книги / Моделирование химико-технологических процессов
..pdfДля моделей с сосредоточенными параметрами характерно постоян ство переменных в пространстве. Их математическое описание включает алгебраические уравнения аналогичные уравнению (1.9) либо дифферен циальные уравнения аналогичные уравнению (1.10) первого порядка для нестационарных процессов. Примером объекта, описываемого данной мо делью, может также служить аппарат идеального перемешивания.
У моделей с распределенными параметрами переменные процесса изменяются и во времени, и в пространстве, или только в пространстве. Их математическое описание обычно включает дифференциальные уравнения в частных производных, либо обыкновенные дифференциальные уравне ния в случае стационарных процессов с одной пространственной перемен ной. Примером процесса, описываемого такими моделями, являются труб чатые аппараты с большим отношением длины к диаметру и значительной скоростью движения потока.
2. О СНОВНЫ Е ПРИНЦИПЫ И НАПРАВЛЕНИЯ
ПРИ ПОСТРОЕНИИ И РЕШ ЕНИИ М АТЕМ АТИЧЕСКИХ
МОДЕЛЕЙ
Входе математического моделирования всегда приходится решать три основные задачи:
-составление модели;
-нахождение решения модели;
-проверку модели на адекватность.
Рассмотрим последовательно все три задачи.
2.1. Составление математической модели
Составление математических моделей осуществляют в соответствии с двумя взаимно перекликающимися аспектами: смысловым и аналитиче ским. Смысловой аспект представляет физическое описание объекта, ана литический - математическое описание объекта. Первичным, как правило, является физическое описание объекта. При этом выделяют протекающие в объекте «элементарные» процессы, формулируют основные допущения, принимаемые для их описания, и описывают. В данном случае под «эле ментарным» процессом понимают физико-химический процесс, относя щийся к определенному классу явлений, например массообмен, теплопе редача и т.п. Обычно при математическом моделировании принимают во внимание следующие «элементарные» процессы:
-движение потоков фаз;
-массообмен между фазами;
-теплопередачу;
-изменение агрегатного состояния;
-химические превращения и др.
Полнота рассмотрения «элементарных» процессов зависит от их ро ли, степени изученности и глубины взаимосвязи в общем процессе, а так же желаемой точности описания. Взаимосвязь может быть очень сложной, поэтому на практике обычно делают различные упрощающие модель до пущения. Например, при физическом описании процесса ректификации выделяют следующие «элементарные» процессы:
-гидродинамику потоков жидкости и пара в колонне;
-массообмен между жидкостью и паром;
-теплопередачу между жидкостью и паром;
-испарение жидкости и конденсацию пара.
Математическое описание объекта обычно начинают с математиче ского описания «элементарных» процессов. Если есть необходимость, проводят эксперименты в условиях, максимально приближенных к усло виям эксплуатации.
Как правило, сначала исследуют гидродинамическую модель про цесса, являющуюся основой структуры математического описания всего объекта, затем кинетику химических реакций, процессы массо-, теплооб мена и т.д. После этого с учетом гидродинамических условий составляют математические описания каждого из этих процессов. Заключительным этапом создания модели является объединение математических описаний «элементарных» процессов в единую систему уравнений математического описания всего объекта.
Составление математических моделей в зависимости от реальных условий может производиться различными методами: аналитическим (на основе данных полученных ранее), экспериментальным и эксперимен тально-аналитическим. Рассмотрим их последовательно.
Аналитический метод
Этот метод заключается в том, что вывод уравнений математическо го описания осуществляется на основании теоретического анализа физи ческих и химических закономерностей протекания процесса, конструк тивных параметров аппаратуры и свойств перерабатываемых веществ.
При выводе уравнений используются фундаментальные законы со хранения вещества и энергии, кинетические закономерности протекания химических процессов, процессов тепло-, массопереноса и других.
Аналитический метод используется для составления моделей только хорошо изученных процессов и не требует проведения экспериментов.
Недостатком этого метода является сложность решения полученных уравнений в случае сравнительно полного описания объекта.
Рассмотрим пример составления математического описания анали тическим методом. Пусть требуется получить математическую модель, описывающую закономерности движения частицы твердого материала в сепарационной зоне аппарата с кипящим слоем в зависимости от условий обтекания потоком.
Движение дисперсного материала в сепарационной зоне аппарата с кипящим слоем осуществляется в условиях восходящего потока газа, имеющего относительно низкую концентрацию твердой фазы. Для упро щения модели примем несколько допущений: взаимодействие между час тицами материала отсутствует; частицы имеют шарообразную форму и движутся по прямолинейным траекториям; действующие на частицы си лы, кроме сил тяжести и сопротивления, пренебрежимо малы; скорость потока во всех точках поперечного сечения аппарата равна средней скоро сти потока.
