книги / Моделирование химико-технологических процессов

Нормальное распределение нормированной случайной величины на­ зывается стандартным.

Графики плотности и функции нормального распределения норми­ рованной случайной величины приведены на рис. .5.6, а, б.

Нормальное распределение наиболее часто встречается на практике и теоретически наиболее полно разработано. Нормальный закон при неко­ торых условиях является предельным законом для суммы большого числа п независимых случайных величин, каждая из которых подчинена какомулибо закону распределения. Основное ограничение состоит в том, чтобы все слагаемые играли в общей сумме относительно малую роль. Если у яв­ лений множество событий происходит случайно вследствие воздействия на них большого числа независимых (или слабо зависимых) факторов, то закон распределения таких явлений близок к нормальному. Нормальный закон распределения широко используется при обработке наблюдений.

б

Рис. 5.6. Плотность (а ) и функция (б ) нормального распределения

Нормальное распределение содержит минимум информации по сравнению с любыми распределениями с той же дисперсией. Следова­ тельно, замена некоторого распределения эквивалентным нормальным не может привести к переоценке точности наблюдений. График плотности распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса.

Тогда доверительный интервал для математического ожидания бу­ дет иметь вид

где и р - квантиль стандартного нормального распределения.

]~2

Стандартное нормальное распределение симметрично относительно нуля, поэтому

21 2

Вслучае односторонней оценки математического ожидания, т.е. оценки только сверху или только снизу, квантили берутся для вероятности

ри 1 - р соответственно.

Значения квантилей нормального распределения приведены в при­ ложении 1. Определить доверительный интервал описанным выше спосо2- бом можно только в том случае, если известна генеральная дисперсия а х . Получить генеральную дисперсию из наблюдений нельзя, ее можно только оценить при помощи выборочной дисперсии sx . Ошибка от замены гене­ ральной дисперсии выборочной будет уменьшаться с увеличением объема выборки. На практике эту погрешность не учитывают при п > 50, и в фор­ муле (5.39) для доверительного интервала генеральный параметр заменяют выборочным стандартом.

При небольших объемах выборки для построения доверительного интервала используют распределение Стьюдента или /-распределение. Распределение Стьюдента имеет случайная величина /:

Плотность вероятности /-распределения имеет вид

где Г - гамма-функция; / - число степеней свободы выборки; -оо < / < оо. Если выборочная дисперсия s\ и среднее х определяются по одной и той же выборке, то/ = п - 1.

Таким образом, распределение Стьюдента зависит только от числа степеней свободы /, с которым была определена выборочная дисперсия. На рис. 5.7 приведены графики плотности /-распределения для числа сте­ пеней свободы:/ = 1, / = 5 и / = 50.

Рис. 5.7. Плотность распределения Стьюдента

Из рисунка видно, что при / = 50 распределение Стьюдента практи­ чески совпадает с нормальным распределением (рис. 5.6, а) и так же, как и нормальное, распределение Стьюдента является симметричным.

Доверительный интервал для математического ожидания /-распре­ деления равен

где р - квантиль распределения Стьюдента. Значения квантилей рас­

пределения Стьюдента приведены в приложении 4.

5.5. Определение общей дисперсии для серии параллельных опытов

Математическое ожидание и генеральная дисперсия оцениваются выборочным средним и дисперсией выборки тем точнее, чем больше ее

объем. При этом среднее характеризует результат измерений, а дисперсия - точность этого результата.

Предположим, анализируются п различных проб. Если производить определение выборочной дисперсии для каждой пробы отдельно, то по­ требуется очень много времени. Чтобы сократить количество анализов и время на их выполнение, расчет дисперсии производят сразу по всем про­ бам. Пусть при анализе каждой пробы выполнено параллельное число

опытов: т\у mi, тп. Число степеней свободы частных дисперсий соот­

ветственно определяется как: f\ = т\ - 1, /2 = m2 - 1, ... , f n - m n - 1. Об­

щая дисперсия воспроизводимости всех опытов будет равна средневзве­ шенному значению частных дисперсий, где в качестве весов берутся сте­ пени свободы:

ачастные дисперсии определяются по формуле

т,

I b>iu - уi f

из уравнения (5.45) имеем

I I (Уш-У'Т

(5.47)

2 > / - и

/=1

Число степеней свободы общей дисперсии воспроизводимости, оп­ ределяемой по формуле (5.47), гораздо больше, чем у каждой дисперсии в отдельности. Поэтому общая дисперсия воспроизводимости намного точ­ нее оценивает дисперсию генеральной совокупности а 2

При вычислении дисперсии воспроизводимости по серии опытов объединяют только те пробы, которые можно рассматривать как выборки из генеральных совокупностей с равными дисперсиями.

5.6. Оценка дисперсии нормально распределенной случайной величины

Дисперсию генеральной совокупности су* нормально распределен­

ной случайной величины можно оценить, если известно распределение ее

2 оценки - выборочной дисперсии sx .

