книги / Механика деформаций гибких тел

Прпсутствующпе здесь коварпаптпые производные вычисляются

которая показывает, что компоненты силовых и деформационных тензоров в повернутом базисе являются энергетически согласо­ ванными (сопряяшииыми), тогда как между их компонентами в начальном базисе такого соответствия пет. Эта особенность обиаружпвает преимущество разложения но повериуто.му ба.чису.

Здесь под P понимается величина (1.1.59). Такая форма записи находится в полном согласии с киие.матическнлш зависимостя.ми

1.4.Формулировка термодинамических

иопределянзщих уравнений

Сформулированные в предыдущих разделах уравнения имеют чисто механическую природу. Система этих уравпепп!! не замкнута, так как число неизвестных функций превышает число уравнении. В классической механике деформируемого контину­ ума соответствующая система замьшается эмпирическими урав­ нениями, связывающилш компоненты тензора напряжений с ком­ понентами тензора деформаций и температурой тела. Такие урав­ нения могут быть как конечными, так и дифферепциальиы.\ш по времени. Они отражают реактивные свойства того или иного материала относительно силовых и термических воздействий и являются внутренней характеристикой его деформатпвной «спо-

собпостп». в этом смысле пх принято называть «определяющи­ ми» уравпешшмн.

Получеппе определяющих уравпеппп чисто эмпирическим пуТС.М осложняется неизбежным разбросом экспернмептальных дан­ ных, KOTopbiii порождает неустранимый произвол в эмпирических зависимостях. Выход состоит в привлечении физически согласоBaiIIioii теории оиределяющпх уравнении, которая устанавливает те ненреложпыс ограничения, которым они должны удовлетво­ рять, чтобы с.тужить математической моделью наблюдаемых ре­ активных CBoiicTB материалов. Тем более это необходимо для моМС1ШНЛХ сред, деформация которых характеризуется вдвое боль- Ш11.М числом ь-нпсматичсских п динамических параметров, чед1 в

классической .модели.

<1>и;шчос1;и согласованная теория определяющих уравнений

должна опираться на термодинамические законы физики. Реаль- 111.1П процесс дефор.мации — это физический процесс, который

протекает .в оп])едолсиио.м тепловом режи.ме, при определенных гратпацпоппых, а.чоктромагпитпых, радпациоппых п прочих возлепстипях. On сопровождается нрптоко.м н производством эперпш. ............ он от .Me-XanHMOCKOii: тепловой, электромагнитной Jr ир. Очень |11П]юг: и важен л прикладном отпошеипп класс тер-

лгомехаппмескпх процессов деформировашш, когда кроме мехаииMCCKoii пеооходп.мо учитывать также тепловую энергию. РТменно :)тит !.масс задач рассматривается здесь при пзучеппп физических аспоктоп теории определяющих уравнений момептпого контину- у.ма. J!паче говоря, изучается тер-момехаипческий дюментиый коптппуу.м.

Для дефор.мируе.мого тердюмеханичсского коптпнуума посту­ лируется существовапис внутренней энергии, абсолютной темпе­ ратуры и зитронпи как одпозпачпглх функцш! его мгповепного состояния. Абсолютная температура T является скалярным по­

лем области, так что 2’ = T (X) > 0 . Впутренпяя энергия и энтро­ пия вводится Kaix аддитивные скалярные функции области и определяются через свои объемные плотности Z(X ) п 5 (X ), рас­ считанные на единицу пачалыюго объема. Для любого начально­

Подобно внешним силовым вoздeiicтвия.м подвод тепла к телу осуществляется за счет объемного поступления п за счет кон­ тактного потока (теплопроводности) через поверхность. Если

^ ( X ) - скорость поступленпя тепла в единицу начального объе­ ма, Q(X)-BeKTOp скорости теплового потока через единицу на­ чальной площади поверхпостп, то скорость подвода тепла к произвольно.му обт^сму континуума в текущий MOiieuT времени ванишется су.ммой

J Qds¢ -ь I ( - E v )

кальпого неравеиства для скорости удельной внутренней энергпп:

