книги / Силы инерции в задачах биомеханики

иметь достаточно большие размеры. В частности, представленный в данном параграфе пример показывает, что радиус такого отсека должен значительно превышать 50 м. Для современной аэрокосмической инженерии создание корабля соответствующих размеров представляетзначительные трудности.

Контрольные задания

1.Во сколько раз быстрее должна вращаться Земля вокруг своей оси, чтобы человек, находящийся на экваторе, ощутил состояние невесомости?

2.Определить силу давления чело-

41

человека по сцене постоянна и равна 3 м/с, а частота вращения сцены составляет 2 об/мин. Соответствующее направление вращения показано на рис. 28.

Рис. 28. Схема задачи 5

6. Объяснить, почему в примере, приведенном в §1.3, сила инерции, приложенная к телу человека на экваторе, является фиктивной, тогда как уменьшение «экваториальной» силы дав-

ления по отношению к «полярной» N1 N2 наблюдается в действительности.

42

ГЛАВА II. ДАЛАМБЕРОВА СИЛА ИНЕРЦИИ

§2.1. Принцип Даламбера

Рассмотрим материальную систему, которая состоит из n материальных точек. Пусть масса некоторой точки данной системы выражается величиной mk , а ее ускорение – вектором ak. Со-

гласно второму закону Ньютона

mk ak Fke Fki ,

где Fke и Fki – внешняя и внутренняя силы, приложенные к точке.

Последнее соотношение можно переписать в следующей форме:

Fke Fki ( mk ak ) 0 .

Векторная величина, равная взятому со знаком «минус» произведению массы точки на вектор ее ускорения, называется

даламберовой силой инерции [4]:

Учитывая два последних соотношения, получаем

Fke Fki Fkи 0.

Приведенные рассуждения справедливы для любой точки рассматриваемой материальной системы. Таким образом, если к силам, действующим на точки материальной системы, добавить даламберовы силы инерции, определяемые формулой (21), то полученная система сил окажется эквивалентной нулю. Последнее утверждение выражает принцип Даламбера для материальной системы. Сущ-

ность данного принципа заключается в том, что решение задач динамики сводится к составлению уравнений равновесия. Методы статики, применяемые при этом, как правило, значительно упрощают исследование рассматриваемыхмеханическихсистем.

43

Согласно законам статики геометрическая сумма сил, удовлетворяющих условиям равновесия, а также геометрическая сумма моментов этих сил относительного произвольного центра O равны нулю [15], т.е.

По свойству внутренних сил [15]

n Fki 0 , n mO Fki 0.

k1

–это главный вектор и главный момент относительно центраO даламберовыхсилинерции,

44

– главный вектор и главный момент относительно центра O внешних сил.

§2.2. Главный вектор и главный момент даламберовых сил инерции при различных видах движения твердого тела

Выберем в твердом теле произвольную точку O и назовем ее центром приведения. С помощью теоремы о параллельном переносе силы переместим в этот центр силы инерции, приложенные к данному телу. Согласно упомянутой теореме перенос силы параллельно линии ее действия должен сопровождаться добавлением пары с моментом, равным моменту данной силы относительно точки, в которую сила перемещается [15]. К примеру, параллель-

ный перенос некоторой силы инерции Fkи в центр O, необходимо осуществлять, добавляя пару с моментом mO (Fkи ) . Множество сил Fkи (k 1, n) , приложенных к точке O, можно заменить главным вектором сил инерции Rи , а все пары mO (Fkи ) (k 1, n) – одной парой MиO . Величины Rи и MиO были рассмотренным в

предыдущем параграфе (см. формулы (24) и (25)).

Из изложенного следует, что величина и направление глав-

ного вектора Rи не зависят от выбора центра приведения, тогда как главный момент сил инерции может изменяться в зависимости от положения центра O.

Исходя из формул (21) и (24), главный вектор сил инерции определяется следующим образом:

Rи n Fkи n ( mk ak ) MaC ,

где M – масса тела, aC – ускорение его центра масс.

45

Таким образом, для любого вида движения твердого тела справедливо соотношение:

Выразим главный момент сил инерции для различных видов движения твердого тела.

1. Поступательное движение.

Выберем в качестве центра приведения центр масс C тела. Тогда главный момент сил инерции будет соответствовать следующей формуле:

где rk – радиус-вектор, проведенный из центра C в k-ю точку тела. Согласно равенству (21)

При поступательном движении твердого тела ускорения всех его точек равны по величине и совпадают по направлению, причем они равны ускорению центра масс aC ,

Для радиус-вектора rC , определяющего положение центра масс тела, справедлива следующая формула [15]:

46

Сопоставляя последние соотношения, получаем

MиC aC MrC .

