книги / Общие теоремы теории упруго-пластических сред
..pdf62 |
§ 6. |
Теоремы о приспособляемости |
|
||
вале времени 0 < |
t < |
можно рассматривать |
как пер |
||
вую часть допустимого цикла, если закончить |
этот цикл |
||||
в интервале времени |
< t < Г |
подходящими скоростями: |
|||
пластической деформации г"цч(t) |
так, чтобы |
|
|||
|
|
|
т |
|
|
|
Ае/уо = Ахе”х -f- ^ ei/o dt |
(6.25) |
|||
было кинематически возможным распределением деформаций. Такое построение цикла скоростей пластической дефор мации легко осуществляется, если условие текучести допускает всевозможные типы скоростей пластической, деформации, т. е. если для всех видов напряженных состояний предел текучести конечен. Обозначим через; AxQjy и А^'цг приращения остаточных напряжений и соот ветствующие им приращения упругих деформаций в первой части цикла, т. е. в интервале времени 0 < ^ <7Х при. фактической программе нагружения. Тогда подходящим окончанием цикла будут скорости пластической деформации
kjo (t) = |
при t1 < t < T . |
(6.26) |
Действительно, скорости пластической деформации (6.26) удовлетворяют условию (6.25), поскольку Aje^-l-AjS-,-,. является кинематически возможным полем деформаций. Более того, скорости изменения остаточных напряжений
Qijo (0. соответствующие (не зависящим от времени) ско ростям пластической деформации (6.26), отвечают линей ному убыванию с течением времени остаточных напряже ний от их значений A в момент t = tt до нуля в мо мент t — Т. Поэтому
ё-уо(t) = - |
при |
t x< t < T |
(6.27) |
и скорости uia (t) в |
интервале t1 |
< t < T равны |
нулю. |
Таким образом, полный цикл скоростей пластической деформации характеризуется следующими значениями:
е";0 if) = 6lj (t), |
eljo (t) = e'ijr (t) |
При 0 < t < tt, |
|
kio(t) = Y ^ , |
ёуо (t) = |
A^ijr |
(6.28) |
при ti < t < T. |
|||
|
|
T - u |
|
|
§ 6. Теоремы о приспособляемости |
63. |
Уравнение виртуальных работ для интервала 0 < |
t < tx |
|
при фактической программе нагружения |
|
|
* \ |
dv + \ W o ds = [ aukjo dv |
(6.29) |
|
sp |
|
преобразуется с помощью соотношений (6.1), (6.2) и |
(6.21) |
|
к следующему виду: |
|
|
^ XiUi0 dv + |
^ Pi«i0 dS = ^ аие’ц dv + ^ Qu e/Ur dv. |
(6.30) |
|
dp |
|
Первый член правой части есть скорость изменения плас тической работы в программе нагружения
^ au*ljdo - ^ ]'(l'{,)dv . W'„; |
(6.31) |
второй член представляет собой скорость увеличения упругой энергии остаточных деформаций
А* = ^ ^ Que'ijr dv. |
-(б.32) |
Правая и левая части уравнения виртуальных работ тождественно равны нулю во второй части цикла tx < t < Т. Интегрируя (6.30) по времени от / = 0 до t = t1 и учитывая неравенство (6.8), находим
h
k 5) dt { J oiie'lidv+ J |
Qi^'ijrdvX < |
dt \) F(e'ij)dv + |
|
*o |
т |
|
|
|
|
|
|
|
+ ] d t ^ |
F ^ j ^ f ^ d v . |
(6.33) |
|
h |
|
|
Обозначив через Wp полную величину пластической работы, произведенной при осуществлении программы нагружения, и через ДХЛ* — увеличение энергии остаточных деформа ций (6.32) при этой программе, получим окончательно
(k — 1) Wp< J F (AlS(/r) dv - М И *. |
(6.34) |
Запретим теперь, что при пропорциональном возрастании остаточных напряжений Ajg^- (обусловленном программой нагружения) функция F (Aje^y) также возрастает пропор
64 |
§ 6. Теоремы о приспособляемости |
ционально. |
Учитывая, кроме того, что интеграл А1Л*, |
квадратично зависящий от остаточных напряжений, сущест венно положителен, заключаем, что правая часть (6.34) имеет верхнюю границу. Поскольку 6 > 1, то полная величина пластической работы Wp в программе нагруже ния также ограничена.
