книги / Микрополосковые и диэлектрические резонаторные антенны. САПР-модели методы математического моделирования

где штрих относится к координатам источника, а р' есть проекция вектора г' на плоскость .ту. Скалярный потенциал с учетом уравнения непрерывности заряда запишем в следующем виде:

где ядро Gtf, представляет собой скалярный потенциал точечного заряда, ассоциированного с горизон­ тальным диполем Герца.

Для бесконечно протяженных диэлектрических слоев каждая из функций Грина обладает свойст­ вом инвариантности к смещению вдоль осей д- и у, т.е.

G (p ,z;p',z')=G (p-p'1z;0.z').

Для упрощения можно считать, что диполи источников размещены на вертикальной оси z.

Вне источников компоненты векторного и скалярного потенциалов удовлетворяют уравнению Гельмгольца

A \ + k 2\ = - J sJ).

где J V>A- плотность токов возбуждения.

Общее решение этих уравнений внутри каждого слоя в цилиндрических координатах имеет вид

В этих выражениях каждая из трех горизонтальных строк справа отвечает значению компонент функций Грина в соответствующем слое.

21

Методырасчета мчкропаюсковых антенн

Коэффициенты A„ £,, Q, A. £ -, £ для двух возможных положений источников: 1 - на границе воздух - верхний слой (/=1) и 2 - на границе между диэлектрическими слоями (/=2) определены равенствами:

ностных волн, распространяющихся в структуре. Корни этих уравнений являются полюсами в подынте­ гральных выражениях для функций Грина и, следовательно, знание их положения определяет точность процедуры интегрирования.

Критическая частота основной Шо-моды поверхностной волны равна нулю, поэтому такая мода может распространяться в диэлектрическом слое любой толщины над проводящей поверхностью и, сле­ довательно, по меньшей мере один полюс для функции Грина всегда существует. Условие, гарантирую­ щее отсутствие мод поверхностных волн высших порядков в рассматриваемой структуре, получается из

При h\ = hz =h и £i=2 из (23) следует, например, что первая Г£-мода поверхностной волны возникает при А/^о=0,074 для £2 =10 и h ! \ =0.125 для £2 = 2. Мода Ш 2 возникает при A/2Q=0,115 для е2 =10 [53].

Условие (23) выполняется на практике в большинстве приложений. Наличие только одного полюса облегчает процедуру вычисления функции Грина, которая реализуется путем выделения сингулярной части и оценки ее с помощью вычета.

Интегральное уравнение относительно неизвестного распределения плотности тока J, на пластине (пластинах) МПА возникает из граничного условия для тангенциальной сотавляющей электрического

где Есор - стороннее или возбуждаемое поле; Еина - индуцированное током J, или дифракционное поле; Z, - поверхностный импеданс пластины, учитывающий омические потери в проводниках. Величина Z, равна отношению полного тангенциального электрического поля к полной поверхностной плотности то­

получившему название интегрального уравнения смешанных потенциалов (ИУСП). Здесь оператор div’ действует на координаты источника, a div - на координаты точки наблюдения, поверхность S равна суммарной поверхности всех пластин в общем случае.

Уравнение (25) является, строго говоря, интегральным уравнением Фредгольма второго рода, но слагаемое Z J, обычно мало и ИУСП численно эквивалентно интегральному уравнению Фредгольма первого рода с присущей ему неустойчивостью решения.

22

Методы расчета микропо.юскошх антенн

Строгая теория МПА с круглой пластиной, позволившая полу­ чить аналитические результаты как для резонансной частоты, так и для радиационной добротности различных мод, развита в

[56], где общая векторная задача сведена для каждого азимутального индекса т = 0, 1, 2, ... к двум не­ зависимым скалярным интегральным уравнениям относительно функций тока а(г) и /5(г):

23

Методы расчете лткропалосковыхантенн

о

Здесь а — радиус пластины; к = ,/ёрА'0 — волновое число для материала подложки; х = к г, А — посто­ янная, определяемая из условия Мейкснера на остром крае пластины при г-> а ; В — постоянная, про­ порциональная амплитуде собственного колебания; Jm(z) - функция Бесселя первого рода m-го порядка; ядра К (х,и) и М(х,ц) определены равенствами

где х=М^ЩГ\ t; =kh\ h — толщина подложки.

Функции a(r) и /3 (г) связаны с радиальными у'г(г) и азимутальными (;-) компонентами плотно­

показало, что, как и для МПА с прямоугольными пластинами, величина относительной погрешности

ственно улучшены аналогичным изложенному выше для прямоугольных МПА образом: введением эф­ фективного радиуса пластины а^ = а - Ьа . Величина “укорочения” Да зависит от краевых эффектов,

определяемых углом прихода у ~ arccos(m/v„J ТЕМ-волны к краю пластины и изменяет свой знак при некотором значении этого угла, зависящим от номера моды и параметров подложки. Соответствующая зависимость относительного параметра До lh от угла у приведена в [57] для значений 0,05; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,6 и 1,0 электрической толщины подложек (; =kh и трех значений 2,64; 4 и 10 относительной ди­ электрической проницаемости е . Замена в (29) радиуса пластины а на его эффективное значение

24

Методы расчета.штрополосковых антенн

уменьшает погрешность S — -— ****-- до десятых долей процента. Расчетные и измеренные значе­

ния собственных частот, “укорочения” Да , погрешностей 50 и 8 для ряда геометрических размеров МПА и типов собственных колебаний приведены в табл. 5.

