щ. Отметим, что действительные напряжения и деформации связаны зависимостями
е И — ^ ijk h ^ h h "b eij! a i j — A ijh k [fifth fiftfc]. (4.12)
никаких дополнительных ограничений относительно недопустимости превышения предела текучести. С другой стороны, задание пластиче ских деформаций в случае идеально пластического тела не может быть вполне произвольным. Эти пластические деформации должны быть такими, чтобы результирующее распределение напряжений (соответствующее мгновенным значениям нагрузок) нигде не пре восходило предела текучести.
3*
36 |
§ 4. Минимальный принципы |
Используя уравнение виртуальных работ для действитель ных напряжений, деформаций и перемещений
^ аи ъи d v = [ |
dv + ^ р ы dS + ^ cri3n3wi0dS, (4.13) |
можно объединить минимальные принципы в цепочке нера венств
J |
ihk°iiahkdv+ jj obeli dv— ^ o*jHjUi0 dS > |
|||
Aiihkau ahkdv+ J |
otj El j d v - J ai3n3«iodS = |
|||
|
|
|
.®* |
|
= T S ai;eij'dy+ |
T $ X iM o + y \ PiitidS- |
|||
|
|
|
Bp |
|
■J [ |
— g- J cri3 [еи — ey] du+ |
J Х4М » + |
||
s„ |
|
|
|
|
+ |
J р{щ dS > |
- y |
^ a?3 [e?3 - ey] dv + |
|
|
s p |
|
|
|
|
+ \ x |
iu l d v + \ p iu4dS. |
(4.14) |
|
Для доказательства первого неравенства применим урав нение виртуальных работ к самоуравновешенным напряже ниям [of, — ai3] (которым отвечают равные нулю на S p -поверхностные нагрузки) и к действительным деформа циям е{у, заданным соотношениями (4.12). При этом раз ность членов, стоящих в левой и правой частях неравен ства, преобразуется к виду
■J \ AHhk [Oil Ghh - Oij<yhk] dv + ^ [af3 - ay] ey dv -
- ^ (a» * -ai3)/z3«iodS =
~~2 ^ Ai}hk{aiJa*h — Oijahk — 2[at] —aij]ohk}dv. (4.15)
§ 4. Минимальные принципы |
37 |
Доказательство положительности подинтегрального выраже ния в (4.15) не вызывает затруднений. Второе неравен ство доказывается аналогично, при этом уравнение вир туальных работ применяется к действительным напряже ниям и к совместным разностям деформаций [е“, — ei3], которым отвечают на Su перемещения, равные нулю. В результате получим выражение
- |
Y ^ |
~ |
а°' |
_ |
еЪ]} dv - |
- |
^ X i {ul — щ) dv - |
^ pi (и\ - |
щ) dS = |
||
|
|
|
sp |
|
|
|
{obofo - |
ouohk - 2atj [oik - Offtj dv, (4.16) |
|||
где снова подинтегральный член положителен. Минимальный принцип для напряжений принимает
форму, которая оказывается в некоторых случаях более удобной, если принцип сформулировать в терминах оста точных напряжений, определенных соотношениями (3.11)1).
Любое статически возможное распределение напря жений может быть представлено в виде
ab = a ^ + Qtf> |
(4.17) |
где о<«> — тензор «упругих» напряжений, т. е. напряжений,
которые имели бы место, если бы тело всегда оставалось вполне упругим, Q*j —тензор остаточных напряжений. Оче видно, что тензор o ff будет одним и тем же для всех
статически возможных распределений напряжений. Упру гие деформации, отвечающие «упругим» напряжениям
Ч? = Л1та ^ , |
(4.18) |
совместны и согласуются с заданными на поверхности Su перемещениями и1о.