При числе степеней свободы / < 30 распределение выборочной дис­

персии можно получить с помощью распределения Пирсона или у2- рас­ пределения. В этом случае доверительные двусторонние границы для ге­ неральной дисперсии определяются выражением

Для односторонней доверительной оценки используются соответст­ венно квантили % 1-р и Х2р •Значения квантилей распределения Пирсона

приведены в приложении 2.

При числе степеней свободы / > 30 доверительные границы для ге­

5.7. Проверка однородности результатов измерений

При выполнении измерений могут встретиться результаты, значи­ тельно отличающиеся от других аналогичных. Причиной отличий могут быть неаккуратность выполнения замеров, поломка приборов, действи­ тельное отклонение параметра от среднестатистического (например, при язвенной коррозии материала стенки аппарата) и т.п. Наличие грубой ошибки (или отклонения) в выборке значений случайной величины нару­ шает характер распределения и изменяет его параметры, т.е. нарушает од­ нородность наблюдений. Поэтому выявление грубых ошибок можно трак­ товать как проверку однородности наблюдений, т.е. проверку гипотезы о том, что все элементы выборки получены из одной и той же генеральной совокупности.

Имеется выборка JCI, JC2, , хп значений случайной величины X.

Пусть хтгх и хт\п соответственно максимально и минимально допустимые значения измерений выборки. Если какой-либо результат измерения х,- ле-

жит за пределами интервала ( x m jn ч- :стах), то он будет считаться не принадлежащим к данной выборке и должен быть исключен из последующих расчетов. Значения хтах и хтт определяются по формулам

(5.50)

Значения и для различных уровней значимости и степеней свободы приведены в приложении 3.

6.ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМ ЕНТА

6.1.Основные понятия и определения

Ранее уже приводились некоторые основные понятия и определения из теории планирования эксперимента, рассмотрим их более подробно.

Планирование эксперимента - это процедура выбора числа и усло­ вий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения постав­ ленной задачи с требуемой точностью. При этом существенно следующее: минимизация общего числа опытов; одновременное варьирование всеми факторами, определяющими процесс, по специальным правилам - алго­ ритмам; использование математического аппарата, формализующего мно­ гие действия экспериментатора; выбор четкой стратегии, позволяющей принимать обоснованные решения после каждой серии экспериментов.

Целью планирования эксперимента является получение математиче­ ской модели объекта при минимальном количестве поставленных опытов. Под математической моделью в данном случае понимается уравнение свя­ зи между входными параметрами - факторами (*ь *2> —>*п) и выходными параметрами - параметрами оптимизации (уь у2, ...» ут\ В общем виде уравнение связи можно записать следующим образом: у = f{x\, х2,..., хп).

Задачи, для решения которых может быть использовано планирова­ ние эксперимента:

-поиск оптимальных условий ведения процесса;

-определение факторов, оказывающих наибольшее влияние на про­

цесс;

-определение параметров теоретических моделей;

-исследование диаграмм состав-свойство и т.д.

Параметр оптимизации - это отклик (реакция) объекта на воздейст­ вие факторов. В зависимости от объекта и цели исследования параметры оптимизации могут быть: экономические; технико-экономические; техни­ ко-технологические и прочие. Множество значений, которые может при­ нимать параметр оптимизации, называется областью его определения.

Возможны два пути оптимизации исследуемого процесса.

Первый - из всех параметров оптимизации выбирается только один, самый важный (критерий), а остальные служат ограничениями.

Второй - построение обобщенного параметра оптимизации как не­ которой функции от множества исходных параметров.

Требования, предъявляемые к параметру оптимизации

Параметр оптимизации должен быть:

-количественным и выражаться одним числом;

-измеряемым, т.е. мы должны иметь возможность его измерять;

-однозначным в статистическом смысле, т.е. заданному значению факторов должно соответствовать только одно, с точностью до ошибки измерения, значение параметра оптимизации;

-универсальным, т.е. способным всесторонне характеризовать объ­ ект. В частности, технологические параметры недостаточно универсальны, т.к. они не учитывают экономику. Универсальностью обладают, например, обобщенные параметры оптимизации, которые строятся как функции от нескольких частных параметров;

-иметь физический смысл, быть простым и легко вычисляемым. Фактором называется какой-либо исходный параметр процесса, вы­

бранный исследователем для воздействия на объект и принимающий в хо­ де проведения эксперимента различные значения. Так же, как и параметр оптимизации, каждый фактор имеет область определения. Фактор счита­ ется заданным, если вместе с его названием указана область его определе­ ния. Под областью определения фактора понимается совокупность всех его значений, которые он в принципе может принимать.

Факторы бывают качественные и количественные. Качественные факторы - это разные вещества, разные технологические способы, аппара­ ты, исполнители и т.п. Так как им не соответствует числовая шкала, для них строят условную порядковую шкалу, которая ставит в соответствие уровням качественного фактора числа натурального ряда. Например, если в качестве уровней варьирования фактора выбрано месторождение сырья, то каждому месторождению присваивается порядковый номер и закрепля­ ется за ним. Номера месторождений и будут представлять условную по­ рядковую шкалу. Количественный фактор представляет собой переменную величину, которую можно оценивать количественно: измерять, взвеши­