книги / Силы инерции в задачах биомеханики

ное по формуле (14), может принимать значения в сотни километров. При этом направление вектора относительной скорости изменится значительно, т.е. поворотом вектора кориолисовой силы инерции в таком случае нельзя пренебрегать.

Таким образом, строгое следование направлению магнитного поля Земли не может обеспечить прямолинейности (по отношению к земной поверхности) траекторий движения перелетных птиц при сезонных миграциях. Данный вывод соответствует результатам современных исследований, которые показывают, что птицы при сезонных перелетах никогда не перемещаются вдоль меридианов планеты.

Если говорить о миграциях над материками, то перемещение птиц сложно объяснить, так как траектории их движения подчиняются очень сложным закономерностям, связанным, по-видимому, с расположением ориентиров на местности [5]. Однако в условиях перелета над океанической поверхностью такие ориентиры отсутствуют, и движение птиц приобретает весьма замысловатый характер. Полярная крачка (лат. Sterna paradisaea), например, совершает перелеты на огромные расстояния, курсируя над водами Атлантического океана между Гренландией и Антарктидой [22]. Миграция крачек происходит с периодическими остановками в открытом океане. Между этими остановками птицы могут пролетать расстояния в сотни и даже тысячи километров. При весенней миграции из южных широт крачки, пролетая над океаном несколько десятков тысяч километров, образуют гигантскую букву «S» (на рис. 13 показана черной линией). Такое движение можно обосновать с точки зрения изложенных выше рассуждений. Действительно, если птица держит определенный курс, перемещаясь в южном полушарии, то кориолисова сила инерции будет постоянно «отклонять» ее движение влево по отношению к направлению полета (рис. 14, а). Перемещение птицы в северном полушарии сопровождается постоянным отклонением вправо по отношению к направлению ее движения (рис. 14, б), что объясняется соответствующим направлением вектора кориолисовойсилы инерции(см. рис. 13).

23

а

б

Рис. 15. Движение полярной крачки по отношению к земной поверхности: а – траектория полета вдоль неподвижной (относительно инерциальной системы отсчета) линии m; б, в и г – положения птицы в моменты

времени t1, t2 и t3

На примере представленной задачи рассмотрим вопрос о том, что кориолисова сила инерции является фиктивной, т.е. не относится к силам физическим. Поэтому следует понимать, что описываемая сила инерции не оказывает никакого физического влияния на птицу. В действительности подобная траектория яв-

25

ляется результатом движения птицы в неинерциальной системе отсчета, связанной с вращающейся Землей. Такой вывод можно пояснить с помощью следующих соображений. Предположим, что крачка начинает свой перелет с южного полюса и двигается на север. В начальный момент времени t0 она находится на оси вращения планеты, т.е. никакой скорости, обусловленной вращением Земли, птица в этот момент не получит. Кроме того, перемещаясь в атмосфере, крачка не взаимодействует с земной поверхностью. Таким образом, если наблюдать рассматриваемый полет с точки зрения неподвижной (инерциальной) системы отсчета, то движение птицы будет происходить вдоль некоторой неподвижной (относительно данной системы) линии m без какого-либо бокового смещения (рис. 15, а).

Рис. 16. Точки земной поверхности, соответствующие движению вдоль линии m

В то же время по отношению к земной поверхности исследуемая траектория будет иметь более сложную форму, так как Земля постоянно поворачивается под линией m. В некоторый момент времени t1 птица переместится из начальной точки M0 в новое положение, которое находится над точкой M1 земной поверхности на долготе l1 (рис. 15, б). В следующий момент времени t2 положение птицы на траектории (обозначено точкой M на рис. 15, в) будет

26

соответствовать точке M2 земной поверхности. При этом за счет вращения Земли данная точка будет находиться на долготе l2 (см. рис. 15, в). В момент времени t3 крачка окажется над точкой M3 на долготе l3 (рис. 15, г). Аналогичные рассуждения можно провести для дальнейшего движения птицы по линии m. На рис. 16 показаны точки земной поверхности, которые соответствуют перемещению птицы вдоль этой линии. По этим точкам можно восстановить кривую, идентичную траектории, изображеннойнарис. 13.

Приведенные рассуждения показывают сложность объяснения подобных эффектов, оставаясь в рамках инерциальной системы отсчета. Вместе с тем, как было показано ранее, введение кориолисовой силы инерции позволяет достаточно кратко и наглядно изложить решение представленной задачи.

§1.6. Влияние вращения Земли на движение различных животных

Как уже было показано, величина кориолисовой силы инерции пропорциональна массе точки и скорости ее относительного движения:

Следовательно, чем больше масса и относительная скорость движущегося объекта, тем большее значение кориолисовой силы инерции будет характерно для него (при постоянных величинах

и sin( , vr ) ).

