книги / Моделирование химико-технологических процессов
..pdfдля стационарных условий
V{C0 - C ) = Ma, |
(5) |
где Мй- прирост массы кристаллов в аппарате в ходе процесса.
Рис. 1. Принципиальная схема кристаллизатора
Таким образом, количество вещества, перешедшего из раствора в твердую фазу V(C0 - С ) , должно быть равно приросту массы М находя щихся в аппарате кристаллов. Рассмотрим сначала изменение массы одно го кристалла размером г, считая условно, что он имеет шаровидную фор му. Если в начальный момент времени размер кристалла г, то через время dt его размер достигнет величины г + dr, а масса соответственно увеличит ся на величину
dm = n4r2drp, |
(6) |
где р - удельная плотность кристаллов. Входящее в уравнение (6) dr мож
но заменить выражением w d t-d r — , тогда уравнение (6) перепишется в dt
виде
где величина dt принята равной единице.
Прирост массы всех кристаллов размером г в единице объема на ос
новании уравнения (5.7) и условия N = f(r )d r определяется как |
|
||
|
dM = n4r2w pf(r)dr. |
|
(8) |
Прирост массы всех кристаллов размера от г = 0 |
до г = rmax в еди |
||
нице объема |
|
|
|
М - \п4r 2wpf(r)dr = 7c4wp jr 2f(r )d r . |
|
(9) |
|
о |
о |
|
|
Прирост кристаллов во всем объеме аппарата составит |
|
||
|
Мй =МУл. |
|
(10) |
Таким образом, окончательное уравнение материального баланса |
|||
для стационарных условий примет вид |
|
|
|
У(С0 - С )= Fait4wp f r 2f ( 0)exp[ — —Г \dr. |
(П) |
||
|
wt |
|
|
Используя уравнение (11), являющееся математическим описанием непрерывной кристаллизации в аппарате со структурой потока, близкой к идеальному перемешиванию, можно было бы определить оптимальные условия протекания процесса. Однако на данном этапе мы не можем этого сделать, так как неизвестна зависимость линейной скорости роста кри сталлов w от режимных параметров: температуры - Г, пересыщения - (С - С*) и энергии активации - £ а, зависящей от природы вещества кри сталлов. Найдем эту зависимость. Из теории известно, что линейная ско рость роста кристаллов связана с пересыщением зависимостью вида
W = ^ = K (C - C ')n, |
(12) |
dt |
|
где п - коэффициент, зависящий от природы вещества, С и С* соответст венно текущая и равновесная концентрации, К - константа,
K = K0 ex p (-E jR T ), |
(13) |
где К0 - константа, £ а - энергия активации, Т - температура, R - |
универ |
сальная газовая постоянная. |
|
Таким образом, скорость роста кристаллов w можно определить с
помощью уравнений (12, 13), если известны параметры л, и £ а. На сего
дняшний день нет точных методов расчета этих параметров, поэтому их определяют в основном экспериментально.
Выразим скорость кристаллизации через функцию плотности рас
пределения кристаллов по размерам. Для этого уравнение |
(3) приведем к |
виду |
|
1 п / (г )= 1 п / (0 )--^ . |
(14) |
wt |
|
Уравнение (14) является уравнением прямой линии, выраженным в полулогарифмических координатах 1 п / (г ) - г . Определив выше описан
ным способом функцию / (г) и прологарифмировав ее, получим линей ную зависимость, где In / (0) есть значение In / (г) при г = 0 (рис. 2). Зна чение скорости w в этом случае можно определить через тангенс угла на
клона прямой линии к оси абсцисс, |
|
1 |
1 |
tg a = — -> w = |
(15) |
wt |
t tg a |
Рис. 2. Зависимость логарифма функции плотности распределения от размера частиц
Таким образом, на основании экспериментально полученной функ ции распределения кристаллов по размерам мы можем определить значе ние линейной скорости кристаллизации и функцию/ 0 ), которая характе ризует скорость образования зародышей. Но полученное значение скоро
сти будет справедливо только для условий проведения опыта.
Для определения зависимости w - (С - С *) уравнение (12) приводят
к виду |
|
lnw = lnA: + rtln (C -C ’ ), |
(16) |
вычисляют значение скорости кристаллизации для нескольких опытов с различным пересыщением и строят зависимость в координатах
ln w - ln (C - C ') .
На полученной зависимости значение In w в точке 1п(С - С ’ ) = 0 есть InA', а коэффициент п есть тангенс угла наклона полученной прямой к оси абсцисс п = tg a . Таким образом, определив коэффициенты К и п , мы смо жем рассчитать скорость кристаллизации для различных значений пере сыщения ( С - С ) .
Чтобы определить зависимость скорости кристаллизации от темпе ратуры Т, уравнение (13) следует привести к виду
1пЛГ = 1 п * о - | * : |
(17) |
и проделать аналогичные опыты, но для нескольких значений температу ры раствора. По результатам опытов построить зависимость в координатах 1 п £ - 1/Т, где \пК0 есть значение 1пЛТ при 1/!Г-> 0, а величина Ел определя ется через тангенс угла наклона прямой tg a = £ а / R -> £ а = R tg a .
Таким образом, можно найти зависимость скорости кристаллизации от параметров процесса. Решая совместно уравнения (И ) и (12), можно определить оптимальные условия протекания процесса непрерывной кри сталлизации в аппарате со структурой потока, близкой к идеальному пе ремешиванию.
Примеры использования типовых моделей
для описания процесса теплообмена
Опишем нагрев хладоагента конденсирующимся паром в теплооб меннике (рис. 1) с помощью типовых гидродинамических моделей.
