книги / Основы построения САПР и АСТПП

—представление элементов схемы в виде проводимостей и обратно;

—запоминание анализируемой схемы и переход к новой;

—выделение номеров узлов, для которых необходим вывод на печать

результатов расчета.

Выполнение указанных видов работ осуществляется с помощью незави­ симых друг от друга директив. Реализация таких директив относится к пер­ вому уровню разработки языка.

Дальнейшим развитием взаимодействия пользователя с си­ стемой является разработка второго уровня диалогового языка, обладающего возможностями: формирования баз данных на магнитных носителях, необходимых для хранения информации о схеме; функционального расширения; использования в раз­ личных системах.

Эффективность ИСАПРС повышается при ее функциониро­ вании в режиме разделения времени, т. е. при обеспечении па­ раллельного доступа к системе нескольким пользователям. Диа­ логовый ЯВ позволяет реализовать такой режим. Язык взаимо­ действия включает следующие операторы: ввода элементов схемы, задания режимов анализа, оптимизации схемы. Рассмот­ рим более подробно каждый тип операторов.

В состав оператора входят номер узла Ni, номинал элемента А, частота F и фаза Р. Один оператор можно использовать для описания одного или нескольких элементов схемы

ЭЛЕМЕНТ: {(тип)} = {тип элемента}: ( Nt, N j),

А2= ...} , F = . . . , Р = ----

Параметр «тип» имеет значения Д и М, соответствующие действительной и мнимой частям элемента; если параметр опу­ щен, то имеется в виду только действительная часть. Для про­ ектирования линейной схемы в ИПАЛСК предусмотрены следую­ щие элементы: R — сопротивление, G— проводимость, L — индук­ тивность, С — емкость, Е — независимый источник напряжения, / — независимый источник тока, М — управляемый напряжением генератор тока.

Например, для описания элемента с номиналом R = 2 кОм, включенного между вторым и четвертым узлом, используется следующая запись:

3 = (^?):(2,4), А = 2 кОм.

Возможно использование оператора для описания нескольких элементов сразу:

3 = (R) : (2,4), А = 2 кОм; (С): (3,5), А = 0,5 мкФ.

В случае ошибки при записи параметров оператора выводит­ ся сообщение, в котором указывается соответствующий параметр:

121

ОШИБКА ПРИ ОПИСАНИИ НОМЕРА УЗЛА (В, 4). ОШИБКА ПРИ ОПИСАНИИ НОМИНАЛА А=^2 кОм.

На это сообщение необходимо ответить: (2, 4), А —2 кОм. Ошибки анализируются сразу после ввода оператора, что суще­ ственно ускоряет процесс правильного ввода данных.

перевод элементов схемы из естественной формы представления в форму полных проводимостей и наоборот;

а) ПРЕОБРАЗОВАТЬ __В__Y,F = — служит для преобра­ зования RLC схемы в форму полных проводимостей;

2.ОШИБКА = ...; — используется для записи значения ошиб­ ки, возникающей при минимизации узловых потенциалов.

3.ТОЧНОСТЬ = ...; ■—предназначен для обозначения точно­

сти, используемой при максимизации и установлении определен­ ного значения узловых потенциалов.

4. УЗЛЫ = А|, N2 , ...;— применяется для выделения отдель­ ных узлов потенциалов или разности узловых потенциалов, для которых необходимо построить графики, напечатать таблицы или рассчитать чувствительность.

5. ПЕЧАТЬ (Т, П) = ((все) ^ (RLC, Y )— потенциалы, F = ...)— используется для вывода результатов работы системы на дисплей или печатающее устройство.

6. НАЙТИ_ A, F = ..., {(Ai, N2)}. Здесь А может принимать следующий вид:

ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ на частоте F — для вычисления чув­ ствительности узловых потенциалов, выделенных оператором УЗЛЫ;

ПОЛОСА ПРОПУСКАНИЯ — для нахождения ширины поло­ сы пропускания схемы {Nu N2— узлы, между которыми необхо­ димо снимать напряжение, F — начальная частота).

7. ФОРМАТ ПЕЧАТИ= А — предназначен для определения вида выходной величины при выводе на печать. Здесь А может принимать следующий вид:

ЗНАЧЕНИЕ — выходная величина представляется в вольтах; дБ — выходная величина представляется как 20 lg своего аб­

солютного значения; ФАЗА — выделяется фаза выходных напряжений;

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ — выделяется действительная часть вы­ ходного напряжения или напряжений;

МНИМОЕ — выделяется мнимая часть.