1) Минимальный принцип для |
деформаций (и оба |
минимальных |
||||
принципа |
для краевой |
задачи |
п. |
3.2) |
можно также |
преобразовать |
в принципы, относящиеся к остаточным напряжениям |
(или к скоро |
|||||
стям их |
изменения), |
однако |
такое |
преобразование, |
по-видимому, |
|
не имеет никаких преимуществ. |
|
|
|
|
||
38 |
§ 4 . Минимальные |
принципы |
|
|
Уравнение виртуальных работ для остаточных напря |
||
жений Q*j и поля деформации |
будет таким: |
|
|
|
^ Ai ihkQ*ia(hl d v = [ |
QvnJuu>d s - |
(4-19) |
|
Su |
|
|
Минимальный принцип для остаточных напряжений
теперь формулируется следующим образом: абсолютный минимум выражения
у |
^ AwikQiiQhh d v + \ QijEb dv, |
(4.20) |
определенного |
для заданных пластических |
деформаций |
и для всех распределений остаточных напряжений, _отве чает действительному распределению остаточных^напряже ний Qi}.
4.5. Исторические замечания. Минимальный принцип для скоростей изменения напряжений для упрочняю щихся сред с регулярной поверхностью текучести в основ ном был сформулирован в 1948 году в работе Прагера
иХоджа [42]. Более слабый вариационный принцип, со гласно которому действительному распределению скоро стей напряжений отвечает относительный минимум (4.1), был ранее получен Прагером [64, 65] для регулярных условий текучести частного вида. В доказательстве Ходжа
иПрагера [42] предполагалось, что все конкурирующие
статически возможные поля |
скоростей изменения напря- |
• |
• |
жений o*j соответствуют разгрузке материала (т. е. /* < 0), исключая области, в которых действительные скорости
изменения напряжений cri3- |
приводят |
к |
нагружению |
(т. е. / > 0); в этих последних |
областях |
/* |
может быть |
положительно. Это ограничение было снято |
в 1949 году |
||
Гринбергом [23, 24], который, помимо того, установил справедливость принципа минимума для скоростей измене ния напряжений в случае идеально, пластических сред с регулярной поверхностью текучести. Минимальный принцип для скоростей деформации как для упрочняю щихся, так и для идеально пластических сред с регуляр
ной поверхностью |
текучести установлен |
Гринбергом |
в 1949 году [23, 24]. |
Здесь также принципу |
абсолютного |
§ 4. Минимальные принципы |
39 |
минимума предществовал более слабый вариационный прин цип, выведенный Прагером [64, 65]. Обобщение обоих принципов на случай упрочняющихся и идеально пласти ческих материалов с сингулярной поверхностью текучести
указано в |
1953 году Койтером [51]. Минимальные прин |
|||
ципы в теории |
пластичности в последние годы |
часто об |
||
суждались |
с |
различных точек |
зрения, в |
частности |
в связи с |
местом, занимаемым |
ими в более |
широкой |
|
теории неупругих сред (см., например, [36, 20, |
22, 45]). |
|||
Существенно |
более старый |
минимальный |
принцип |
|
для результирующего поля напряжений при заданных пластических деформациях был впервые получен Колоннетти в 1918 году [10, 11, 12] и позднее независимо Рейсснером [74]. Этот принцип можно рассматривать как обоб щение принципа Кастильяно [9] на случай упругой среды с заданными постоянными неупругими деформациями. Дополнительный минимальный принцип для деформаций был получен в 1949 году Гринбергом [23].
4.6. Принцип Хара— Кармана. Некоторые авторы выводили минимальные принципы, основываясь на зако нах пластичности деформационного типа; в сообщении Гринберга [23] дан обзор таких принципов. Конечно, получаемые при этом теоремы подчинены ограничениям деформационной теории (см. п. 2.6). Более того, мини мальные принципы деформационной теории (там, где они применимы) являются, в сущности, хорошо известными принципами теории малых деформаций упругих сред с нелинейным законом деформирования и едва ли могут рассматриваться как минимальные принципы упруго-пла стической среды [20, 44]. Поэтому мы считаем возмож ным опустить обсуждение принципов деформационной тео рии в данном обзоре общих теорем и ограничимся некото рыми замечаниями относительно принципа Хара—Кармана [26], представляющего значительный исторический интерес.
