книги / Механика деформаций гибких тел

Все кппематические переменные модели внутри области выра­ жаются через один независимый двумерный вектор перемещения U пли через три его компоненты. Однако на контуре базовой по­ верхности сохраняют независимость четыре скалярных кинема­ тических параметра: три компоненты вектора перемещения и одна компонента его нормального градиента. В соответствии с этом модель требует задания четырех граппчньпх условий. Вы­ зываемое попоротом изменение нормального вектора устанавли­ вает согласованное со связью Кирхгофа распределение объемных !ишематических полей по толщине и определяет тем самым де­ формацию оболочки как трехмерного континуума. Это распреде­ ление выражается формулами

U = U+OJSVS, луз= фзма*^,

(2.4.20)'

и„ = Un+ яЧп, Us = из = 0.

Для построения двумерных определяющих уравнений следует привлечь зависимости (2.2.34) и (2.2.35). Здесь возникает одна особенность, явпым образом преодолеиная А. Лявом [41, 91]. Дело в том, что кинематическая связь

не согласуется с граничными условиями па внешних поверхпостях оболочь'и II поэтому вносит противоречие в систему опре­ деляющих уравнений. Для его устранения А. Ляв ввел в опреде­ ляющие уравнения вместо (2.4.21) динамическую связь

согласованную с однородными гранпчнымп условпямп на внеш­ них поверхностях оболочки. Строго говоря, равенство (2.4.22) дает обобщенную интерпретацию дпналшческой: связп Лява. На самом деле, рассматрпвая оболочку, материал которой подчинен изотропному закону Гука, А. Ляв заменил скалярное кинемати­

ская связь Лява должна формулпроваться векторпым равенством (2.4.22) в противовес (2.4.21). Подобно А. Ляву условие (2.4.22) следует понимать в относительном смысле: нормальный вектор напряжения мал по сравнению с тангенциальными.

Однако использование динамической связп вида (2.4.22) эф­ фективно только в том случае, когда она позволяет явным об­ разом выразить кинематический вектор Uj через векторы Un,

т. е. установить некоторую зависимость Us = Us(Un). HanpuMepj^ такую процедуру моншо осуществить в рамках липейного закона упругости. Благодаря этому вектор Uj исключается из системы определяющих уравнений, так что векторы напряжений Z" ока-

ш ваю тся связаяньшп лишь с вакторамп деформацпй и„ ч завпС1ШОСТП (2.2.33) преобразуются к виду

(2.4.23)

у"”‘* (Wift), Vthh ^ •••)•

В качестве более уппверсальпо14 можно предложить следую­ щую модпфпцпроваппую процедуру построеппя двумерных опре-

ДУ (2.4.23).

Равенство (2.4.24) дает обобщенную формулировку динами­

ческой связи Лява (2.4.22).

Восстановление основных кинематических п динамических полей в деформированпо)! оболочке производится по согласован­ ным C (2.4.20) п (2 .2 .2 9 )-(2 .2 .3 2 ) формулам:

= С м . {иь + X^IVS L )^ UnMl = и\л. {ЦпЦ + ^^Vnlilt

Z"".] =. (Uai.], Uihh Vlhh •••)•

Их дополняют равенства С/^зЛ!]= ^M-WeIJi определяющие компонен­ ты нормального вектора деформаций Us и уравнение (2.2.43), восстанавливающее компопснты нормального вектора напряже­

ний Z^.

Тем са>1ым полностью завершается фюрмулпровка модели деформируемо!'! ободочки Кирхгофа — Лява. На первый взгляд она кажется противоречивой: положенная в ее основу кинема­ тическая связь (2.4.21) отвергается затем динамической связью (2.4.22) или (2.4.24), которая тоже отвергается прп восстаиовлеиии пормального вектора напряжений с помощью (2.2.43).

Одпако в рамках асимптотического анализа прострапствеппоц задачи упругости для оболочки установлено [60], что модель Кирхгофа — Лява обладает асимптотической корректностью п экиипалоптпа двум пачальпым итерациям асимптотического раз­ ложения. Вследствие этого кажущиеся противоречия свидетель­ ствуют лишь об определеппой расчлепепиостп исходной системы уравнений для оболочки па отдельные группы, в каждой пз ко­ торых роль одних и тех же параметров различна.