О п е р а т о р ы о п т и м и з а ц и и с х е м ы следующие:

122

Глава 5

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В САПР

В данной главе рассматриваются различные подходы к по­ строению моделей с помощью математических понятий. Приво­ дится классификация математических моделей и рассматрива­ ются относительно простые методы и подходы их построения. Приводятся также некоторые примеры моделей, используемых на разных этапах проектирования ИЭТ с помощью САПР.

Последнее десятилетие характеризуется резким подъемом в развитии науки о математическом моделировании различных процессов, происходящих на земле, в океане и космосе. Мате­ матическое моделирование коснулось не только обычных обла­ стей научных исследований (математики, электроники, механи­ ки и т. д.), но и законов социального развития. Причем основной вклад в решение последних задач внесли ученые, за­ нимающиеся разработкой численных методов в вычислительной математике, теоретической механике и т. д.

§ 5.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Для создания теории математического моделирования необ­ ходимо понять цель моделирования и представить в математи­ ческом виде объект моделирования. Моделирование — это мощ­ ное средство научного познания природы и воздействия на при­ роду. Слово «модель» происходит от латинского modus (копия, образ, очертание). Наиболее простым и наглядным примером моделирования являются географические и топографические карты. Моделями являются структурные формулы в химии. Мо­ дель как средство познания стоит между логическим мышлени­ ем и изучаемым процессом, явлением. Под моделями, в широ­ ком смысле этого слова, понимают сооружения, установки, устройства, различные комбинации элементов сооружения или сумму логических представлений, воспроизводящих явления или группу явлений, подобных изучаемым.

Моделирование ■— это замещение некоторого объекта А дру­ гим объектом В. Замещаемый объект называется оригиналом, замещающий — моделью. Таким образом, модель — это заме­

124

ститель оригинала. В зависимости от цели замещения модель одного и того же оригинала может быть различной. В науке и технике основной целью моделирования является изучение ори­ гинала при помощи более простой его модели. Замещение од­ ного объекта другим имеет смысл только в случае их опреде­ ленного сходства, аналогии.

Процесс моделирования состоит из следующих этапов: по­ становки задачи и определения конкретных свойств и отноше­ ний объекта, подлежащих моделированию; выбора модели, под­ дающейся исследованию. Модель может быть выбрана из числа существующих подходящих объектов или создана специ­ ально, искусственно; исследования модели в отношении свойств, закономерностей и параметров, представляющих интерес; про­ верки истинности полученных результатов путем сравнения их с результатами наблюдения реального объекта.

Математическая модель является приближенным, выражен­ ным в математических терминах, представлением объектов, кон­ цепций, систем или процессов. Объекты, концепции, системы или процессы, подлежащие моделированию, называют объектами мо­ делирования (ОМ).

Все объекты и явления в большей или меньшей степени вза­ имосвязаны, но при моделировании пренебрегают большинством взаимосвязей и объект моделирования рассматривают как от­ дельную систему. Если объект моделирования определен как от­ дельная система, то необходимо ввести принцип селективности, обеспечивающий выбор требуемых связей с внешней средой. На­ пример, при моделировании электронных схем пренебрегают тепловым, акустическим, оптическим и механическим взаимодей­ ствием с внешней средой и рассматривают только электрические переменные. Принцип селективности вводит в систему ошибку, т. е. разницу в поведении модели и объекта моделирования. Сле­ дующим важным фактором моделирования является принцип причинности, связывающий в системе входные и выходные пере­ менные.

Для количественной оценки системы вводят понятие «состоя­ ния». Например, под состоянием электронной схемы понимают значения напряжений и токов в электронной схеме в данный мо­ мент времени.

При выводе математической модели аналитически чаще все­ го используются широко известные категории: законы, структу­ ра и параметры.

Если какая-либо переменная величина у зависит от другой переменной х, то первая величина является функцией второй. Эта зависимость записывается в виде y = f ( x ) или у =у(х) . В такой записи переменная х называется аргументом. Важной характеристикой функции является ее производная, процесс на­ хождения которой называется дифференцированием. Уравнения,

125

которые по математическим правилам связывают неизвестную функцию, ее производные и аргументы, называются дифферен­ циальными. Процесс, обратный дифференцированию, позволяю­ щий по заданной производной найти саму функцию, называется

интегрированием.