Приведенное доказательство основано на предположе нии, что для всех видов напряженных состояний предел текучести конечен. Хотя для многих случаев такое дока зательство достаточно, поскольку существование беско нечно большого предела текучести для отдельных видов напряженных состояний более или менее гипотетично, однако широкое распространение критериев текучести Мизеса и Треска, в которых предел текучести бесконечен для случая гидростатического напряжения, делает жела тельным более общее доказательство. Для этого следует сконструировать такое поле перемещений vt, равных нулю на Su, чтобы
т К у + » м ) + Д 1 « а г |
(б-35) |
являлось распределением деформаций, |
которое может |
быть получено путем пластического деформирования при конечных напряжениях. Для выполнения этого требова ния в частном случае критерия текучести Мизеса или Треска необходимо, чтобы расширение, соответствующее (6:35),
всюду обращалось в |
нуль. |
выборе поля |
перемещений |
|
Заметим, что при |
таком |
|||
пропорциональное увеличение |
vt должно согласовываться |
|||
с условием пропорционального увеличения Д ^ - . |
деформа |
|||
Вторую часть цикла скоростей пластической |
||||
ции теперь следует взять в виде |
|
|
||
вуо (0 = у= Тх [ 4 |
Т+ vu t) + Д л'/г] при |
tx< |
t < Т. |
|
|
|
|
|
(6.36) |
При этом скорости изменения остаточных напряжений, соответствующие (6.36), опять будут давать линейное убывание с течением времени остаточных напряжений от значений A1Qij- в момент t = tx до нуля в момент t = T.
Поэтому &'цо (t) в интервале tx < t < Т снова выражается
§ 6. Теоремы о приспособляемости |
<>5 |
формулой (6.27),.а скорости будут иметь значения
“io (0 = Y z n ; ПРИ tx < t < T . |
(6.37) |
Выбирая в заданных пределах любые не зависящие от времени нагрузки Х {, pi в качестве нагрузок второй части цикла (?i < t < Т), можно, аналогично предыдущему, продолжить это доказательство, которое приведет в резуль тате к неравенству
(k — 1) |
( I vi<} + 4 vjt 4 |
+ AjEij,-) |
dv - |
—k ^ X ^ ^ v — k ^ p ^ d S - |
kAxA*. |
(6.38) |
|
Ограниченность правой части следует из того, что про порциональное возрастание v{ соответствует пропорцио нальному возрастанию A,Q;y.
6.6. Исторические замечания. Исследования упруго пластических конструкций, подвергающихся воздействию переменных нагрузок, по-видимому, были начаты в 1932 году работой Блейха [5], рассматривавшего конструкции с одной лишней неизвестной. Более общая теорема для ферм с произвольным числом лишних неизвестных была ука зана в 1936 году Меланом [57]. В 1938 году Мелан дока зал общую теорему для трехмерного континуума, которая
носит |
его |
имя [58, 59]. Существенные упрощения |
весьма |
|
сложного |
доказательства |
Мелана были предложены |
||
в 1951 |
году Саймондсом |
[81] и несколько позже |
Койте- |
|
ром [49, 53]; обобщение на случай среды, подвергнутой также воздействию температурных циклов, дано в 1957 году Прагером [72]. Упрощенная форма теоремы применительно к балкам и рамам была выведена на базе специальных предположений Нийлом [62] в 1950 году; вскоре эта специа лизированная теорема была включена в общую теорию, причем были обнаружены некоторые недостатки доказа тельства Нийла [49]. Вторая теорема о приспособляемости была установлена в 1956 году Койтером [53]. Несколько ранее, в 1951 году, Саймондс и Нийл развили изящный метод приложения теоремы Нийла к сложным конструкциям [80], который внешне напоминает вторую теорему о приспо-
5 В, Т . Койтер
66 § 6. Теоремы о приспособляемости
собляемости; однако фактически этот метод основан на остроумном использовании первой теоремы.