Очевидно, что в рассматриваемом случае rC 0 , поэтому

MиC 0.

Таким образом, даламберовы силы инерции при поступательном движении твердого тела приводятся к равнодействую-

щей, равной Rи (см. формулу (26)) и приложенной в центре масс С этого тела.

2. Вращение вокруг неподвижной оси

Пусть твердое тело вращается относительно неподвижной оси Cz, проходящей через центр масс С данного тела. Очевидно,

что в этом случае вектор aC равен нулю, следовательно, Rи 0 .

Примем за центр приведения точку С. Согласно теореме об изменении кинетического момента материальной системы относительно неподвижной оси

n mСz Fke JCz ,

k 1

где JCz – момент инерции тела относительно оси вращения, ε –

угловое ускорение.

Отсюда следует, что (см. формулу (23б))

Таким образом, при вращательном движении твердого тела относительно оси, проходящей через его центр масс, система даламберовых сил инерции приводится к паре, момент которой относительно оси вращения определяется формулой (27).

Если центр масс тела находится внеоси вращения, то главный

вектор Rи сил инерции не равен нулю. Рассмотрим сечение твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Oz (рис. 29).

47

Выбранное сечение перпендикулярно оси Oz и проходит через центр масс C этого тела. Вектор ускорения точки C в данном случае можно разложить на касательную и центростремительную составляющие:

aC aC aCn ,

aC e , aCn e 2 ,

где e OC – расстояние от оси вращения до центра масс тела, ε и ω – угловое ускорение и угловая скорость вращения. Для удобства вычисления главный вектор сил инерции можно представить следующим образом:

Рис. 29. Сечение вращающегося тела

Ранее было отмечено, что главный момент сил инерции зависит от выбора центра приведения. В случае, когда в качестве центра приведения сил инерции принимается центр масс рас-

сматриваемого тела (см. рис. 29), главный момент MCzи соответствует формуле (27).

48

3. Плоскопараллельное движение.

Если центром приведения считать центр масс тела, совершающего плоскопараллельное движение, то рассуждения, касае-

мые величин Rи и MCzи ' , аналогичны предыдущим. Таким образом, при плоскопараллельном движении силы инерции приводятся к результирующей силе Rи, определяемой формулой (26) и

приложенной в центре масс тела, и к паре, момент которой выражается соотношением

MCzи ' JCz' .

§2.3. Определение усилия в ахилловом сухожилии

Рассмотрим следующий пример. Человек массой M совершает прыжок вверх с горизонтальной поверхности. Выполнение прыжка происходит за счет разгибания в голеностопных суставах, т.е. отталкивания от опоры, при котором увеличивается угол между передней частью ступни и голенью (рис. 30). Вращательное движение в коленных суставах при этом отсутствует. С помощью принципа Даламбера определим максимальное усилие, действующее в ахилловом сухожилии при выполнении такого прыжка.

Из анатомии человека известно, что в акте разгибания в голеностопном суставе участвуют различные мышцы: икроножная, камбаловидная, задняя большеберцовая, мышцы-сгибатели пальцев и др. [13]. За счет сравнительно большой суммарной площади поперечного сечения икроножная и камбаловидная мышцы, прикрепляясь к пяточной кости посредством ахиллова сухожилия (рис. 31), вносят основной вклад в реализацию исследуемого акта. Из изложенного, в частности, следует, что ахиллово сухожилие передает усилие, развиваемое в этих мышцах, на заднюю часть стопы. При активном выполнении беговых или прыжковых упражнений значение данного усилия может достичь предельных величин, что, разумеется, способствует повреждению сухожилия. Именно

49

поэтому травмы ахиллова сухожилия относятся к наиболее распространенным среди спортсменов. Таким образом, рассматриваемая в данном параграфе задача является актуальной [20, 25].

Рис. 30. Прыжок вверх с места за счет синхронного разгибания в голеностопных суставах

Рис. 31. Схематическое изображение голени: а – вид сзади; б – вид сбоку; ахиллово сухожилие выделено серым цветом

Для понимания механизма отталкивания от поверхности примем простейшую модель упругого основания, согласно которой опора представляется множеством пружин (рис. 32). Обозначим за t0 момент времени, когда пятки в начальной фазе оттал-

кивания отрываются от опоры. В этот момент за счет сокращения

50