(1.1.66) можно заменить эквивалентным неравенством для ев

смысл чистой днсснпацнп тепла, все их остальные слагаемые

R - ^ m - (? + Div Q = P - бУ + Гб5 ^ P - бУ - 36Т (1.1.68)

определяют удельную внутреннюю диссипацию континуума. Бла­ годаря (1.1.68) приведенные локальные формулировки второго посту.тата термодинамики люгут быть выражены обобщающим неравенством диссипации

Jfioooii термоме.ханнческпй процесс деформации должен удов­ летворять условиям (1.1.61) и (1.1,62) или их модифицирован­ ным эквивалентам, т. е. быть термодинамически допустимым. Ука­ занные условия накладывают ограничения на структуру определяюищ.х уравпенин термомеханического континуума. Для того чтобы убедиться в ЭТ0.М, полезно представить общую схему за­ дачи о деформировании моментпого коитипуума.

Его движение в процессе деформации вполне определяется векторными полями перемещений и поворотов: U и V. Динами­ ческие уравнения, которые привлекаются для их нахождения, вводят неизвестные тензорные поля напряжений и моментов:

и Y ". Наконец, постулаты термодинамики содержат пеизвестное векторное поле Q скоростей теплового потока и неизвестные скалярные поля внутренней энергии, температуры и энтропии: Z, T и S. Неизвестные поля подчиняются динамическим уравнепиям (1.1.38), уравпепию притока тепла (1.1.64) и неравенству диссипации (1.1.69), которое может быть представлено любой из формулировок (1 .1 .6 5 )-(1 .1 .6 7 ). Энергетическое и динамические уравнения всегда можно удовлетворить надлежащим заданием

объемной скорости поступления внешнего тепла ф ) и объемных внешних сил и моментов. В отличие от них диссипативное нера­ венство (1.1.69) не содержит внешних полей и может быть удов­ летворено только за счет согласованной с ним структуры опре­ деляющих уравнений. Такую структуру уместно назвать термо­ динамически согласованной.

В качестве примера рассмотрим процедуру установления тер­ модинамически согласованной структуры определяющих уравне­ ний для так называемого «совершенного» материала, т. е. без

в соответствии с (1.1.59) первое из них определяет плотность внутренней энергии как функцию

Второе определяет плотность свободной эпергпи как функн,ню

Функции (1.1.71) и (1.1.73) имеют смыс.т термодинамических потенциалов деформации, а их пезавпснмые поремсиныо — оироделяющпх параметров состояния. При DTOAI снмиоло.м P оио;ш.1- чей массив пезависимых физических параметров, которые сог.часHO (1.1.70) пе дают вклада в полные производные тсрлюдича.мнческих потенциалов. В этот массив не шслючены параагстры T и S, поскольку каждый из пих дает вклад в одну из нронзпо.дных (1.1.70). Руководствуясь правилом равного присутствия опреде­ ляющих параметров [58, с. 441], следует выделить эти параметры в обоих термодинамических потенциалах.

Неравенство дпееппацин для совершенного материала вырож­ дается к виду

Для его удов.четвореппя может быть продложеп следзчощий копструктпвпый прием. В соответствии с физическим законом тер­ мического равновесия должно выполпяться условие Q = O при H = 0. Его можно обеспечить за счет представлепня вектора скорости теплового потока скалярным произведеппем

Н, коллпнеарного градиенту температуры. По условию зависи­

чтобы опа в любой момент времени была положительно полуопределепной. Это условие накладывает стандартную систему огра­ ничений па компоненты тензора R, который уместно назвать тензором теплопроводности совершеипого материала.

Таким образом, в векторе скорости теплового потока оказа­ лось удобным выделить явную зависимость от векторного паралютра И, характеризующего температуриыГг градиент. К системе определяющих параметров его можно отнести посредством вклю- ^!епия в массив P физических аргументов тсрмодппамическпх потенциалов (1.1.71) и (1.1.73).

Как видно из уравпеппп (1.1.72) и (1.1.74), задание одного

JlTaic, если исходить и.з того, что феномеиологическпм путем определен один из тер-модинамических потенциалов совершеипого материала и установлена зависимость вида (1.1.76), удовлетво­ ряющая условию (1.1.7.5) и характеризующая тепловую диссипа­ цию, то уравнеиня (1.1.72) и (1.1.78) или (1.1.74) и (1.1.78) Я11.Т1ЯЮТСЯ те.мн уравнениями состояния, которые необходимы для ла.мыкапня системы кинематических и динамических уравиеиий

.Аю.меитного ieoiiTimyyMa.

