книги / Механика деформаций гибких тел

гарантирующим отсутствие па контуре нормальных силовых воз­ действий. B AIGCTC с (1.2.45) оно образует совокупность необхо­ димых условий реализации безмоментной модели.

В соответствии с (1.2.41), (1.2.42) и (1.2.46) удельная мощ­

ность дефорАгацнм безАюментпого континуума может быть выра­ жена любым из равенств

J (2-би — 2"-б^пИ) diS 4- J Zv*бuM9’ = О

в результате интегрирования по частяА! и учета скалярных ра­ венств (1.2.40) II (1.2.47) преобразуется к виду

Отсюда следует основное динамическое згравнение безмоментной поворхпости

ТакиА! образоА!, ciiCTeAia уравнений безмомептнои модели дву­ мерного KOHTHHyyAia допускает постановку на контуре лишь двух скалярных граничных условий (кпнематпчешшх пли динами­ ческих) .

Согласно (1.2.46) вектор усилии 2" имеет две компоненты в мгновенном и повернутом базисах и три компоненты в на­ чальном базисе, так что г" — г"”*^ат) = Вслед­ ствие этого безАюментная структура векторного уравнения (1.2.49) обнаруяшвается лишь в первых двух базисах. Так, в по­ вернутом базпее оно формулируется модифицированной но срав­

нению C (1.2.31) системой скалярных уравнений 5„12’*"’’4 -2’"^« О, тогда как в начальном базисе сохраняет форв1улировку (1.2.30).

Система механических параметров состояния безмоментного двумерного континуума (поверхности) образуется в соответствии C (1.2.48) из кинематических переменных щ,»! или ш».) и д о а - Агических переменных в""** или 2"”^

Уравцеппя одпомерпого моментпого континуума Kocсера получаются из уравнений трехмерного формальным сокра­ щением размерности нространства. Taiioii континуум можно трактовать как деформируемую материальную линию, которая слулчит математической моделью деформируемого стерл;ня.

В пастоящем параграфе приведены кинематические и дина­ мические уравнения, описывающие конечное деформнронапное состояние одномерного момеитиого континуума Коссера, п осу­ ществлен переход к более простым моделям деформации мате­ риальной лпннн.

3.1. Начальное состояние континуума

Прп формулировке уравнений одномерного континуу­ ма под областью Si- следует понимать некоторое одномерноо многообразие (кривую) norpyHieiiiioc в трехмерное евклидово пространство п параметризованное лагранжевой коордипато1г .г*’. Граница одномерной области ^ состоит из граничных точек с™.

Параметры одномерного континуума в отличие от трехмерпого обозначаются соответствующими строчными буквами. В ча­ стности: X (х® ) — начальный позиционный вектор произвольной точки кривой ‘5’; а.у(х) — начальный координатный базис, привя­ занный к кривой и состоящий из касательного вектора аз и нормальных к нему векторов Лп- По определению базисные век­ торы подчиняются условиям аз = дзХ, а» •аз = 0. Метрический и дискриминантный тензоры п коптравариаитпый базис опреде­ ляются равенствами (1.2.1) и 1.2.2).

Производные от базисных векторов по переменной х® пред­

заданного в ко- и коптраварпантпом базисах, осуществляется по прави.чам:

лУз = = Ztjdiiv^ = а"5зШлг,

d^WM= и'м.з —

Здесь да — оператор ковариантной производной по переменной х*

3.2. Формулировка кинематических уравнений

П.чмеиепие положеипя произвольной материальной точки одномерного континуума в процессе деформации измеря­ ется вектором перс^чещсния и(х) (зависимость от времени явно не указывается). Позиционный вектор точки в мгновенном со­

ВСЛСДСТ1ЧИО поворота матсриальпо11 точки.

Выде.ченпо жесткого попорота вводит повернутый базис ал](х). Дсфчфмацпя нормалч.иых векторов сводится к жесткому повороту H вс.тедствие этого подчиняется условию

Касателы1Ы11 вектор Зз, мгиовеппого базиса в общем случае от­ личается <гг соотпстст1чующего повернутого вектора Зз]. Вектор приранщиня

определяет поле деформаций одпомсрпого коптппуума, согласо­ ванное C условием (1.3.2).