Выделим «элементарные» процессы. С учетом принятых допущений таких процессов два: гидродинамическое взаимодействие частицы с вос ходящим потоком газа и взаимодействие с гравитационным полем земли. Проанализируем физические закономерности подъема частицы в зоне се парации, скорость витания которой больше скорости потока. В начальный момент времени, вылетая из слоя под гидродинамическим воздействием струй газа, частица обладает скоростью WH и соответственно кинетиче
ской энергией Ен = mWн2 / 2 . При движении частицы вверх, под действием сил сопротивления Fc и тяжести FT, скорость и кинетическая энергия час
тицы уменьшаются и в точке максимального подъема Я тах становятся равными нулю: Жк=0 и Ек = 0.
Рассмотрим элементарный участок пути dH, на котором скорость частицы изменится на величину dW , а кинетическая энергия на величину
d E , равную |
|
dE = mWdW |
(2.1) |
Изменение кинетической энергии произойдет в результате выполне |
|
ния работы по преодолению сил сопротивления и тяжести, |
|
dE = (Fc + FT)dH = -X SPn(W -W n)\W-Wn\+ mg dH, |
(2.2) |
где m ,S - масса и площадь миделева сечения частицы соответственно.
т = |
iid2 |
(2.3) |
S |
||
|
T |
’ |
здесь X - коэффициент сопротивления частицы; W - текущая скорость частицы; ^ -ср ед н и й диаметр частицы; рп,р - удельная плотность потока
газа и частицы соответственно; Wn - средняя скорость потока газа; g - ус корение силы тяжести.
Приравняв правые части уравнений (2.1) и (2.2), с учетом выражений (2.3), получим
3Xpn(W -W n}W -W n\' 1
WdW = g |
dH . |
(2.4) |
4рgd
Умножим и разделим дробь в квадратных скобках на коэффициент сопротивления частицы в условиях витания Хв . Тогда с учетом зависимо сти скорости витания WB от параметров процесса и частицы
4рgd
ЗЬ .РП ’ |
|
(2.5) |
|
|
|
получим |
|
|
X{fV-Wn}W -W n\ . |
(2.6) |
|
WdW = g |
dH . |
|
X r f |
+1 |
|
Уравнение (2.6) хорошо поясняет физическую сущность процесса. Видно, что изменение скорости частицы пропорционально величине g, а также зависит от соотношения сил сопротивления в текущих условиях (числитель) и условиях витания (знаменатель). Решим это уравнение для условий ламинарного режима обтекания частицы потоком газа. В этом
случае X = 24/R e и Хв = 2 4 / R e B, где Re и ReB значения критериев Рей
нольдса соответственно для текущих условий и условий витания. Подста вив значения X и Хв в уравнение (2.6), получим
|
W -W t |
dH у |
(2.7) |
|
WdW = g |
*- + 1 |
|||
разделив переменные, будем иметь |
|
|
|
|
н |
1 wf |
w |
dW. |
(2.8) |
|
||||
\dH = - \ |
W - W |
|||
о |
8fr„ |
п + i |
|
|
W.
Сделав несколько преобразований и выполнив подстановку
Н |
1 |
п т |
- |
|
н |
. |
tr, |
W |
|
|
\d H = \ \ - w |
w |
dW -» |
\dH = - |
f -------- 7 |
dW |
(2.9) |
||||
О |
8w„ W |
"JL + I |
о |
8 r HK |
x_ E a. |
|
|
|||
|
|
w,. |
|
|
|
|
Wa |
w. |
|
|
-> |
H |
1 |
|
w |
|
H |
i Wt w |
|
(2.10) |
|
fdH = — |
|
f ----------- dW -> |
\dH = - \ |
— dW |
|
|||||
|
о |
Swa aW + b |
|
0 |
8w „X |
|
|
|||
получим решение интеграла для случая IVK= 0 |
|
|
|
|||||||
|
н Л |
|
|
|
_ |
|
|
)} |
|
(2.11) |
|
|
LI |
а |
а 2 |
J |
о |
а 2 |
|
|
|
|
|
Н = |
|
W |
|
wu |
- w u |
|
(2.12) |
|
|
|
|
( K - K ) l n W - W -+ 1 |
|
||||||
|
|
|
|
g |
|
\п в |
rrn |
|
|
|
где X = aW + b, a = |
|
b = 1 |
- S L . |
|
|
|
|
|
||
|
|
W. |
|
w. |
|
|
|
|
|
|
Определив WHи вычислив WBс помощью хорошо известных из кур са ПАХТ формул, по уравнению (2.12) можно легко найти максимальную высоту подъема частицы в условиях ламинарного режима.
