книги / Механика деформаций гибких тел

Формулы вида (1.1.3) справедливы только при строчных значешшх индексов:

C номощыо (1.2.3) устанавливаются следующие правила диффе])енциропанш1 произвольного двумерного вектора Av(X)=W^ai,= = WM заданного в ко- и контравариантпом базисах:

Здесь 0„ — оператор ковариаптиой производной по переменной .с’ относительно начального двумерного базиса.

^^ормулы

d ^ = jdx^dx^, 7 — (detta;,,v])‘'^

dX = (Cnmdar^Jx'")

задают в окрестности точки х элемент площади d^, ограничеи- HbTii координатными линиями, элемеит длины граничного конту­ ра d*^ II расстояние dX между двумя бесконечно близкими точKaAIII X и X + dX.

2.2.Формулировка кинематических уравнений

Изменение положепия произвольной материальной точ­ ки двумерного континуума в процессе деформации измеряется вектором перемещения п(х) (возможная зависимость от времени предполагается, по явно не указывается). Позициоииьш вектор

точки в мгиовеппом состоянии принимает значение х = х + ц. Начальпый базис а^(х) преобразуется в мгповеипый базис Э;/)(х).

Векторы а„, = 5„х = а„ + 5„ц = а„ -4- Wn в любой момент распола­ гаются на мгновенной касательной плоскости. Вектор а,) может отклоняться от мгновенной нормали вследствие поворота мате­ риальной точки.

Из полного преобразования базиса выделяется жесткий по­ ворот, переводящий начальпый базис а^(х)в повернутый ал)(х). Деформация двумерного континуума не может изменить длину нормального вектора Эз, по может повернуть его как жесткое целое. Это условие выражается равенством

Два остальных вектора мгповеппого базиса в общем случае не совпадают с соответствующими векторами повернутого базиса. Векторы приращения

и „зап )-ап |

определяют поле деформаций двумерного континуума, согласовап-

Ф,з(ф)-‘ Sinф, ф*®(ф)-*(1-со8ф), ф = (VV)

II подчиняется условиям

Од'] •а.лг] = ад- •ам ^ Ядглг,

(ад-] X Пдг]) •BI,] = (ад- X Плг) •Эг, S ditML,

так что вдгм — метрический, ак»ь — дискриминантный тензоры начального и повернутого базисов одиовромеппо. Кроме того, по­ вернутый базис сохраняет присущее начальному базису свойство ортогональности

Согласованное с (1.1.12) равенство

вводит тензорное поло изгибаний ТЛ»(х) и определяет его через поле поворотов нелинейным уравпепием

У„ = фАУ + фгУХ5„У + (фа5„ф)У, ф* = (ф)"‘ (1-ф 1)- (1.2.12)

Для обозначения поля изгибаний двумерного континуума остав­ лена прописная буква, поскольку строчная используется для обозначения традиционного поля изгпбпых деформаций оболочки.

Тензорное поле деформаций (1.2.8) выражается через поля перемещений и поворотов эквивалентными пелипейпыми урав­ нениями

«» = ^nU— ф,у X а„ - фгУ X (у X а„) =*

Для скоростей измедспия кидсматических деремеплых слраведлдвы аналогичные (1.1.26) — (1.1.28) равенства

ба*-, = боУ X ал], боУ = ф,6у + ср,у X 6у + (ср*бф)у,

б\'„=*5„боУ + боУХУ„, би„ = 5„би-боУХа„1, (1.2.14); боУ„ = 5„боУ, боН„ = 5„би — боУ X а„,.

Скалярное предстаилепие сформулиронадных ураппепий может быть получено нутом разложедия введенных кинематических век­ торов по начальному пли повернутому базису

Ковариаптпые производные от векторов и тензоров в началь­ ном базисе вычисляются по согласоваппым с (1.2.6) формулам:

дп^М — — CnMlVLt

^nlVMK = Шдис.п — CI^K ICML — CnMlVLK,

которые справедливы и для компопепт с квадратными скобками.

Ураппешш совместности деформаци1т (условия сплошности двумерного моментного континуума) формулируются в поверну­

Компоненты вектора поворота и вектора перемещения обра­ зуют систему шести независимых кнпематпчоскпх параметров двумерного момептпого континуума. Формулы (1.2.19) и (1^2.20) выражают через эти параметры компоненты тензоров изгибаний H деформаций.

Из последовательной цепочки равенств

а„, •а„ * а*, - а„ = (а„, -I- и„) •аз, = и„ •а„ * u ,,,

следует, что мгновенный базис нс сохраняет, вообще говоря, свойство ортогональности повернутого базиса п компоненты u^si тензора деформации являются мерой отклонения мгповеппого вектора аз, и совпадающего с ппм повернутого вектора аз, от мгповенной нормали к поверхпости. В отличие от мгновенных векторов векторы 0«,, ортогональные Эз,, в таком случае пе мо­ гут находиться в плоскости, касательной к деформироваппой поверхпостп

2.3.Формулировка динамических уравнений

Ввиду отсутствия зависимости от перемеппой х* выра­ жение (1.1.41) для удельной мощности деформации двумерного

Равенство пулю этой величины для группы жестких перемеще­ ний обеспечивается дополпительпой динамической связью

вполне совместимой с понятием двумерного континуума, не име-

Их следствием являются локальные двумерные формулировк термодинамических постулатов

б2 == P + g — diVд,

(1.2.35)

—- g + diV g — g •h ^ 0.