§ 5. КОММЕНТАРИИ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ ССЫЛКИ

Число публмкацп]’!, в Toir пли иной мере касающих­ ся вопросов MaTOiMaTiPiccKoii формулпровкп проблемы деформпронаиия оболочкообразнг.гх тел, так велико, что могло бы соста­ вить предмет специального библиографического исследовапия. Автор ли в iroeii мере не ставит перед собой таког! цели. Ана­ лизу подверглись работы, посвященные построению дву.мерпых моделе!! с roBnoii iieniiiieiinoii кинематикой, т. е. без ограниче­ ния величины внутренних перемещений и деформаций. Такие работы составляют малую долю общего числа. Из пих отобраиы лшпь то, которые, с нашей точки зрения, являются основополагающи.ми или прпнцнппальпымн, чтобы проанализировать общие концепции и схемы построения пелипегшых моделей деформи­ руемых оболочек.

В первой главе были выделены два подхода к построеипю двумерных моделей деформации оболочкообраэиых тел. Один пз них — аксиоматический — с самого начала рассматривает обо­ лочку как материальную поверхность и изучает деформацию этой поверхпостп под действием обобщенных внутренних п внешних сил. В другом — аппрокенмацнониок! — подходе за исходную при­ нимается трехмерная формулировка задачи дефор.мпрования обо­ лочки H улгеньшенпе пространственной размерности достигается той пли иной аппроксимацией зависимости решепия от нормаль­ ной коордпиаты. Краткий анализ основных работ, посвященных аксполгатпческому методу построения двумерных моделей де­ формируемых поверхностей-оболочек, дан в первой главе. Здесь будут рассмотрены работы, выполпспиые в рамках аппроксима­ ционного подхода.

Для отдельных частных задач деформации пластин акеггоматпчсскпй подход применялся еще до установления осповных ураопеиий механики сплошной среды. Затем, начиная с работы Г. Кирхгофа 1850 г. по теории пластип [32, 89], предпочтение получил аппроксимационный подход. Исследование Г. Кирхгофа замечательно в том отношенпм, что ему удалось постропть не­ линейную теорию деформации пластпп на базе сформировавшей­ ся к тому времени линейиой теории упругого континуума Коши. Г. Кирхгоф вышел пз рамог; nuneiinoii теории, примепнв ее к малому, ограниченному нормальными сечеппями, призматпчо-

скому элементу пластпиы, который испытывает копечныи по­ ворот в результате деформации. On ввел ставшее класспчесшш кинематическое ограипчение, смысл которого состоит в том, что боковые грани призматического элемента остаются плоскими и нормальными к искривленной поверхности пластины. При аппрокспмацпп кинематики элемента была обеспечена непрерыв­ ность перехода соседних элементов друг в друга. Условия непрерывностп приняли форму кинематических уравпеппй, вво­ дящих двумерные мхнематические параметры конечного состоя­ ния пластины: пзгпбпые и метрические деформации ее поверх­ ности. Из принципа возможных перемещений Г. Кирхгоф вывел двумерные уравнения двия{еппя пластины, выражеппые в пере­ мещениях поверхпостп и согласоваипые с ними граничные усло­ вия. C современных позиций видно, что в изобретательном под­ ходе Г. Кирхгофа заложены, по существу, основы мшероструктурной механики континуума и метода копечпых элементов.

Нелинейная теория пластин Г. Кирхгофа была модифициро­ вана А. Клебшем [77], который сформулировал уравнения дви­

фии по теории упругости [41, 91], первое издание KOTopoii вглшло

которые в нашел! описании совпадают с физическими компопептаА1и тензора изгпбанпй К„м]. А. Ляв установил лишь лппеаризованпые выражения этпх параметров через компоненты вектора перелющения точки базовой поверхпостп (вектор поворота оп пе ввел). ДпнаАшческие уравнения оболочки получены А. Л1яво.м в результате приближенного разложения сил по деформировапному (мгновенному) базису. При этом предполагалась малость метри­ ческих деформаций, по не ограничивалась величина поворотов. Сформулированные пм уравнения в точности совпадают с урав­ нениями (2.4.16), отнесенными к главной системе координат, и П0ЭТ0А1У могут толковаться как точные уравнения в разложе­ нии по повернутому базису. Однако повернутый базис не был отделен А. Лявом от лггновепного, так же как не была разрабо­ тана ИАГ нелинейная кинематика оболочки.