Преобразование попорота выражается через натуральное поле поворотов V(X) уравнениями (1.2.9) и сохраняет свойство ортогопалышстн ( 1.2.10).

Согласоваппос с (1.1.12) равенство ^sairj = V jX aM j вводит векторное поле пзгпбапий Vs (х) одномерного континуума и оп­ ределяет его через поле поворотов нелпиейвым уравнением

Введенное равенством (1.3.3) поле деформаций выражается

через поля перемещений и поворотов эквивалентными пелннейиыми уравнениями

Ua = ^ u — ф.у X а, — фгУ X (V X а,) ==

Для скоростей измеиеппя кинематических переменных спра­ ведливы аналогичные (1.2.10) равенства

бaл-J = боУ X 8х), боУ = ф1бУ + фгУ X 6у + (фзбф)у,

Скалярное представление сформулированпы.х уравнений можст быть п«лу,опо посредством рамсяГоюш звед^вы ^ ™ с “ 1 тпчеешх векторов по навальном^ или поверпуто^

U — и .,а" = Ви,а"1. V — 1>„а“ —

Компоненты вектора поворота п вектора перемещения обра­ зуют систему шести независимых кинематических параметров одномерного моментпого континуума. Формулы (1.3.6) и (1.3.7) выражают через эти параметры компоненты векторов изгибаний и деформаций. Поскольку поля деформации п изгибапий вектор­ ные, суммарное число их ко.мпопепт также равно шести.

Из последовательной цепочки равенств

Зп) ■Из) = Bn] •Зз) = Bn] •(Вз] + Пз) = а„] •Из = Мз„|

следует, что мгновенный базис не сохраняет, вообще говоря, свойство ортогональности повернутого базиса и компоненты Мэп| вектора деформаций являются мерой сдвига нормальных векто­ ров по отношению к касательному.

3.3.Формулировка динамических уравнений

Ввиду отсутствия зависимости от переменных и выражение (1.1.41) для удельной мощности деформации одно­ мерного континуума запишется так:

P = V - (а,бП - боУ X Аз,) + У ’ . дзбоУ - Z" . (боУ X А „,).

Равенство нулю этой величины для группы жестких перемеще­ ний обеспечивается дополнительной динамической связью

вполне совместимой с понятием одпомерного континуума, пе имеющего сечепий х" = const, па которых определены векторпые поля Z".

Согласованное с условием (1.3.8) значение удельной мощно­ сти дефорлшцнн определяется формулой

Здесь P — контурная плотность мощносш ипутренппх сил, рас­ считанная на единицу начальной длины; 2*(х) п Y ^ (X ) - поля внутренних усплн1г н моментов, распределенные по сечению

— const.

Впеннше механические воздействия па одномерный конти­ нуум могут быть распределены по кривой ^ и сосредоточены в ее граничных точках с"*. Силы и моменты, распределенные по

крпвой, измеряются контурными плотностями 2(х) п Y (X ), рас­ считанными па едпппцу начальной длины. Силы п моменты, со­

средоточенные л граничных точках, задаются векторалш 2„ и Y^,

кинематические возде11ст1шя — векторамп и*" и V™. Контурные плотности инерционных сзгл п моментов включаются в динами­

ческие поля Z II Y.

В каждо11 из гранпчпых точек могут быть заданы лпбо кине­ матические условия, либо динамические. Для универсальной заппсп грапичных условий удобно ввести в точках с"*;

1)единичные касательные векторы е™, каждый из которых направлен в сторону продолжения кривой за граничную точку;

2)кипематичсскпе векторы и™ и V™, определяемые равенства­

ми U*" = и’", у”‘ = у" при заданпп в граничной точке кинемати­

ми Zm = Zm, Ym = Ym, прп заданин динамических условий п ра­

Из (1.1.47) следует уравнение баланса механической энергии

Уравнения (1.3.10) п (1.3.11) справедливы и для виртуаль­ ных кинематических полей. Их следствием являются локальные динамические уравнения

пшематическпе граничные условия

и динамические граничные условия

Д.чя скалярного представления сформулированных динам иче-. CKHX уравнении могут быть использованы разложения силовых векторов по начальному п повернутому базисам:

Здесь Z*" и — компоненты вектора внутренних спл; У’" п уз-м1 _ моментов. Формулы (1.3.12) позволяют установить яавпспмости между компонентами по разным базисам, в частпости

Присутствующие здесь ковариантные производные тензоров вы­ числяются по согласованной с (1.1.32) формуле

Выражение (1.3.9) для удельной мощности деформации при­

Сформулированные кинематические и динамические уравне­ ния образуют систему механических уравнений одномерного континуума (материальной лпппи) Коссера.