Внимательное сопоставление показывает, что теоремы о пластическом разрушении являются предельным слу чаем теорем о приспособляемости, соответствующим совпа дению верхнего и нижнего пределов для всех нагрузок. Тем не менее теоремы о разрушении стоит рассматривать отдельно не только потому, что они имеют громадное практическое значение, но также потому, что они более наглядны. С другой стороны, весьма удивительно, что связь между теоремами о разрушении и теоремами о при способляемости до настоящего времени, по-видимому, оста валась незамеченной и что теория пластического разру шения развивалась совершенно независимо. Частично это объясняется тем, что в высшей степени оригинальные работы Мелана весьма трудны для понимания.
Наконец, следует отметить, что исследование перемен ных нагрузок не освобождает от необходимости упругого анализа. Напротив, анализ приспособляемости на базе совместного использования двух теорем требует весьма детальных вычислений упругого распределения напряже ний. С практической точки зрения это обстоятельство является весьма серьезным недостатком анализа приспо собляемости по сравнению с анализом пластического раз рушения и может привести к ограничению числа приложе ний теории приепособляемости к расчету и проектированию упруго-пластических конструкций. Вначале казалось, что вторая теорема облегчит анализ приспособляемости, однако это предположение пока еще практически не подтвердилось.
§7. Существование решений
7.1.Принцип Дирихле. Строгие математические дока зательства существования решений краевых задач исклю чительно трудны. В настоящее время удовлетворительные доказательства известны в классической линейной теории упругости, однако едва ли можно удивляться тому, что такие доказательства пока еще не получены в существенно более сложной теории малых деформаций упруго-пласти ческой среды.
§ 7. Существование |
решений |
е? |
Многие трудности устраняются, если вместо строгого |
||
математического доказательства |
применить |
в известной |
степени эвристический или интуитивный подход, опираю щийся на принцип Дирихле. Этот принцип состоит в пред положении, что наличие нижней границы функционала эквивалентно существованию минимума. Несмотря на отсут ствие доказательства этого утверждения, принцип Дирихле является чрезвычайно полезным средством при рассмотре нии вопроса о существовании решений. На базе этого принципа ниже будет показано, что краевая задача, сфор мулированная в п. 3.1, действительно имеет решение, если сделать дополнительное предположение о том, что класс статически возможных распределений скоростей напря жений, определенный в п. 4.1, не является пустым; зна чение этого предположения рассматривается в п. 7.4. Нам кажется, что эвристическое доказательство существования решения можно превратить в строгое доказательство путем применения современных прямых методов вариа
ционного |
исчисления, развитых Курантом и его шко |
||||
лой [13], |
однако дальнейшее обсуждение этого чисто |
||||
математического |
аспекта |
проблемы |
выходит за |
рамки |
|
настоящей |
статьи. |
|
|
|
|
7.2. |
Основное неравенство. Цепочка неравенств (4.4), |
||||
относящихся к |
любому |
статически |
возможному |
распре |
|
делению скоростей изменения напряжений о*,- с соответ ствующими им по закону текучести скоростями деформа
ции efj и к любому кинематически возможному распреде
лению скоростей деформации е?у с соответствующими им по обращению закона текучести скоростями изменения,
напряжений о?„ была выведена в предположении, что реше ние краевой задачи, сформулироранной в п. 3.1, существует. Однако неравенство
> — у ^ OijEij dv + ^ Xiul dv+ ^ Piii\ dS |
(7.1) |
5*
68 |
§ 7. Существование решений |
можно доказать без использования предположения о суще ствовании решения краевой задачи. Применяя принцип виртуальных работ к статически возможному распреде
лению скоростей изменения напряжений о*,- и к кинемати
чески возможному полю скоростей деформации е®/, мы можем привести (7.1) к следующему виду:
^ ( | |
офе& + ~ k k i - a ! A ) d v > 0. |
(7.2) |
Теперь нетрудно |
показать, пользуясь законом |
течения, |
что подинтегральное выражение (7.2) действительно всегда
положительно, если только о*}- ^ <т“/, в этом последнем случае подинтегральное выражение обращается в нуль. Мыне приводим здесь доказательства, так как оно вполне аналогично изложенному в п. 4.3.