В первой половине текущего столетия механика оболочек формировалась, совершенствовалась и развивалась как матема­ тически линейная теория, поскольку таковой была исходная си- CTBAia уравнений AiexaHiiicn сплошной среды. Решающее влияние на утверждеппо и внедрение в расчетную практику линейной теории оболочек Кирхгофа — Лява оказали труды таких учепых, как С. П. ТпАЮшенко [57, 104], В. Флюгге [61, 82], Е. Рейсснер [97], В. 3. Власов [8], А. Л. Гольденвейзер [21—23], А. И. Лурье [37, 38], В. В. Новожилов [47].

Интерес к построению нелинейной теории деформируемых оболочек был вызвап интенсивным развитием нелинейной ме-

ханпкп сплошиои среды в 30-х годах текущего столетия. Проб­ лему приведения трехмерной нелинейной задачи упругости для оболошч'и к двумерной в числе первых рассмотрели Я. Л. Синг и В. Ц. Чинь [76, 103]. Исходная задача упругости сформулиро­ вана у них в метрике мгновенного (деформированного) состоя­ ния C использованием тензора истинных напряжений Коши и тензора деформаци!! Грина, которые связаны йюжду coOoii уравнеппями закона Гука. Поставленная цель достигается посредст­ вом разложения этих тензоров в степенные ряды по нормальной координате оболочки. В результате получены рекуррентные си­ стемы дву.мерных уравнений равновесия и совместности дефор­ маций, которые замыкаются с помощью обобщенных (для эле­ мента конечного размера в нормальном паправленпп) уравнений равновесия п граничных условий па внешних поверхностях обо­ лочки.

После громоздких выкладок система первого приближения представлепа шестью двумерными нелинейнымп уравнениями относительно шести различных компонент двух симметричных поверхностных тензоров деформации оболошш Wnm) и У„т). Oun определены равенствами

п имеют смысл приращений коэффициентов первой и второй квадратичных форм базовой поверхности оболошш. По определе­ нию тензор Wnm) — поверхностный аналог пространственного тен­ зора деформаций Грина. On характеризует изменение внутренHeii метрики базовой поверхности в процессе деформации, тогда как Vnm) — измепепио ее кривизны (изгиб). Три уравнения окопчательпой системы имеют смысл обобщенных условий равнове­ сия, выраженных через кинематические пере*менные с помощью определяющих зависимостей Гука. Другие три уравненпя — это условия совместности деформаций, являющиеся следствием уравнений Коддацп — Гаусса для деформпроваппой базовой по­ верхности.

Хотя авторы надеялись построить таюхм образом нелинейную теорию оболочек, свободную от кппематических и динамических ограничений, па самом деле они получили нелинейный вариант теории Кирхгофа — Лява, в котором для псключеппя поперечных деформаций Wau) вместо динамических связей Лява Z*''* = О привлекаются дeiicтoитeльныe граничные условия па внешних поверхностях оболочки. Различие лгежду этими двумя процеду­ рами полностью исчезает, когда внешние поверхности свободны от нагрузок.

Причина, по которой Я. Л. Спнгу и В. Ц. Чиню не удалось выйти за пределы ограничений Кирхгофа — Лява, состоит в том, что для исключения некоторых коэффициентов степенных рядов они использовали те самые обобщеппые уравненпя равновесия

макроэлемента оболочкп, которые составной частью входят в си­ стему Кнрхгофа — Лява. Не случайно поэтому, что при класси­ фикации нелинепных задач деформацпп оболочек па основе иолучепыо!’! системы первого приближения в работе [76] была вы­ делена пелипе11ная формулировка задачи для пологой оболочки, в точности совпавшая с формулировка!! К. Mapreppa [92], полу­ ченной ранее в рамках ограничений Кирхгофа — Лява.