Рассмотрим частный случай, когда функцией является путь, зависящий от аргумента — времени. Тогда производная пути по времени — это скорость, а производная от скорости (или вторая производная от пути) — ускорение. Если известна, например, скорость, то интегрированием находят путь, пройденный телом при движении за определенное время. Если известно только ускорение, то для нахождения пути операцию интегрирования производят дважды. При этом после вычисления первого инте­ грала становится известной скорость.

Конечная цель создания математических моделей — установ­ ление функциональных зависимостей между переменными. Функ­ циональная зависимость для каждой конкретной модели может принимать строго определенный вид. Когда моделируется уст­ ройство, на вход которого поступает сигнал х, а на выходе появ­ ляется сигнал у, то связь можно записать в виде таблицы. Для этого весь диапазон изменения входного и выходного сигналов разбивается на некоторое число участков. Каждому участку диапазона изменения входного сигнала будет соответствовать определенный участок диапазона изменения выходного сигнала. В сложных системах, где имеется несколько входов и несколько выходов, аналитические зависимости выражаются системами дифференциальных уравнений.

Законы обычно формулируются для частных областей, как, например, законы Кирхгофа, Ньютона, Фурье. Применение этих законов к системе обычно фокусирует наше внимание на един­ ственной области науки и техники. Используя законы Кирхгофа и уравнения Максвелла для анализа электрической системы, ис­ следователь игнорирует другие (например, тепловые) процессы в системе.

Создание математической модели требует знания присут­ ствующих в системе элементов и их взаимосвязей.

Параметрами математической модели (ММ) являются вхо­ дящие в системы уравнений различные коэффициенты. Эти ко­ эффициенты вместе с уравнениями и граничными условиями об­ разуют законченную ММ.

Любую математическую модель можно получить в результа­ те: 1) прямого наблюдения явления, прямого его изучения и осмысливания (модели являются феноменологическими)-, 2) не­ которого процесса дедукции, когда новая модель получается как частный случай из некоторой более общей модели (такие моде­ ли называются асимптотическими)-, 3) некоторого процесса ин­ дукции, когда новая модель является естественным обобщением

126

элементарных моделей (такие модели называются составными,

или моделями ансамблей).

Все системы существуют во времени и в пространстве. Мате­ матически это значит, что время и три пространственные пере­ менные могут рассматриваться в качестве независимых перемен­ ных. Но учет всех четырех независимых переменных приводит к усложнению математической модели. Поэтому часто (это за­ висит от возможностей ЭВМ) в качестве независимых перемен­ ных берут одну или две переменные. Примерами такого подхода могут служить любые динамические системы, ММ которых яв­ ляется система дифференциальных уравнений с независимой пе­

ременной t.

Существует много признаков классификации математических моделей по признаку использования тех или иных переменных в качестве независимых, представленных в непрерывной или ди­ скретной форме; ММ классифицируют следующим образом:

1)модели с распределенными параметрами (все независи­ мые переменные берутся в непрерывной форме);

2)модели с сосредоточенными параметрами (все независи­

мые пространственные переменные дискретные, а временная пе­ ременная непрерывна);

3) модели с дискретными параметрами (все независимые пе­ ременные берутся в дискретной форме).

§ SX КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ

На рис. 5.1, а... ж показана примерная классификация моде­ лей. Все модели можно разделить на вещественные и идеальные (рис. 5.1, а). В данной главе рассматриваются только идеальные модели, которые объективны по своему содержанию (отражая реальную действительность), но субъективны по форме и не мо­ гут существовать вне ее. Идеальные модели существуют лишь в познании людей и функционируют по законам логики. К ло­ гическим моделям относятся различные знаковые модели. Су­ щественным моментом создания любой знаковой модели являет­ ся процедура формализации (формулы, алфавит, системы счис­ лений).

В настоящее время в ряде областей науки и техники понятие модели трактуется не в духе классической физики, как нагляд­ ная, например механическая, система, а в духе современного этапа познания — как абстрактная логико-математическая структура.

Всовременном моделировании наряду с возрастанием роли

впознании абстрактно-логических моделей существует другая тенденция, связанная с широким применением кибернетических функционально-информационных моделей. Своеобразие киберне­ тического моделирования состоит в том, что объективное сход-

127

ство модели и моделируемого объекта касается только их функ­ ций, областей применения, связи с внешней средой. Основа ин­ формационного подхода к изучению кибернетических процес­ сов — абстрагирование.