Принимая во внимание вращение Земли вокруг своей оси, вычислим с помощью формулы (15) модуль вектора Fcин для относи-

тельногодвижениясамых тяжелыхи самыхбыстрыхживотных. Как известно, самыми тяжелыми животными являются си-

ний кит и африканский слон, а самыми быстрыми – гепард и сокол сапсан.

Допустим, что в первых трех рассматриваемых случаях (движение кита, слона и гепарда) животные находятся на широте

27

30 в северном полушарии и перемещаются на север. При этом вектор кориолисова ускорения будет направлен по касательной к параллели места на запад, а вектор кориолисовой силы инерции – на восток, т.е. вправо по отношению к направлению движения. Очевидно, что угол между векторами и vr будет равен значению

угла . При пикирующем движении сапсана вектор его относительной скорости будет направлен к земной поверхности, а вектор кориолисовой силы инерции – по касательной к параллели места на восток (аналогично случаю, представленному на рис. 8). Для того чтобы величина sin( , vr ) в этом случае соответствовала sin ,

необходимо«поместить» птицу нашироту 60 .

Самым тяжелым животным из ныне живущих на планете является синий кит. Его масса достигает 180 т, а максимальная скорость движения составляет 40 км/ч (11,11 м/с) [14]. Подставляя

Найденная величина сравнима с весом 15-килограммового груза. Однако в сравнении с силой тяжести, действующей на самого кита, полученное значение кориолисовой силы инерции ничтожно мало.

Самым тяжелым животным на суше является африканский слон. Масса самцов слона в среднем составляет 6 т. При беге слон развивает скорость до 50 км/ч (примерно 13 м/c) [1]. Тогда

что, разумеется, меньше, чем в предыдущем случае.

Самым быстрым сухопутным животным является гепард. При средней массе 50 кг гепард вбеге развивает скоростьдо 130 км/ч (примерно 36 м/c) [3]. Поэтому согласно соотношению (15)

28

Сокол сапсан – самое быстрое животное в мире. В пикирующем полете эта птица может перемещаться со скоростью свыше 320 км/ч (примерно90 м/с). Дляптицымассой1 кг[10] имеем:

Значение, полученное в последней формуле, является наименьшим среди четырех рассмотренных случаев относительного движения. Однако нетрудно заметить, что отношение кориолисовой силы инерции к собственной силе тяжести не зависит от массы и определяется скоростью относительного движения. Поэтому параметр

Fcин 2 vr sin 0,07 %, mg g

рассчитанный для сапсана, является максимальным в рамках рассмотренных примеров движения различных животных.

§1.7. Ускоренное движение относительно поверхности Земли

Из приведенных выше примеров ясно, что силы инерции, учитываемые при движении материальной точки относительно поверхности Земли, имеют достаточно малые величины. Это связано, разумеется, с низкой скоростью вращения планеты вокруг своей оси. Поэтому за исключением тех случаев, о которых упоминалось ранее, влиянием вращения Земли при решении практических задач пренебрегают. Очевидно, что в таких задачах системы отсчета, жестко связанные сЗемлей, считаютсяинерциальными.

Вместе с тем существует множество примеров, в которых движение и равновесие исследуемых объектов рассматривают в системах отсчета, совершающих ускоренное движение по отношению к Земле.

29

Рассмотрим механическую систему, которая совершает вращательное движение вокруг неподвижной (по отношению к земной поверхности) оси. Предположим, что срединная сагиттальная плоскость тела человека, связанного с этой системой, располагается в плоскости вращения так, как показано на рис. 17.

Рис. 17. Схематическое изображение человека, связанного с вращающейся системой

Описанная схема характерна, например, для летчика, выполняющего мертвую петлю на самолете. Выполнение такого движения может негативно сказаться на состоянии организма. Это связано по большей части соттоком кровиизголовногомозга.

Рассмотрим течение крови по общей сонной артерии в ситуации, изображенной на рис. 17. Как известно, общие сонные артерии (правая и левая) доставляют кровь от дуги аорты к органам и тканям, расположенным в голове [13]. Обе артерии поднимаются практически вертикально вверх вдоль правой и левой сторон шеи. На уровне щитовидной железы каждый из этих сосудов делится на внутреннюю и наружную сонные артерии (рис. 18).

Для оценки влияния перегрузки на кровоток в общей сонной артерии примем несколько допущений. Предположим, что в некоторый промежуток времени течение крови в этом сосуде является установившимся, ламинарным и одномерным (пульсации артерии при этом не учитываются). Тогда исследуемый кровоток подчиняется закономерностям течения Пуазейля в круглой трубе.

30