7.3. Доказательство существования. Рассмотрим про блему минимизации функционала
^ ^ ~ atjeft + у cfijfii} — 0 *81/ ^d v = min, |
(7.3) |
который теперь будем рассматривать в классе кинемати
чески возможных скоростей деформации е% при фиксиро ванном статически возможном распределении скоростей
изменения напряжений а*,-. Пусть е"" — распределение ско
ростей деформации е®,-, которому отвечает минимум (7.3),
и пусть at/ —соответствующие скорости изменения напря жений, вычисляемые в соответствии с законом течения. Из принципа Дирихле следует, что решение проблемы минимизации (7.3) существует.
Закон течения упрочняющейся среды задан соотноше ниями (2.26) и (2.27). Для любого кинематически воз
можного поля скоростей деформации е®,- и для решения
минимальной проблемы е"® эти соотношения принимают вид
еЬ = A ijjslu + 2 clhafl i |
, |
(7.4) |
а |
|
|
= Aijhka ^ + 2 СЛ„Д® i |
, |
(7.5) |
§ 7. Существование решений |
69 |
где с£ или с°а отличны от нуля (и, следовательно, равны единице) только тогда, когда fa — 0 и выполняется одно из неравенств
to __ d/g |
Л» |
о |
|
|
МО _ |
а/ . |
|
Л |
|
или |
|
'О „00 |
,> |
(7.6) |
|||||
д а .. |
11 > |
|
|
/а — |
O-ij |
|
|||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1- >1;;. |
|
|
|
(7.7) |
|
|
|
Olj: |
1«п |
1 |
А о и , |
|
|
|
(7.8) |
|
|
|
*= <4/ |
-1 |
|
|
|
|
|
где T)i3 —совместное поле скоростей деформации, которому
отвечают скорости, равные нулю на Su\ знаки fa и fa
будут совпадать, если выбрать г\^ всюду достаточно
малыми. При ЭТОМ 6'„ ■- са и
|
’ll! — ^ ■ i i h l A a h h Jr 2 |
Са°^а |
З с Д ^ |
a h k ~ 7 p f ~ - |
(7*9) |
||||
|
|
|
|
|
а |
|
Лй |
i j |
|
С другой стороны, из соотношения |
|
|
|||||||
|
4 ой,- = 4 |
-I- у 2 |
<Ла/«г |
(7.10) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
следует, |
поскольку |
C J = CQ°, |
ч т о |
|
|
|
|||
|
|
у О?,-е?,- |
^ |
= Aijhho^Aahk+ |
|
||||
|
+ 2 |
CaKfa |
hk |
|
^ i m ^ aiA o hh+ |
|
|||
|
„ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ j |
2 |
Л |
( ^ r - Aohfe) 2 = < Ч 3+ R t (Aahk), |
(7.11) |
|||||
|
_ |
|
4 |
|
hh |
y |
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
где /?2 (Aahh) — неотрицательная |
квадратичная функция |
||||||||
своих аргументов. |
|
Минимальное |
свойство (7.3) |
теперь |
|||||
может быть выражено неравенством |
|
|
|||||||
|
|
^ |
[ « |
- |
®г* ) Т)и |
+ # 2 A |
a h k ) l |
d v > 0 . |
(7.12) |
70 |
§ 7. Существование решений |
Путем соответствующего выбора r]i3 второй (квадратичный) член в подинтегральном выражении можно сделать сколь угодно малым по сравнению с первым. При этом
[ (ff??-cf,)% ,d» = 0 |
(7.13) |
для всех достаточно малых совместных скоростей дефор
мации |
Hij, |
которым отвечают скорости, равные нулю |
на Su. |
В |
соответствии с принципом виртуальных работ |
a®®— a*j представляет собой распределение скоростей изме нения остаточных напряжений, которому отвечают равные нулю на Sp скорости изменения поверхностных нагрузок.
