книги / Основы построения САПР и АСТПП

торых в каждый момент времени определяется внешними суще­ ствующими в предыдущий момент времени воздействиями. Ма­ тематические модели с памятью могут быть стационарными или нестационарными. Динамические и квазистатические модели мо­ гут быть рекурсивными, т. е. их состояние в данный момент вре­ мени зависит от состояния в предыдущий момент времени. Рекурсивность позволяет моделировать динамические ММ с по­ мощью квазистатических моделей.

Критерий 2. Элементами ММ являются переменные, пара­ метры, математические связи (уравнения и неравенства, логиче­ ские утверждения) и информация. Проведем классификацию

ММсогласно виду элементов. Если элементы ММ достаточно точно установлены и поведение системы можно точно опреде­ лить, то ММ — детерминированная, в противном случае — сто­ хастическая. Если информация и параметры являются непрерыв­ ными величинами, а математические связи устойчивы, то ММ непрерывная, в противном случае — дискретная. Согласно этому определению, стохастическая ММ дискретная. Если параметры

ММфиксированы и не изменяются в процессе моделирования

согласно поведению объекта моделирования (ОМ), то это ММ с фиксированными параметрами, в противном случае — ММ с изменяющимися во времени или в пространстве параметрами.

Критерий 3. Параметры являются распределенными, если есть одна или несколько независимых пространственных пере­ менных (степеней свободы), а остальные параметры и матема­ тические связи зависят от них. Математические модели с распре­ деленными параметрами чаще всего имеют математические связи в виде дифференциальных уравнений, а ММ с сосредото­ ченными параметрами — в виде разностных уравнений. При ис­ пользовании ЭВМ дифференциальные уравнения заменяются разностными, т. е. любое представление ММ для численной реа­ лизации ведет к разностным схемам. Математическая модель может быть сложной или комплексной, если можно найти эле­ ментарные подсистемы, составляющие ее. Это очень важный во­ прос, поскольку его решение позволяет значительно упростить моделирование, особенно если ММ ОМ можно представить в виде древовидной или сетевой структуры. Древовидной назы­ вается структура, которая имеет ветви и не имеет замкнутых путей или контуров — напоминает дерево с ветвями. Если обра­ зуется хотя бы один контур, то структура называется сетевой. Если имеется древовидная или сетевая структура, то связи меж­ ду подсистемами и элементами ММ можно описать специаль­ ной матрицей или линейными алгебраическими уравнениями с коэффициентами: 1; 0; 1. Матрица, отражающая структуру сое­ динения элементов ММ между собой, называется матрицей инциденций. В зависимости от того, сколько независимых перемен­ ных участвует в ММ, модели с распределенными параметрами

5 131

*

бывают одномерными, двумерными, трехмерными, зависимые параметры могут изменяться и не изменяться во времени. Мате­ матические модели с сосредоточенными параметрами имеют в качестве независимой переменной только время. Зависимые пе­ ременные в ММ с сосредоточенными параметрами бывают двух видов: скалярные и векторные. Разностные зависимые перемен­ ные скалярного типа связывают условия в одной точке соедине­ ния сосредоточенных элементов с условиями в другой точке сое­ динения (например, разность потенциалов между узлами элект­ ронной схемы). Переменные векторного типа представляют собой поток, проходящий через элементарное сечение модели. Кроме того, в ММ можно выделить три типа ориентированных элемен­ тов. Для распределенных моделей ориентация имеет простран­ ственный характер, для сосредоточенных моделей — характер входного и выходного полюсов. Любая ММ содержит рассеива­ тели энергии или потребители (назовем их резистивными эле­ ментами), накопители магнитной энергии (назовем их индуктив­ ными элементами) и накопители электрической энергии (назо­ вем их емкостными элементами).

Среди двух видов переменных можно также провести клас­ сификацию, например:

1)управляемые переменные — независимые переменные, чьи значения могут быть измерены и изменены;

2)неуправляемые переменные — независимые переменные, чьи значения могут быть измерены, но не изменены;

3)неизвестные переменные — независимые переменные, чьи значения не могут быть ни изменены, ни измерены;

4)выходные переменные — зависимые переменные, которые характеризуют выходные параметры и задача моделирования заключается в их определении (см. гл. 1).