Дальнейшую встесторопнгою детализацию теория пелипс1пгого деформирования оболочек Кнрхгофа — Лява получила в работах К. 3. Галпмова [11— 17]. В статье [12] он дополнил систему уравиенпй первого прпближеиия Синга п Чппя иел1шейпы.мп выра­ жениями компонент деформации базово!! поверхности чере.ч ком­ поненты вектора перемещения, спловымп граничными условиями (2.4.12) H книематпческимп граничными условиями для вектора перемещения п угла поворота нормали вокруг граничного кон­ тура. Тем самым была дана формулировка основных 1»раевых задач нелинейной теории оболочек. Кро.ме того, были введены тензоры усилий п моментов, отнесенные к базису недефо1)мпро­ ванной оболочкп, п получена скалярная форма уравиеиш"! равно­ весия H силовых граничных условий, отвечающая разложению по этому базису. В работе [13] К. 3. Галимов ввел симметричиые тензоры внутренних усилий и моментов, эчгергетпчески соответ­ ствующие деформационным тензорам (2.5.1), сфор.мулировал варпационное уравнение, следствием которого являются скаляр­ ные уравнения совместности нелинейных дефчормацпп оболочки. В статье [14] дано применение вариационно!! формулы Pciicciieра к пелппе1!по деформируемым оболочкам. В результате по­ строены обобщенные уравнения равновесия, уравнения упругой связи и граничные условия для перемещений и спловых пара­ метров. Позже в [15] из этой формулы он вывел скалярные урав­ нения сов.местности нелинейных деформащи! и деформационные граничные условия (последние — при дополнительном предположенпп о малости метрических деформаций по сравнению с едпnnpeii). В работе [16] сформулированы основные уравнения не­ линейно!'! теории Кирхгофа — Лява относительно фпз!!ческпх !сомпонепт в главной системе координат. Упрощенная формули­ ровка теоретических результатов К. 3. Галимова дана в моно­ графии [44], полная — в [17].

В трудах К. 3. Галпмова нашел исчерпывающее завершение тот вариант нелинейной формулировки теории Кирхгофа — Лява, кинематическую основу которого составляют деформационпые тензоры (2.5.1) i! который при линеаризации сводится к линей­ ному варианту А. И. Лурье [37]. Параллельно с ним в работах Н. А. Алумяэ [2—4] развивался иной вариант, в кинематическол! описании которого производилось выделеппе конечного жесткого поворота базиса из его полного преобразования в процессе де­ формации.

В статье [2] введена повернутая тройка координатных векто­ ров Зл), установлены правила их д1!фференцированпя по коорди­ натам, введены тензоры деформации базовой поверхности

(2.4.10). Скалярная запись последцп.ч и уравнешпг совместности деформащп! выполнена приближенно. Их точная формулировка (2.4.16) и (1.2.21) дапа в статье [3], где отмечена аналогия Л1ежду двумя системами урависнш”!. В работе [4] получено выражеUIIC (2.4.19) для виртуальной энергии внутреиппх сил оболочют, все иеси.м.мстричш.1с тензоры, определяющие деформированное состояние оболочки, заменены сим.метричнымп и приведены обоб­ щенные ураинсиня ynpyroii связи между силовыми и деформа­ ционными тензорами оболочки. Первоыачальиая (несимметризоиаииая) формулировка Н. А. Алумяэ [3] при линеаризации пере­ ходит в «эиергетический» вариант А. Л. Гольдепве1‘1зера [22], спмметризоваииая [4 ]— в тот вариант nitHeiiiioii теории, который позже был выделен как «иаилучшпй» [75]. Если следовать тако­ му оиреде.чсиию. то вариант Ы. А. Алумяэ надо признать паилучши.м вариантом нелинехпюй формулировки теории Кирхгофа ~ Лява, Одиак’о в ого трудах эта формулировка не была вполне завершеиа. Лодобио Я. Л. Сингу и В. Ц. Чипю [103, 76], И. А. Алумяэ HO включил в свой вариант ypanneunii, выражаю­ щих ко.мпонеиты его деформационных тензоров (2.5.2) через перемещения точек базовой поверхности, и ограничился форму-

.TiipoBKoii уравиеиш! совместности деформафпг. Работы Н. А. Алу­ мяэ не содержат также вариациоппых уравиешш и вытекаю­ щих из них естественных граничных условий. Все перечислен­ ные пробелы были заполнены работе!! автора [65]. Здесь введе­ ны векторы конечных перемещешп! и конечных поворотов точек базово!*! поверхности, установлены необходимые кппематпческие уравнения, вариационные уравнения Лагранжа и Кастильяпо и вытекающие из них формулировки силовых и кинематических граничных услошпг на контуре базовой поверхности. Приведена с.хема построения обобщенных уравнеппй связи между поверх­ ностными силовыми II деформацпопнымп тензорами на основе трехмерных определяющих уравнений. В обсуждаемой работе вариант Н. А. Алумяэ приобрел ту формулировку, которая при­ ведена в предыдущем параграфе этой главы. Симметризация поверхностных тепзоров пе проведена сознательно, так как прп пелользовапии трехмерных определяющих уравпеппй опа не имеет принципиального характера и лишь загромождает форму­ лировку двумерно!! модели.