Экспериментальный метод
Этот метод заключается в опытном определении функциональной зависимости между исходными параметрами и результатами процесса. Обычно такой подход используется для относительно узкого интервала изменения входных и выходных переменных. Достоинством эксперимен тальных методов является простота получения математического описания при достаточно точном описании свойств оригинала. К недостаткам отно сятся невозможность установления физической сущности процесса и не возможность распространения полученных эмпирических зависимостей на другие однотипные объекты.
Экспериментальные методы составления математического описания используются тогда, когда об объекте имеется мало теоретических сведе ний и основным источником данных является эксперимент, при этом экс периментатору доступен лишь контроль (иногда управление) над входны ми и выходными параметрами. В таких случаях говорят, что объект иссле
дования является «черным ящиком». Другими словами, под «черным ящи ком» подразумевают объект исследования, в котором для контроля дос тупны лишь входные и выходные параметры, а его внутренняя структура неизвестна (рис. 2.1.)
Входные |
Х\ - |
+ Y, |
Выходные |
||
параметры |
х 2, - |
* |
У2 |
параметры или |
|
параметры |
|||||
или |
|
|
|
||
факторы |
Х г - - |
* |
Уз |
оптимизации |
|
|
|
||||
Рис. 2.1. Принципиальная схема «черного ящика»
Входные параметры X называются факторами, в ходе проведения эксперимента они могут принимать различные значения, которые задают ся исследователем либо устанавливаются пассивно. Значения, принимае мые факторами, называются уровнями их варьирования. Например, на приведенном ниже рисунке фактор Х\ имеет 5 уровней варьирования.
|— |
------ 1---------- |
1 |
I_______I |
* i ( l ) |
* i(2 ) |
* i( 3 ) |
Хх(4) Хх(5) |
Рис. 2.2. Уровни варьирования фактора Х\
Выходные параметры Y называются параметрами оптимизации и за висят от факторов. В общем случае количество факторов не равно количе ству параметров оптимизации.
Когда требуется изучить влияние одного фактора на параметры оп тимизации, затруднений, как правило, не возникает ни с проведением опытов, ни с математической обработкой данных, полученных в результа те эксперимента.
Например, требуется изучить влияние расхода теплоносителя на ин тенсивность теплопередачи и гидравлическое сопротивление теплообмен ника сложной формы (пластинчатый, спиральный и т.п.). В этом случае фактором будет расход теплоносителя G (тн/ч), уровнями - принимаемые значения данного фактора: 1, 2 , ..., 10 , а параметрами оптимизации темпе ратура нагреваемого хладоагента Т (°С) и гидравлическое сопротивление аппарата Н (МПа).
В результате проведения эксперимента мы получим некоторые эм пирические зависимости параметров оптимизации от значений задаваемо го фактора Y\=f\(X) и Y2 = f 2(X) (рис. 2.3). Уравнения, описывающие эти зависимости, будут называться функциями отклика объекта на задаваемое возмущение.
PNRPU
Температура хладоагента Т |
■ Гидравлическое сопротивление Н |
Рис. 2.3. Зависимость параметров оптимизации от задаваемых значений факторов
Намного сложнее получить функцию отклика и провести экспери мент, когда требуется изучить влияние на процесс нескольких факторов одновременно. Так как, во-первых, резко возрастает количество опытов, равное N = п лгде к - количество задаваемых факторов, а п - количество принимаемых ими уровней. Например, при исследовании процесса пнев моклассификации обычно требуется изучить влияние, как минимум, четы рех факторов: скорость газа; расход материала; скорость витания и какойнибудь конструктивный параметр аппарата. Тогда, если мы хотим иссле довать каждый фактор на 5 уровнях, т.е. при 5 различных значениях, то количество опытов будет равно N = 54 = 625, что не всегда реально. Вовторых, возрастает сложность математической обработки полученных многофакторных зависимостей. Поэтому, когда факторов несколько, экс перимент проводят на основе законов математической статистики и назы вают статистическим экспериментом. При наличии необходимой инфор мации о факторах и параметрах оптимизации, законы статистики позво ляют построить математическую модель, которая представляет собой уравнение связи между входными и выходными параметрами. Количество опытов при этом может быть резко сокращено, без значительного сниже ния точности получаемой модели. Например, для 6-факторного экспери
мента на 5 уровнях варьирования факторов, чтобы полностью перебрать все возможные комбинации, требуется провести N = 56 = 15625 опытов а при соблюдении требований статистики может оказаться достаточным 25. Более подробно получение многофакторных эмпирических зависимостей будет рассматриваться в разделе планирование эксперимента.