GU TX
Здесь G\ и G2 - массовый расход пара и хладоагента; Т\ - темпера тура пара и конденсата; 72Н, Тгк “ начальная и конечная температура хла доагента соответственно.
Идеальные модели
Модель ИВ
На основании уравнения теплового баланса слоя с элементарной толщиной dx изменение количества тепла, переносимого хладоагентом, равно количеству тепла, передаваемого паром через поверхность теплопе редачи,
w2S2p2cp2dT2 =K(T] -T 2)dF -> G2cp2dT2 =K(Tl -T 2)ndx
О )
^ |
dT2 |
КП(Т{ -Т 2) ' |
|
dx |
&2ср2 |
где w2 - скорость течения хладоагента в трубном пространстве; S2 - пло щадь поперечного сечения внутренней трубы; р2 - удельная плотность
хладоагента; G2 = W2S2 P2 ~ массовый расход хладоагента; ср2 - удельная теплоемкость хладоагента; К - коэффициент теплопередачи; Т2 - текущая температура хладоагента; х - расстояние от входа в теплообменник; dF = Пdx - поверхность теплопередачи в элементарном объеме; П - смо ченный периметр.
Интегрируя уравнение (1), получим зависимость изменения темпера туры хладоагента по длине теплообменника
’J J SL .J I L 'J* |
1п |
ТГ Т2 |
КХ1. |
|
|
||
r2„ ^1 - |
G2 cp2 О |
|
Т\“ ^2н |
G2cp2 |
|
|
|
( |
|
\ |
|
|
( |
|
(2) |
КП |
|
|
АП |
\ |
|||
тг т2 = ехр • |
X |
Т2 |
~Т\~ (Т\ - Т2н)ехр |
X |
|||
Т\-Т2н |
G 2c p2 |
) |
|
|
\ |
&2с р2 |
) |
Модель МП
Модель предполагает полное перемешивание обоих теплоносителей, поэтому его температура будет постоянной по длине теплообменника и определится из следующего уравнения теплового баланса:
G2CP2{T2K-T 2h) = KF(T] -T 2k). |
(3) |
Реальные модели
Ячеечная модель
Предположим, что структура потока в трубном пространстве с дос таточной степенью точности воспроизводится ЯМ . Составив уравнения материального баланса для ячеечной модели, получим следующую систему уравнений:
1-я ячейка
z-я ячейка |
T!f) j f - 0 |
= |
107 |
(TJ |
7Ч')) |
|
|
nG2cp2 |
|
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
л-я ячейка |
т |
_ |
K F |
[т |
т \ |
1 |
|
|
|
U> |
|
|
|
|
|
Ячеечная модель с рециркуляцией
Если учесть обратное перемешивание потока в трубном пространст ве, то ЯМ преобразится в ЯМР.
т2н +/7’2(2)-(1 +/)7’2(1) = — |
- Г2(1)) |
П Ь 2Ср 2 |
|
(1 +/) г]-1)+ / Т$м) - (1 +2/У г = |
(г, - Т') |
(5) |
|
п^2ср2 |
|
(1 + /)тг1- (1 + Ж " = —^ —(тх- т2п).
nG2cp2
Система уравнений (4) или (5) является основой для моделирования процесса теплообмена.
Диффузионная модель
Для стационарных условий теплопередачи уравнение диффузионной модели запишется следующим образом:
n d 2T2 |
dT2 |
КП{ТХ- Т 2) |
|
(6) |
|
- А — т +w2 ~ r = —^ |
|
||||
dx |
|
dx |
SP2cp2 |
|
|
где D\- коэффициент продольного перемешивания в потоке теплоносителя. |
|||||
Решение уравнения (6) имеет вид |
|
|
|
||
Т2 = С\е х р ^ х )* С2 exp(s2;t)+ 7J |
|
(7) |
|||
где |
|
|
|
|
|
t |
|
w1 l+4D , ш |
|
|
|
~yv2±. |
|
-------- |
|
|
|
sl,2 : |
1 |
$Р2ср2 |
|
(8) |
|
|
-ID , |
|
|||
|
|
|
|
||
Константы Cj, C2 можно найти из граничных условий |
|
||||
|
|
|
dT-, |
|
|
72 = 72н пРи * = 0 |
2_ _ |
х = L , |
(9) |
||
= 0 при |
|||||
|
|
|
dx |
|
|
где L - длина теплообменника. В результате получим систему уравнений, решение которой позволит определять изменение температуры теплоноси теля по длине теплообменника,
S^ L (TX- T 2н). |
_ S^ L (TX- T 2h) |
(10) |
С1~ ^2» ~ Г| “ •s2eS2L- s s'L |
Гг=тs2e L —s ' |
МОШ ЕВ Евгений Рудольфович
МОДЕЛИРОВАНИЕ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Учебное пособие
Редактор и корректор И.Н. Жеганина
Лицензия ЛР № 020370
Подписано в печать 18.05.06. Формат 60x90/16. Набор компьютерный. Уел. печ. л. 6,125. Уч.-изд. л. 7,0.
Тираж 100. Заказ 60-507/2006.
Редакционно-издательский отдел Пермского государственного технического университета.
Адрес: 614600, Пермь, Комсомольский пр., 29
Отпечатано в Отделе электронных издательских систем ОЦНИТ Пермского государственного технического университета.
Адрес: 614600, Пермь, Комсомольский пр., 29, к. 113. Тел. (3 4 2 )2 -1 9 8 -0 3 3