3.4. Формулировка термодинамических и определяющих уравнений

Если ограничиться изучением термомеханичес1шх процессов деформирования одномерного моментпого континуума, то систе.му его люхаиическпх уравнений следует дополнить форMyHuponKoii одномерных термодинамических п определяющих уравнении. IIx можно получить из соответствующих уравнений трехмерного континуума путем формального уменьшения раз­ мерности лространства.

Для одномерного термомеханичес1?ого континуума постули­ руется сущестконанне линейных плотностей, внутренней эпергип Z(X) H энтропии 5(х), скалярного поля абсолютной температуры

нейной плотности поступления внешнего тепла и скалярное поле </(х) скорости внутреннего теплового потока вдоль базовой кривой.

В соответствии с (1.1.61) первый постулат термодинамики одномерного континуума формулируется как уравнение притока

Для дифференцируемых полей д(х) и ^(x) возможно преоб­ разование (1.3.16) H (1.3.17) к однородным интегральным формам

f b Z d ^ = f (/H- 9 —

Их следствием являются локальные одномерные формулпровк термодинамических постулатов;

бг = р + д — /з^д.з,

(1.3.19)

— q + Jaq^s — дЛ > 0.

При записи (1.3.18) и (1.3.19) введено скалярное поле к ( х ), пропорциональное градиенту температуры вдоль базовой кривой:

h = (/з^) ^,3 = /з ' (In ^),3.

Любой термомеханический процесс деформации одномерного момептного континуума должен удовлетворять условиям (1.3.16)' п (1.3.17) илп их модифицпроваппым эквивалентам. G ними должна быть согласована структура одномерных определяющих уравнений.

Рассмотрим, например, одномерный континуум без внутрен­

За ocHOBHoii термодинамический потенциал примем лпнейпую плотность свободной энергии X j ^ z - S t При этом условие (4.3.20) выражается равенством Ьу = р — 5Ы и допускает урав­ нение состояния вида

Последние должны удовлетворять термодинамическим ограниче­ ниям типа (1.1.82).

Благодаря (1.3.20) неравенство диссипации (1.3.19) форму­

где г — неотрицательный коэффициент теплопроводности, кото­ рый может явным образом зависеть от определяющих парамет­ ров Ihiti, Т'зм], t п от скаляра /i;

При условии (1.3.23) равенство (1.3.20) обретает смысл уравне­ ния теплопроводности.

Уравнения (1 .3 .2 0 )-(1 .3 .2 4 ) замыкают систему механиче­ ских уравнений и в.месте с ними формулируют нелинейную за­ дачу термоупругости для одномерного момептного континуума.

Как и в случае двумерного континуума, приведенная схема построения термодинамических и определяющих уравнений име­ ет под собой абстрактную, сугубо математическую основу. Сохра­ няющая физическую содержательность схема рассмотрена в по­ следней главе при моделировании деформации материального стержня. Отметим, что для специальным образом построенной системы термодинамических и определяющих уравнений одно­ мерный континуум Koccepa обретает смысл математической мо­ дели стержня C жесткими поперечными сечениями.

3.5. Материальная линия Кирхгофа и безмоментная линия

исключающе!! сдвиг нормальных векторов по отношению к каса­ тельному, получается модель одномерного псевдомоментпого кон­ тинуума, которая может быть согласована с классической одно­ мерной лгоделыо изгиба стер/кня Кирхгофа — Клебша. Одномер­ ный псепдомомептпьп! континуум, деформация которого подчи­

нена кинематической связи (1.3.25), условимся называть мате­ риальной л IiJIiicii Кирхгофа.