Итак, в рассмотренных работах псчерпьпзающим образом пред­ ставлены две точные нелинейные формуллровки теории оболочек C ограыичеппями Кирхгофа — Лява. Эти варианты отличаются друг от друга своими кинематическими основами: обусловленное деформацпе!! преобразование координатной системы в первом из них принимается как целое, и в качестве мер деформации обо­ лочки избираются поверхпостпые тензоры (2.5.1). Во втором из полного преобразования спстемы выделяется ее жесткий поворот, мерами деформации служат поверхностные тензоры (2.5.2). Кл-

нематическая оспова первого варианта проще, но и второй ва­ риант имеет свои достоинства: 1) в нем явно выделяются дефор­ мации п нелинеГшости, обусловленные поворотами точек базовой поверхности, что создает благоприятные возможности для клас­ сификации II упрощения задач, 2) его лмнeiiным приближением является оптимальный вариант линейной теории Кирхгофа — Лява.

Более поздние публикации, содержащие иелппе1"и1ые форму­ лировки теории Кирхгофа — Ляпа, либо повторяют, либо моди­

аппроксимация этого вектора по нормальной координате. Конст­ руктивное влияние на утверждение и впедрепие в расчетную практику пелипейно!! теории оболочек Кирхгофа — Лява оказали монографии А. С. Вольмира [10], X . М. Муштари н К. 3. Гали­ мова [44].

На рубеже 50— бО-х годов текущего столетия в пелиие11ио11 теории оболочек, так же как и в липе1Ш01г, наметилась тенден­ ция к выходу за рамки ограппчепий Кирхгофа — Лява и к по­ строению более слолчпых моделей деформации оболочек. Одно на первых исследований общего характера в этом паправлепии вы­ полнено X . М. Муштари II И. Г. Терегуловым [45]. В уравнении виртуальных работ для конечного деформированного состояния пространствеппого оболочкообразного тела они представили век­ тор перемещений степенным рядом по нормальной координате и

П. М. Нахдп [84] при построении пеизотермической теории обо­ лочек на базе общих законов пелпиепной термомехапики сплош­ ной среды, сформулированных в метрике мгновенного (деформи­ рованного) состояния. В первом приближении, отвечающем ли­ нейной аппроксимации вектора перемещений и однородной ап­ проксимации температуры, они получили «прямую» форму.чировку модели двумерного моментного континуума из работы [85].

Заметим, что с позиций асимптотического анализа простран­ ственной задачи для оболочки [60] построение степенных аппроксш1аций выше первого порядка лишено смысла, поскольку они пороящают погранслои все более высокого порядка, которые пространственная задача вообще не содержит. Поэтому практи­ ческую ценность имеет лишь первое приближение. Ваяшо только, чтобы оно было энергетически корректным, т. е. согласованным с законами сохранения. Двумерные модели оболочки, отвечающие линейной аппроксимации пространственного вектора перемеще­ ний по нормальной координате, принято называть моделями типа Тимошенко — Рейссиера. Такая традиция возникла благодаря уче­ ту в моделях эффекта сдвига нормальных волокон оболочки, ко­ торый: был принят во внимание С. П. Тимошенко в задаче о

поперечных колебаниях призматической балки [105] п Е. Рейсснером в задаче о поперечном изгибе пластины [98]. Мы не при­ держиваемся этой термиполопш потому, что, во-первых, пе су­ ществует однозначной трактовки модели Тимошенко — Репсснера, во-втор1лх, модель, учитывающая эффект поперечного сдвига в оболочке, была предложена в работе Е. и Ф. Koccepa [78].

Р1з работ, носвященпых построению Iiennneihibix моделе/! первого приближения, наиболее раипяя принадлежит Л. Я. Aiiиоле [1]. В пой дапа градиентная формулировка двумерной нели­ нейной модели оболочки, отвечающая линейной аппрокснмацни вектора перемещений с дополпцтельиьш предположением об от­ сутствии растягивающего напряжения вдоль нормали (2^’^= 0). По Iiamcii классификации это соответствует модели Koccepa из третьего параграфа. Детализацию и модпфикацпю формулпровкп

Л.Я. AiiiiOJibr содержат работы К. 3. Галилюва [17, 18].