Экспериментально-аналитический метод
Этот метод учитывает сильные и слабые стороны аналитического и экспериментального методов. Его сущность заключается в том, что мате матическая модель составляется аналитическим методом, а ее параметры определяются экспериментально.
Следует отметить, что сразу определить выбор метода обычно не удается и на практике приходится пробовать несколько вариантов.
2.2. Нахождение решения математической модели
Как правило, решение модели представляет наиболее сложную зада чу, когда ее математическое описание получено в дифференциальной форме. Если аналитического решения нет или оно затруднено, то для по лучения результата используют численные методы.
Рассмотрим пример решения численным методом уравнения движе ния частицы в условиях переменной скорости потока. Ранее нами было получено уравнение (2.6), устанавливающее функциональную связь между параметрами потока, характеристиками частицы и высотой ее подъема в сепарационном пространстве аппарата. Перепишем это уравнение с уче том непостоянства коэффициента сопротивления и скорости потока по высоте зоны сепарации:
WdW = g w |
4* 1 dH , |
(2.10) |
|
К К 2 |
|
где ХЛцг - коэффициент сопротивления как функция скорости частицы относительно потока; Wn(H ) - текущая скорость потока как функция вы
соты подъема частицы, например в диффузоре.
Составим алгоритм решения приведенной модели для случая, когда сепарационная зона аппарата кипящего слоя выполнена в форме диффузо ра круглого поперечного сечения. Предварительно уравнение (2.10) при ведем к следующему виду:
d jV = g_ |
(2.11) |
dH W
где, в отличие от ранее разобранного примера, скорость потока зависит от текущей высоты диффузора,
V |
(2.12) |
К (Ю = |
|
я(г + Я tg a )2 * |
|
здесь V - объемный расход потока газа; г - |
меньший радиус диффузора |
а и Н - угол раскрытия диффузора и высота подъема частицы соответст венно.
Для решения уравнения (2.11) выберем один из самых простых ме
тодов - метод Эйлера. Обозначим правую часть уравнения (2.11) |
через |
J{W, Н), тогда в соответствии с принятым методом можно написать |
|
W = W + dW = W + f ( W 9H)dH |
(2.13) |
Алгоритм решения уравнения (2.13) будет следующим: |
|
1. Задание исходных значений и граничных условий: |
|
И'по, Wo, WB, Wn(H), H0i dH, Хв, Ц Ш ) ; |
|
Wn=Wn0n W = Wo приH = HQ= 0; |
|
W= 0 при Н = Нтах; |
|
2.Определение нового значения скорости частицы W=W+ +fiW,H)dH-
3.Определение нового значения высоты подъема частицы Н =
=H+dH\
4.Проверка условия W < 0, если условие выполняется, то переход к н.5, в противном случае переход к п.2;
5.Выход.
2.3. Проверка моделей на адекватность
Математическая модель объекта является лишь его аналогом, поэто му значения переменных, полученные на объекте и модели, различаются. В связи с этим возникает задача установления близости модели реальному объекту, т.е. ее адекватности.
Одним из критериев оценки адекватности однооткликовых моделей является критерий Фишера F.
^ = ®L/®2oc. |
(2-14) |
где Оад - дисперсия адекватности, характеризующая разброс между экс
периментальными и расчетными значениями параметра оптимизации;
Ствос - дисперсия воспроизводимости, характеризующая разброс (относи тельно среднего) значений параметра оптимизации в параллельных опы
тах.
Если проведено п не параллельных опытов, а для получения диспер сии воспроизводимости проделана серия из т параллельных опытов, то
здесь
/яп “ И —/ — 1, |
./вое = ^ 1 J |
(2.16) |
гдеЛц и /вое соответственно число степеней свободы дисперсии адекват ности и дисперсии воспроизводимости; / - количество факторов, у - рас четное значение параметра оптимизации; у 0 - среднее значение параметра оптимизации в параллельных опытах,
О
/ = iz L |
(2.17) |
|
т |
||
|
Расчетное значение F сравнивают с F Kp критическим значением
(приложение 5). Если F < F ^ , модель адекватна, в противном случае - нет.
Рассмотрим пример на определение адекватности модели.
Имеются экспериментальные значения фактора xt и параметра опти
мизации у? (табл. 2.1), а также уравнение регрессии, полученное в резуль
тате их обработки, у = 1,2 + 0,8х. Для оценки дисперсии воспроизводимо сти было поставлено четыре параллельных опыта при значениях фактора х = 0 (табл. 2.2).
|
|
|
|
Таблица 2.1 |
|
|
Результаты эксперимента |
|
|
||
^оп |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
*/ |
- 2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
у! |
0 |
0 |
1,0 |
2,0 |
3,0 |