Критерий 4. Любые модели ведут себя подобно ОМ и ис­

пользуются для изучения его поведения. Модель может быть полезна только в том случае, если ведет к разрешимой матема­ тической проблеме (численной модели). Тип решаемой матема­ тической проблемы зависит главным образом от объекта и цели моделирования. Иногда математическая модель имеет аналити­ ческое решение и представляет собой довольно грубое прибли­ жение.

Математическая модель может иметь линейные и нелиней­ ные составляющие и разделяться на типы в зависимости от ма­ тематической проблемы:

—уравнения (алгебраические, трансцендентные, дифферен­ циальные, интегральные);

—аппроксимационные задачи (интерполяции, экстраполя­ ции, численного интегрирования и дифференцирования);

—задачи оптимизации;

—стохастические проблемы.

132

Различные взаимосвязи в ММ обеспечиваются обыкновенны­ ми дифференциальными уравнениями (ДУ) или ДУ в частных производных. Обыкновенные ДУ имеют место в распределенных статических моделях, в динамических моделях с сосредоточен­ ными параметрами. Уравнения в частных производных имеют место в распределенных динамических моделях с одной (или бо­ лее) независимой переменной, в распределенных статических

моделях.

Если ММ включает обыкновенные ДУ или ДУ в частных производных, то это еще не значит, что поставленная задача ре­ шена. Для решения необходимы дополнительные условия: на­ чальные — для динамических проблем с производными относи­ тельно времени, граничные — для проблем с производными от­ носительно пространственных координат.

Дифференциальные уравнения, представляющие собой ММ, обычно сводятся к разностным уравнениям, удобным для чис­ ленного решения на ЭВМ. В этом случае проблема сводится к решению алгебраических уравнений.

Согласно последней классификации выделяют модели опти­ мизационные и неоптимизационные. Неоптимизационные ММ относятся к неулучшаемым моделям, оптимизационные — к улуч­ шаемым за счет введения специальных параметров — критериев и ограничений улучшения.

§ S.4. МЕТОДЫ ПОЛУЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Процесс создания и решения ММ является итерационным и включает следующие шаги:

1)постановка задачи моделирования согласно намечаемому объекту моделирования, т. е. разработка технического задания;

2)выбор метода построения математической модели;

3)разработка численного алгоритма решения полученной

ММ;

4)написание реализующей численный алгоритм программы на языке высокого уровня, отладка, контрольные расчеты;

5)проведение расчетов с помощью программы для получе­

ния выходных параметров;

6)сравнение экспериментально полученных и расчетных па­ раметров;

7)поиск новой ММ при значительном расхождении резуль­

татов и переход к шагу 3.

Построение элементарных моделей. Рассмотрим несколько примеров построения ММ в случае физических систем. Основ­ ными элементами моделей физических систем с распределенны­ ми или сосредоточенными параметрами служат физические явления. Данные элементы имеют ориентацию — для распреде­ ленных моделей ориентацией являются пространственные коор­

133

динаты, для моделей с сосредоточенными параметрами — нали­ чие входного и выходного полюсов. В качестве модельных эле­ ментов Принимают рассеиватели энергии, накопители электри­ ческой энергии, накопители магнитной энергии.

Например, первый тип элементов включает элементы с поте­ рями. Например, в случае электрической цепи для распределен­ ной модели элемент рассеивания в одномерном приближении представляется связью

где R — рассеивающая резистивная переменная; дU — падение напряжения на переменной; I — ток через переменную; х — про­ странственная координата, отражающая направленность распре­ деленного элемента. Минус показывает на свойство потери энер­

гии.

Для систем с сосредоточенными параметрами (5.1) превра­ щается в известный закон Ома

где R — сопротивление резистора; / — ток через резистор; U — падение напряжения на резисторе.

Остальные типы элементов представлены в табл. 5.1.