При заппсп (1.2.34) и (1.2.35) введены операторы вычисления дивергенции и градиента в двумерном пространстве поверхности isf и коллппеарпый температурному градиенту вектор h =*

=grad t — grad In t.

Любой термомехаппческий процесс деформации двумерного момептпого континуума должен удовлетворять условиям (1.2.32) H (1.2.33) плп IIX модпфицироваппым эквивалентам. C ними должна быть согласована структура двумерных определяющих

уравпеппй.

Рассмотрим, например, двумерный континуум без внутрен­ ней диссппацип (совершенный, плп термоупругий):

За основной термодинамический потенциал примем поверхност­ ную плотность свободной энергии у ^ z - st. При этом условие (1.2.36) выражается равенством 6у = р — sSt п допускает уравпспие состояния вида

Последние должны удовлетворять термодннамическпм ограниче­

ниям типа (1.1.82).

Благодаря (1.2.36) неравенство диссипации (1.2.35) форму­

где г — неотрицательный тензор теплопроводности, который мо­ жет явным образом зависеть от определяющих параметров Unarj, PnMi, t и от вектора h:

При условии (1.2.39) равенство (1.2.36) обретает смысл урав­ нения теплопроводности.

Уравнения (1 .2 .3 6 )-(1 .2 .4 0 ) замыкают систему механиче­ ских уравнений и вместе с ними формулируют нелинейную за­ дачу термоупругости для двумерного моментного континуума.

Приведеппая схема построения термодинамических и опреде­ ляющих уравпепий двумерлого континуума не имеет того обще­ го и эмпирически обоснованного смысла, что у трехмерного. Ведь двумерный континуум — это математическая абстракция, кото-

рая может служить математической моделью деформируемого физического тела, если эмпирически обнаружены некоторые закоиомериости, математическое выражепие которых позволяет установить определенное соответствие между трехмерным и дву­ мерным коитинуумами. Например, закономерности, которые поз­ воляют моделировать двумерным коитппуумом плоскую дефор­ мацию физического тола, отличаются от проявляюп^ихся при мо­ делировании изгиба топких физических тел. Поэтому формули­ ровка определяющих уравпепии двумерного континуума должна опираться на соответствующие уравнеппя трехмерного континуу­ ма и учитывать эмпирические связи, идентифицирующие их. Такая ирогралгма реализована в следующей главе при модели­ ровании деформации материальной оболочки. Здесь уместно за­ метить, что д.’гя специальным образодг построенной системы тер­ модинамических и определяющих уравнений двумерный конти­ нуум Koccepa обретает смысл математической модели оболочки C жесткими поперечными волокнами.

жет быть симметризовап подобно тому, как соответствующий тсизор трехмерного континуума. Необходимое условие его сим­

которая устанавливает две скалярные зависимости между век­ торами поворота и перемещения. Иначе говоря, связь (1.2.41) сокращает число кинематически независимых параметров с ше­ сти до четырех, определяя две компоненты у„ вектора поворота через четыре параметра Нл-) Уз. При этом динамические парамет­

что мгновенный базисный вектор Зз в любой момент времени на­ правлен по нормали к деформированной поверхности. А именно это условие выполняется для материальной поверхности Кирх­ гофа, моделирующей деформируемую оболочку. Но наложение связи (1.2.41) не превращает еще построенную модель двумер­ ного моментпого континуума в модель Кирхгофа. От последней она отличается наличием независимого поворота относительно пормали и наличием нормальных компонент у тензора внут­ ренних моментов. Для полного совпадения с моделью Кирхгофа

щих компоненты вектора поворота с компонентами вектора пере­

отдельности, будучи навязана двумерному моментпому конти­ нууму, образует нз него определенный псевдомоментпый конти­

нуул1 Кирхгофа допускает постановку па граничном контуре лишь четырех скалярных условий.

Сочетание связей (1.2.41) и (1.2.42) образует замкнутую си­ стему уравнений для определения компонент вектора поворота через компоненты вектора перемещения и приводит к формули­ ровке двумерного аналога псевдоыоментного континуума со стес­ ненным вращением, который требует задания пяти скалярных условий на граничном контуре.

Псевдомомеитный континуум с сочетанием связей (1.2.42) и (1.2.43) также требует задания пяти контурных условий и от­ личается от поверхности Кпрхгофа наличием кпиематически не­ зависимого поля угловых перемещений нормали. Такой копти-

чается от поверхности Кирхгофа наличием независимого пово­ рота отпосптельпо нормалп.

Добавление к кинематическим связям (1.2.41) и (1.2.42) бо-

приводит к модели двумерного безмомептного континуума — безмо.ментпой материальной повер.хности.

означающие, что тензор усилий у такого континуума имеет липп. четыре компоненты в мгновенном и повернутом базисах и сим­ метричен в тангенциальном мгновенном базисе.