Связь (1.3.25) обеспечивает ортогональность мгновенных век­ торов а„, Iieivropy аз, и устанавливает две скалярные зависимости

между НО.ТЯ.М11 перемещений и поворотов, позволяя определить две компоненты вектора поворота через четыре кинематиче­ ски независимых параметра н.,/, у,. При этом динамические па­ раметры с"'" прпобрстают смысл силовых реакций, отвечающих связи (1.3.2.5). и находятся нз дннамичесхшх уравнений (1.3.15), тогда какопределяющие уравнения для них теряют смысл. Все остальные нара.метры состояния существенны, л том числе мера кручения Глл) лнннн ^ и крутящий момент У’®. Мера кручения выражается через параметр Уз, измеряющий поворот относитель­ но касатс.п.пого вектора а,, (последний коллииеареп в данном случае вектору аз,). Существенные параметры состояния опреде­ ляются нз выражения для удельной мощности деформации

P = г^-^'бнзз, + У^^'бУзлг,.

Еще более простая модель одномерного псевдомоментпого континуума образуется при добавлении к (1.3.25) дополннтельHOii кнпе.матической связи Из •Оз, = Нзз, = О, которая также ис­ пользуется в классической модели изгиба стержня и исключает дефор.мацнп растяжения — сжатия линии Динамический па­ раметр Z-"' приобретает смысл силовой реакции, определяемой нз динамических уравнений (1.3.15).

Если же к кинематической связи (1.3.25) присоединить дина­ мическую связь = О, совместимую с заданными условиями

Y = 0, Ym = Р, то в результате .получится элементарная модель безмоментпой деформации одномерного континуума, которая ллштирует однородную по сечению деформацию стержня. Это моде.чь безмомептной материальной линии. Ей соответствует простейшее значение удельной мощности внутренних сил р = = г^’бнзз,, которое определяет всего два параметра состояния:

«33, и Z " '.

§ 4. КОММЕНТАРИИ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ ССЫЛКИ

Основополагающим трудом, который дал начало боль­ шой серии работ по момептным теориям сплошной среды, являегся монография Е. и Ф. Koccepa [78]. G ее содержанием совет-

SP

ский читатель может позпакомиться по книге Д. И. Кутилппа [36, гл. 10]. Обзор публикаций до 1960 г. содержится в фунда­ ментальном труде К. А. Трусделла и Р. А. Тупина [109], более поздних — в статье А. А. Ильюшина и В. А. Ломакина [29] и в сборпике докладов Международного симпозиу^ш по обобщенпым средам Koccepa [93].

Е . и Ф. Koccepa дали систематическое построение модели деформируелюй сплошпой среды, у которой каждая материальная частица (точка) подобно жесткому телу обладает шестью сте­ пенями свободы: тремя линейными (поступательными, позпционпыми) и тремя угловыми (вращательными, ориептацпопнььми). Класспческая безмоментиая модель допускает только три позициоппые степени свободы в соответствии с онрелелеписм ноложеппя точки в евклидовом пространстве.

Классическую кинематику деформируемого континуума Е . и Ф. Koccepa дополнили введением пезавнсимого вращения материальной частицы в процессе деформации. Для его матема­ тического описания опи ввели ортопормпроваппый базис, совер­ шающий жесткий поворот вместе с частицей (т. е. повернутый базис). В качестве параметров орнентацин были приняты на­ правляющие косинусы повернутого базиса отиосителыю началь­ ного, в качестве мер деформации — тензор пзгибаппй У.у п пози-

цноппый градиент дкХ = A^r,. Вектор поворота н тензор дефор­ маций (1.1.15) не были введены.

Классическую динамику деформируемого континуума Е . и Ф. Koccepa обобщили за счет введепия тензора впутреппи.х моментов. При этом опи нс.ходшш нз постулата существования потепциала плотности эпергпи деформации TF («действия де­ формации», по их терминологии). Требование обращения в пуль вариации этого потепциала для произвольного объема среды при дифференциальном преобразовании группы жестких перемеще­ ний определило его зависимость от введенных мер деформации:

ных полей осуществляется в повернутом базисе. При этом кине­ матические тензоры Ащ, VJV п динамические тензоры

дают по восемнадцать кинематических и дипамических парамет­ ров трехмерного момептпого континуума Коссера.

Ана.логичпым образом Е. и Ф. Коссера осуществили построе­ ние уравпенш! двумерного и одномерного моментных континуу­ мов C независимыми поворотами материальных частиц. В каче­ стве параметров состояния двумерного момептпого континуума введены двенадцать компонент деформационных тензоров а„,,

и такое же число компонент силовых тензоров Z", Y". У одно­ мерного момептпого континуума параметры состояния образуфт-