В.Петрашкеннч [50, 96] дал отличную от них формулировку модели Koccepa (он именовал ее моделью Рейсспера), в которой произведено выделение конечных поворотов материальных точек базовой поверхности. Для выделения поворотов он использовал полярное разлоягеппе пространственного позиционного градиента на бaзoкoii гюнерхностн с «правым» тензором деформации. Такое разложение представляет полпое преобразование базиса как дефор.мацпю C последующим жестки.\1 поворотом. Ono автоматически относит систему уравнений к метрике неизвестного деформпрованпого состояния.

Встатьях А. П. Жуковского и Я. Ф. Каюка [27, 31] сформу­ лирована модель первого приближения Грина — Нахди [84] п прослежена ее связь с моделью деформируемой поверхности Koc-

сера [85].

В работе автора [69] дано построение пелппейноп двумерной модели оболочки в рамках кицематической связи, допускающей лишь жесткий поворот нормальных волокон. Р1спользовано реверсивпое но отношению к [50, 96] разложение полного преобразо­ вания на жecткиii попорот п последующую деформацпю. Благо­ даря этому система уравнений сформулирована в начальной метрике оболочки. Установлено соответствие между двумерным моментным континуумом Koccepa п моделью оболочкц с жостшши поперечными волокпамп. Результаты работы отражены в третьем параграфе.

Более общая модель конечной деформации оболочки, в пол­ ной мере согласовапная с линейной аппроксимацией поля перемeщeнпii по нормальной координате, представлена в публикациях [67, 68, 70, 100] II во втором параграфе главы. Она эквивалентна точной модели первого приближения работы [84], но отличается от нее своей формулпровкой, в основу которой положено явное выделение поля конечных поворотов п оперирование в пачальnoii метрике оболочки. Тривпальпому полю поворотов отвечает градиентная формулировка точной модели первого приближения, которая приведена в статье [71].

Публикации [67—71, 100] составили основу содержания дапIioii главы. Ы.ч результаты изложены в oбpaтIIoii носледовательности. Сначала сформулирована наиболее общая термоме.хаинчсская модель оболочки с шестью кпие.матнческимп степенями сво­ боды, отвечающая лниехкион аппроксимации поля перемещений по пормальио!! координате. Она содержит не связаппое с поляр­ ным разложением позиционного градиента свободное поле пово­ ротов. В зависимости от способа его фиксации предложены не­ сколько эквивалептны.х вариантов фор.мулировки обще!! модели. При дополнительно!! кпиематическо!! связи, по допускающей де­ формации нормальных волокон, получена двумерная модель обо­ лочки C пятью кинематическими степенями свободы, согласую­ щаяся C моделью двумерного момеитного континуума Косссра. Тем самым установлен физический смысл иоследнек!. С. помощью кинематического ограпичепия, исключающего сдвиг нормальных волокон, осуществлен переход к двумерной .модели оболочки Кирхгофа — Лява с тремя кинематическими степенями свободы. Дапа точная постановка обобщенных краевых условнк! в ис.шгUeiinoii теории Кирхгофа — Лява.

Г л а в а 3

НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СТЕРЖНЕЙ

Подобно тому, как это было сделано для оболочек, в главе реализован аппрокспл1ационньЙ1 подход к построению не­ линейных моделе!! деформируемых стержиеобразпых тел. Дефор- Л1ация стержня как пространственного тела предполагается безмоментной, т. е. стержень изготовлен из материала, не проявляю­ щего локальных момептпых свойств. За исходную принята не­ линейная формулировка трехмерной задачи деформпроваипя безлюмеитного континуума. При построении обобщенных одномер­ ных моделей стержня его деформация подчинена определепньш кинематическим и динамическим связям. Наиболее общая одно­ мерная моментная модель стержня, определяющая все компо­ ненты прострапственного тензора деформащп!, получена прп на­ ложении только кппематпческоп связи, oбccпeчивaющeii липе11- ное распределение поля перелющепий по поперечному сечению стержня. Путем дополнительных кинематических и динамических ограничений выделены упрощенные варианты этой модели: типа Koccepa и Кирхгофа — Клебша.

§ 1. НАЧАЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ СТЕРЖНЯ

Под стерл?пем понимается твердое тело, материал ко­ торого распределен вдоль некоторой (базовой) линии, так что диаметр любого нормального (поперечного) сечения мал по срав­ нению C длиной и наименьшим радиусом кривизны линии.