Принцип Хара —Кармана был сформулирован для иде
ально пластической среды с условием пластичности |
Ми- |
зеса (2.40). Пусть ст*; —любое статически возможное |
рас |
пределение напряжений, не противоречащее условию теку чести, т. е. подчиненное дополнительному условию
п о |
(4.21) |
40 |
§ 4. Минимальные принципы |
|
где |
s*f — девиатор |
напряжений, соответствующий о$; |
при |
этом, согласно |
принципу Хара — Кармана, действи |
тельные напряжения oi}- соответствуют абсолютному мини
муму выражения |
' |
|
Y \ |
AuhketjoZk dv~ \ o t i t i c dS |
(4.22) |
по сравнению со значениями этого выражения при всех допустимых напряжениях. Гринберг [23] доказал эту тео рему в 1949 году на основе соотношений Генки [27]
= |
(4-23) |
(еГ — полная пластическая деформация, р — неопределен
ный положительный параметр) с дополнительным предпо ложением, что на всех стадиях действительного про цесса деформирования не происходит разгрузки из состоя ний, лежащих на поверхности текучести. Это доказа тельство, по существу, является обратным по отношению к первоначальному результату Генки. Генки показал, что можно вывести соотношения (4.23), если считать спра ведливым принцип Хара — Кармана.
Неприемлемость соотношений (4.23) в качестве общего закона пластичности в настоящее время общепризнана. Если эти соотношения заменить законом течения, ассо
циированным с условием текучести Мизеса |
|
ev = *s«. |
(4-24) |
то принцип Хара — Кармана будет справедлив при следую щем новом ограничении: на протяжении всего процесса действительного нагружения напряженное состояние в любой точке, где достигается предел текучести, в после дующем должно оставаться неизменным. Очевидно, что это дополнительное ограничение заключает в себе также и прежнее предположение относительно отсутствия раз грузки.
В 1955 году Прагер [71] указал примеры, в которых принцип Хара — Кармана для материалов с законом тече ния (4.24) остается справедливым, хотя нарушается усло вие неизменности напряженного состояния в точках, где в процессе действительного нагружения достигался предел
§ 5. Теоремы о пластическом разрушении и теория равновесия 41
текучести. Эти. примеры дали повод предположить, что область применимости принципа может оказаться более широкой [71]. Здесь поэтому уместно отметить без дока зательства, что можно указать противоположные примеры, из которых следует, что принцип может оказаться непри годным, если упомянутое условие (неизменность напряже ний после достижения предела текучести) нарушается; такие примеры существуют даже для случая пропорцио нального увеличения внешних нагрузок.
§5. Теоремы о пластическом разрушении
итеория предельного равновесия
5.1.Определения. Поскольку внутренние напряжения
видеально пластической среде не могут где-либо пре-
-взойти локальный предел текучести, |
внешние |
нагрузки |
на тело из идеально пластического |
материала |
не могут |
увеличиваться беспредельно. При достижении нагрузками некоторых критических значений наступает пластическое разрушение, т. е. неограниченное возрастание деформа ций при постоянных нагрузках1), вследствие которого тело оказывается неспособным воспринимать дальнейшее увели чение внешних нагрузок. Такую критическую систему нагрузок называют системой предельных нагрузок. Рас
пределение скоростей деформации при разрушении еФ
часто называют механизмом разрушения.
Для упрощения при выводе основных теорем о пласти ческом разрушении ограничимся наиболее важным случаем,
когда |
значения перемещений, заданные на части поверх |
|||
ности |
Su, равны |
нулю |
(uio= 0)*2). |
Как и прежде, начнем |
х) |
Следует помнить, что все деформации предполагаются малыми |
|||
и соответствующие |
им |
изменения в |
геометрии не учитываются |
|
при составлении уравнений равновесия. Поэтому данное определение пластического разрушения и последующие теоремы относятся только
кначальной стадии разрушения.
2)Читатель может убедиться, что теоремы будут также справед
ливы, если участки поверхности S u испытывают жесткие смещения и если на этих участках S u заданы результирующие внешних нагру
зок (результирующие силы и результирующие моменты).