Следовательно, а"“ является статически возможным рас пределением скоростей изменения напряжений; поскольку это распределение скоростей изменения напряжений удо влетворяет всем условиям (3.1) —(3.4), оно является (един
ственным) решением ai;- краевой задачи.
В случае идеально пластической среды соотношения между напряжениями и деформациями для произвольного
кинематически возможного поля скоростей деформации е?;-
и для решения е?° проблемы минимизации (7.3) будут такими:
k = Aiihkolh+ 2 K |
4 ^ , |
(7.14) |
а |
11 |
|
sy = Amko°hl + 2 K |
0- ^ , |
(7Л5) |
a |
ij |
|
где Ъ’а или Ха1 отличны от нуля (и, следовательно, поло жительны) только тогда, когда /а = 0 и выполняется одно из условий
Га = 4 ^ о Ь = 0 ИЛИ |
= |
= 0. |
(7.16) |
а |
|
а |
|
Вводя, как и прежде, t]i;- и Aai}, определенные соотноше ниями (7.7) и (7.8), находим
= ^ ijh h ^ a hh + 2 |
_ |
~до |
(7.17) |
9
§ 7. Существование решений |
71 |
С другой стороны, |
из |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
~ о?Д- = 1 |
A im a%0h, |
|
(7.18) |
||||
теперь следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
~2 |
|
2 " |
|
= |
A ijh k O ijA O h k - f - - g - A ijh h A O ijA e iik — |
|||||
|
= |
|
+ |
T |
4 MfeAai;-Aah(i- |
2 |
(*• - ^°) /£°. |
(7.19) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
Последний |
член |
в |
(7.19) только |
тогда отличен |
от нуля |
||||||
и притом |
положителен, |
когда |
/о* < |
0 |
и fa —0; при этом |
||||||
его можно также представить в форме |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
- Ла ( К - К ° ) ( № - ' № , |
|
(7.20) |
|||||
из |
которой |
следует, что этот член является |
малой вели |
||||||||
чиной второго порядка, |
если rji3стремятся к нулю. Таким |
||||||||||
образом, |
для всех достаточно малых совместных скоростей |
||||||||||
деформации |
|
которым отвечают скорости, равные нулю |
|||||||||
на |
Su, |
снова |
будет |
иметь |
место |
(7.13); |
дальнейшее |
||||
доказательство аналогично изложенному выше для случая упрочняющейся среды.
7.4. Заключительные замечания. Возникает мысль, что можно также получить доказательство существования реше
ния краевой задачи, поменяв ролями а*■ и е?у в проблеме минимизации (7.3), т. е. рассматривая минимум (7.3) в классе статически возможных скоростей изменения напря
жений otj при фиксированном кинематически возможном
поле скоростей деформации е?у. Заметим здесь без дока зательства, что такой подход действительно приводит к эквивалентным результатам. Более того, легко заметить, что функционал (7.3), рассматриваемый как функционал
одновременно от о*{ и е°/ при действительном распределе нии скоростей изменения напряжений и деформаций имеет
абсолютный минимум, равный нулю. |
предположения |
||
Наконец, |
остановимся на |
значении |
|
о том, что |
класс статически |
возможных |
распределений |