Таблица 5

Следующее приближение радиальных токов приводит к комплексному выражению для частоты собственных колебаний и позволяет определить добротность Qn, связанную с потерями на излучение. Согласно [56]

25

Методы расчеталшкротхюсковыхантенн

26

Методы расчета микрополосковых антенн

чению для большинства рассмотренных случаев и удобно для реализации в практической конструкции;

2)по графикам рис. 24 и 25 для заданной^ и найденным выше значениям А„ е , находятся размеры пластин;

3)по графикам рис. 26 определяется оптимальное отношение А „„„ /А .

27

Методы расчеталиюропаюсковыхантенн

28

Методы расчета микрополосковыхантенн

укрытиями, причем на рис. 33 подложка под пластиной однослойная (/ц =0) и изотропная с е 2 = 2,32 и Л2 =1,59 мм, а укрытие — анизотропное с фиксированным значением £ _--з = 2,6. Для сравнения на рисун­ ке точками указаны результаты работы [63] для изотропного укрытия (^ = 1).

Результаты на рис. 34 соответствуют МПА с тремя анизотропными слоями, причем для каждой из трех кривых варьируются значения £ одного слоя при фиксированных значениях £ двух других слоев. Пластина в этом случае имеет размеры 1 = 8 мм, W = 4 мм, толщина всех трех слоев одинакова и равна 0,635 мм.

Диэлектрические проницаемости подложки области I соответствуют проницаемости нитрида бора (e„i = 5,12; е2:\ = 3,14), области 2 - сапфира (f„2 = 9,4; е^-2 =11,6), а области 3 - материала Эпсилам-10

ванных значениях £„ , равным вышеприведенным значениям для областей 1-3. На рисунке сплошная кривая соответствует случаю вариации £ области 1, пунктирная кривая - вариации £ области 2 и штри­ ховая кривая - вариации £, области 3.

Из приведенных кривых следует, что наиболее существенное влияние на f t оказывает вариация диэлектрической проницаемости ближайшего к экранной плоскости слоя.

Приведенная выше в разд. 1.5 САПР-модель для антенн с изотропными подложками может быть с успехом использована для расчёта резонансных частот МПА и на анизотропных однослойных подлож­ ках при следующей ее модификации. Анизотропная подложка толщиной А и диэлектрическими прони­ цаемостями £„. и £__ заменяется эквивалентной в отношении резонансной частоты изотропной подлож­

кой с параметрами Азк = h Je^JeZ и £зкв = ^/£xr£_ . Такая модификация при учете потерь на резонанс­

ной частоте позволяет определять резонансные частоты с точностью не менее 2 % даже в МПА с элек­ трически толстыми (от 0,140 до 0, 229 длины волны в диэлектрике) подложками из армированного стек­ ловолокном политетрафторэтилена с коэффициентом анизотропии £ =1,2 и £ = 2,55, [64,65]. Результа­

ты расчетов резонансных частот по данной модели приведены в табл. 7, где для сравнения указаны

значения частот / ,, / 2. / 3, полученные с помощью моделей, предложенных в [66-68] (все значения частот выражены в гигагерцах). Сравнение с измеренными значениями резонансных частот f UM свиде­ тельствует в пользу развитой в [65] модели.

29

1.12.Генетический алгоритм

иметод последовательного квадратичного программирования

Генетический алгоритм. Для проектирования широкополосных МПА с успехом был применен также генетический алгоритм (ГА), классифицируемый как робастный, т.е. мало чувствительный к небольшим вариациям исходных данных глобальный численный метод оптимизации, базирующийся на вероятност­ ном поиске максимума целевой функции и использующий концепцию и терминологию описания естест­ венного отбора и эволюции развития в природе. Согласно ГА каждый варьируемый параметр задачи ко­ дируется бинарной последовательностью, называемой геном, а строки из кодов генов образуют хромо­ сомы, подвергаемые в процессе поиска оптимального решения операциям естественного отбора, спари­ вания и мутации. Каждой хромосоме приписывается функция стоимости, характеризующая ее полез­ ность для поставленной цели.

Алгоритм начинается с формирования большого перечня случайных хромосом и вычисления для них функций стоимости, после чего хромосомы ранжируются в порядке убывания величин стоимостей. На следующем шаге часть хромосом по определенному пороговому критерию отбраковывается, а ос­ тавшиеся становятся “родителями” для нового поколения хромосом, генерируемого путем обмена час­ тями генетического материала, причем воспроизводится достаточное для компенсации отбракованных число новых хромосом. Операции мутации порождают малые случайные изменения в структуре хромо­ сом. Описанный процесс после оценки функций стоимости новых хромосом повторяется либо до полу­ чения приемлемого решения, либо до реализации заданного числа итераций. Практическими расчетами подтверждено, что в отличие от градиетных методов ГА эффективны при работе с разрывными и не­ дифференцируемыми функциями, а также для решения задач оптимизации с ограничениями. По этой причине задача оптимизации характеристик МПА является удобной моделью для применения ГА, по­ скольку на практике номенклатура допустимых толщин подложек и их диэлектрических проницаемо­ стей ограничены. Кроме того, возможны дополнительные ограничения по весу и стоимости искомого варианта МПА.

Обзор применения ГА к задачам оптимизации характеристик антенн и рассеяния электромагнитных полей можно найти, например в [69], где приведена также и реализация простейшего ГА в коде MATLAB. Различные модификации алгоритма и обширная библиография их применения к электродинамиче­ ским задачам приведены в [70, 71], включая пример применения ГА к задаче увеличения полосы рабо­ чих частот МПА с исходной квадратной пластиной размером 48x48 мм. Показано, что за счет видоизме­ нения формы пластины (бинарная строка хромосомы характеризовала наличие или отсутствие металла в

30