Рассмотрим модели, которые имеют место в САПР ИЭТ и АСТГ1П: структурные, функциональные, геометрические, знако­ вые, мысленные, аналитические, численные и имитационные.

С т р у к т у р н ы е м о д е л и воспроизводят состав элементов объекта или системы, их расположение в пространстве и взаимо­ связи, т. е. структуру системы. Структурные модели могут быть и вещественными (макеты), и идеальными (например, машино­ строительные чертежи, топология печатной платы и топология

ИС).

Ф у н к ц и о н а л ь н ы е м о д е л и имитируют только способ поведения оригинала, его функциональную зависимость от внеш­ ней среды. Наиболее характерным примером служат модели, построенные на концепции «черного ящика». В этих моделях удается воспроизвести функционирование оригинала, полностью отвлекаясь от его содержимого и структуры, связывая с помощью математического соотношения различные входные и выходные величины.

Г е о м е т р и ч е с к и е м о д е л и отражают только структуру объекта и имеют большое значение в связи с проектированием электронных систем. Эти модели, построенные на основе геомет­ рического подобия, позволяют решать задачи, связанные с опти­ мальным размещением объектов, прокладкой трасс на печатных платах и интегральных схемах.

не по физическим законам, а по правилам, установленным в той или иной области знаний, или, как принято говорить, согласно природе знаков. Знаковые модели имеют в настоящее время чрезвычайно широкое распространение. Практически каждая об­ ласть знаний — лингвистика, программирование, электроника и многие другие — выработала свою символику для описания мо­ делей. Таковыми являются программы, схемы и т. п.

М ы с л е н н ы е м о д е л и являются продуктом чувственного восприятия и деятельности абстрактного мышления. К мыслен­ ным моделям можно отнести известную планетарную модель атома Бора. Для передачи этих моделей их представляют в виде словесного или знакового описания, т. е. мысленные модели мо­ гут фиксироваться в виде различных знаковых систем.

А н а л и т и ч е с к и е м о д е л и позволяют получить явные зависимости необходимых величин от параметров и переменных, характеризующих изучаемое явление. Аналитическое решение математического соотношения является обобщенным описанием объекта.

Ч и с л е н н ы е м о д е л и характеризуются тем, что значения необходимых величин можно получить в результате применения соответствующих численных методов. Все численные методы по­ зволяют получить только частную информацию относительно искомых величин, поскольку для своей реализации требуют за­ дания конкретных значений всех параметров, входящих в мате­ матическое соотношение. Для каждой искомой величины прихо­ дится по-своему преобразовывать математическую модель и при­ менять соответствующую численную процедуру.

И м и т а ц и о н н ы е м о д е л и реализуются на ЭВМ в виде моделирующих алгоритмов (программ), позволяющих вычислять значения выходных переменных и определять новое состояние, в которое переходит модель при заданных значениях входных переменных, параметров и исходного состояния модели. Имита­ ционное моделирование в отличие от численного характеризуется независимостью моделирующего алгоритма от типа информации, которую необходимо получить в результате моделирования.

§ 5.3. КЛАССИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Достаточно универсальной, гибкой и эффективной является математическая модель, которая представляется в абстрактной математической форме посредством переменных, параметров, уравнений и неравенств.

ВММ входят следующие элементы: переменные (зависимые

инезависимые); константы или фиксированные параметры

(определяющие степень связи переменных между собой); мате­ матические выражения (уравнения или/и неравенства, объеди­ няющие между собой переменные и параметры); логические вы­ ражения (определяющие различные ограничения в математиче­ ской модели); информация (алфавитно-цифровая и графиче­

ская).

Математические модели классифицируют по следующим кри­ териям: 1) поведению моделей во времени; 2) видам входной информации, параметров и выражений, составляющих матема­ тическую модель; 3) структуре математической модели; 4) типу используемого математического аппарата.

Рассмотрим ММ согласно приведенным критериям. Критерий 1. Математические модели бывают следующими:

динамическими (время играет роль независимой переменной, и поведение системы меняется во времени), статическими или установившегося состояния (поведение системы от времени не зависит), квазистатическими (поведение системы меняется от одного статического состояния к другому согласно внешним воз­ действиям). Динамические модели делятся на мгновенные, пове­ дение которых в каждый момент времени зависит от внешних воздействий в данный момент, и ММ с памятью, поведение ко­

130