При гако.м (оютеидна.лыюм» подходе к описанию термомеха- ннчесь-нх ciioiicTB континуума систедш его определяющих уравне­ ний об1)азуется собственно из уравпешп! (1.1.71) и (1.1.76) пли (1.1.73) и (1.1.76), поскольку все остальные уравпеиия состоя­ ния 1{онструн])у10тся чисто математически. Однако, как всякий додуктивньи'! подход, OII слитком абстрактеи для того, чтобы б1|1ть реализованным фспомеиологически. Иа практике осуществ­ ляется обратная феноменологическая процед^фа. Сначала о по­ мощью гипотез и проверочных экспери.мептов устанавливается массив определяющих параметров и аппроксимируются определя­ ющие уравпепия материального континуума. Затем опн коррек­ тируются таким образом, чтобы в рамках точности эмпирических данных были удовлетворены те Агатематическне ограппчеипя, ко­ торые вытекают из термодинамических законов. Тем саАгым обес­ печивается возможность восстановлеппя термодинамических по­ тенциалов чисто математическим путем.

Представим себе эту схему д.ля совершенного материала. Предварптельпо следует обратить вппманпе па следующие три обстоятельства.

Во-первых, самыми общими зависимостями для термодинами­ ческих потенциалов совершенного момептпого континуума мож­ но считать зависимости

Z = ZiU^Mb Vmn, S) У =Г(17,..и ,. Ул-АГ]. Г ). (1.1.79)

Действительно, содержащиеся в (1.1.72) и (1.1.74) равенства

OZIdT = O, dZldP Oj'' OYIdS = О, OYIOF = О либо свидетельствуют о независимости потенциалов от соответствующих перемепиых.

либо позволяют исключить последппе из системы определяющих параметров. В том числе это относптся к вектору Н, который естествеппым образом включается в массив Р.

Во-вторых, соответствеппо заданному потенциалу только один из параметров T u S является определяющим. Второй всегда мо­ жет быть определен своим уравпением из (1.1.72) и (1.1.74).

В-третьих, явная зависимость тензора теплопроводности R от вектора H сводится к усложнеппой зависимости от температуры

пизменяет лишь структуру уравпепия теплопроводности (1.1.78). Пусть феноменологически устаиовлепо, что определяющими

п R. Из предшествующего анализа ясно, что для замыкания си­ стемы уравнений, описывающей деформацию момептного конти­ нуума, необходимо задать зависимости, связывающие параметры второй группы C первой. Эти зависимости и являются определя­ ющими уравнениями. Для их установления необходима эмиирпческая информация о локальных термомехапичоских CBoiicruaX данного материала. Определяющие уравнения выражают его фе­ номенологическую модель.

Считаем, что определяющие ураппеппя совершенного моментного континуума известны.- Следовательно, плотность энтропии, тензоры тепловой диссипации, напряжений п моментов аппрок­

Y L K ] , Т ),

Для этого материала изучается класс задач, в котором ско­ рость объемного поступления тепла является известной функ­ цией времени, координат и, возмоя;по, определяющих парамет­

ров и их скоростей: (? = ^(тг, X , . .. ) .

Замкнутая система уравнений совершенного момептного кон­ тинуума образуется из общих кинематических и динамических уравнений, уравнения теплопроводности (1.1.78) и определяю­ щих уравнений (1.1.80). Термодинамические потенциалы в такой формулировке не используются. Однако их объективное суще­ ствование пакладывает определенные ограничения на структуру зависимостей (1.1.80).

Прежде всего уместно заметить, что уравнения (1.1.80) долж­ ны быть инвариантными относительно преобразования координат.

Поэтому функции R, и должны сохранять свои тен­

зорный смысл, а функция S — скалярный.

Затем аппроксимация (1.1.80) для тепзора теплопроводности должна обеспечивать выполнение неравенства тепловой дпссипа-

цпп (1.1.75) H форме условия положительной полуопределешю' стп кпадратпяиой формы (1.1.77), т. е.

(1.1.81)

Далее, термодинамический потенциал Y мо/кет быть опреде­ лен лишь при выполнении условий иптегрируемостп его диффе­ ренциальной формы (1.1.70). C помощью зависимостей (1.1.74) эти условия формируются следующе1Г системой равенств:

OSIdU^,,У=

д5/дУ г;щ =

(1.1.82):

= aУ^''^/aC7.v.^r],

Ома выраясаот то термодинамические ограничения, которым долж­ ны иодчишгп.си аппроксимирующие функции определяющих урамиеиий (1.1.80) помимо CBoiicTB ннварнантиостн.

JVpo-MC того, ураииенне теплопроводиости (1.1.78), будучи нредстац.тоио в форме

также треоуот выполпения условии интегрируемости, которые следует трактовать как определенные ограничения па структуру

.чависимостн плоыюсти энтроппп от определяющих параметров. Нот особого смысла выписывать ограничения в общем виде: их нетрудно установить для любой заданной завпсимости. Полезно от.метнть лишь, что благодаря условиям (1.1.82) полпая произ­ водная от функции антропии может быть представлена диффереицналыю!! формой

65 = дВЮх + [OSIdT) бГ - [дЪ^'-^^ЧОТ) бС/к.,г] - [дУ^^^ЧОТ) бУл-.лг] (1.1.84)

C сохранением условий ее интегрируемости. Завпспмость (1.1.84) формируется C помощью функций (1.1.80).

В результате выполпеппого анализа приходим к заключепню, что термодинамически согласованной системой определяющих уравнений совершеппого моментиого континуума является систе­ ма вида (1.1.80), удовлетворяющая ограничениям, выражаемым равенствами (1 .1 .8 2 )-(1 .1 .8 4 ) и неравенством (1.1.81). Значе­ ние указанных ограппчений состоит не только в том, что они служат критерием термодинамической корректности феноменоло­ гических аппроксимаций, по н л том, что опп существепио сокра­ щают объем экспериментальных исследований, пеоб.ходпмых для установления определяющих уравнений.

Для завершения термодинамического оппсаппя совершеппого момептпого континуума следует рассмотреть основные идеальные процессы его деформирования.

Изотермический процесс. В нем температура сохраняет по­ стоянное значение в ка/кдой точке деформируемого континуума,

так что T - T (X) и бГ = 0. В качестве термодинамического по­ тенциала удобно выбрать плотность свободно!! энергии, которая в этом случае будет функцией только кинематических парамет­

которые уподобляют совершенный континуум в изотермическом процессе механически упругому материалу с потенциалом дефор­ мации (1.1.85). Среди условий существонапия потенциала )шут> реипеп энергии Z имеются уравнения

(поскольку со.храняет свое иачальпое распродсление), то ураипспие теплопроводности (1.1.78), которое должно выпо.’шят1.си в любой момент времен!!, определяет по температуру, а функцию эптроппп S. Равенства (1.1.87) свидетельствуют о том, что дипампческпе параметры континуума не зависят от энтропии.

не требуют определения энтропии, то термомсхаппческая задача сводится к чисто механической. Если же функция эптроппп иу/К- па, то она определяется из (1.1.78) после решения механической

задачи. В частном случае, когда тензор R и функция Q не за­ висят от механических параметров UKU^ и F WWJ, ф)ункция эитроппп вычисляется независимо от решения механической задачи.

Фепомепологическпе определяющие уравпеппя в изотерагачс- cKoai процессе пагеют модифицированную по сравпению с (1.1.80) структуру

Г = Г (Х ), K = -RiUbKU VbKU Г ).

г ^ » п ^ 2 ‘^т(^иьки VbKU Т ),

и ‘''^^ = У^^Циьки VbKU Т ),

где T (X) — начальное распределение температуры в континууме. Изотерасический процесс служит идеализированной моделью таких реальпых тераюдипаагических процессов, в которых теплообасен, обусловленный теплопроводностью или излучением, осу­ ществляется C гораздо большей скоростью, чем иза!енепие состоя­ ния (дефорагация контипууа1а ). К таким процессам относятся.