П е р в ы м ша г о м п о с т р о е н и я ММ является составле­ ние уравнений, связывающих все переменные, элементы, началь­ ные и граничные условия. Основным принципом построения дан­ ных уравнений для электродинамических систем должен быть принцип сохранения энергии. Для электрической системы это первый закон Кирхгофа для токов и второй закон Кирхгофа для напряжений. Для системы со многими переменными первый и второй законы Кирхгофа имеют матричный вид.

В т о р ы м ша г о м п о с т р о е н и я ММ является опреде­ ление начальных и граничных условий. Как только ММ полу­ чена, сразу возникает проблема подбора или создания матема­ тического аппарата для реализации вычислительного процесса. Решение данной задачи ставит множество вопросов перед раз­ работчиком: существование решения, его единственность; устой­

134

чивость вычислительного процесса и самого решения; учет оши­ бок; оптимальный вычислительный процесс; вычислительные средства; возможность изменения первоначальной ММ для по­ лучения разрешимой задачи.

Алгоритм решения. Рассмотрим подробнее разработку вычис­ лительного алгоритма решения созданной ММ. Вычислительным алгоритмом называют строгую последовательность логических и/или арифметических операций, обеспечивающую приближение к решению. Вычислительный алгоритм может быть циклическим или итеративным, т. е. численный процесс может начаться с ка­ кого-то начального приближения и с каждым шагом прибли­ жаться к решению, причем каждая итерация состоит из одной и той же последовательности шагов.

Выделим следующие алгоритмы решения: систем алгебраиче­ ских линейных и трансцендентных (нелинейных алгебраических) уравнений; задач о собственных значениях и собственных векто­ рах, аппроксимации; интегральных уравнений; задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, систем дифференциальных уравнений явного и неявного вида.

Построим вычислительный алгоритм. За основу примем ите­ ративный алгоритм. Такой вычислительный алгоритм (ВА) на­ чинается с некоторого начального приближения х0, где х — век­ тор зависимых переменных, индекс указывает номер итерации (k — 0, 1, 2,...). От итерации к итерации имеем хк- * х к+\. Итера­ тивный процесс может включать и генерирование на каждой ите­ рации k последовательности z0, z it..., zt с условием выбора наи­ лучшего приближения Xk+i из множества {z/}. На каждой итера­ ции должна выполняться специальная проверка на окончание итеративного процесса или в случае получения действительного решения х„, или в случае невозможности получения точного (с точки зрения вычислительного процесса) решения.

Любому разработчику ВА необходимо решить следующие важные проблемы:

—сходится ли данная последовательность Хо, Х\ , ... к реше­

нию;

—если сходится, то как быстро и к какому в пределе реше­

нию;

— какая при этом допущена ошибка.

Ответы на эти вопросы обеспечивают решение поставленной задачи. Эффективность алгоритма непосредственно связана с материальными затратами математического моделирования, так как стоимость машинного времени зависит от затрат на одну итерацию и от числа итераций. Любой ВА можно оценить в эле­ ментарных операциях (сложениях и умножениях) и таким обра­ зом связать с вычислительными ресурсами. Цель и обязанность

135

любого разработчика ММ и ВА — минимизировать вычислитель­ ные ресурсы, т. е. время решения, требуемую оперативную па­ мять и время работы буферных устройств.

§5.5. ПРИМЕРЫ МОДЕЛЕЙ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ ИЭТ И РЭА

Как правило, РЭА представляет собой комплекс конструк­ тивных модулей, объединенных механическими, электрическими и иными связями и выполняющих заданные функции в соответ­ ствии с целевым назначением. Радиоэлектронную аппаратуру можно представить как многоуровневую иерархическую струк­ туру, состоящую из пяти уровней:

— уровень 0 образуют неделимые составляющие, такие, как радиоэлементы и микросхемы (БИС, СБИС);

—уровень 1 включает микросборки, микромодули и другие объемные базо­ вые модули;

—уровень 2 объединяет сборочные

единицы или ячейки (обычно собранные на базе печатных плат);

— уровень 3 включает блоки и кон­ структивно законченные сборочные еди­ ницы;

— уровень 4 образует аппаратура, т. е. функционально и конструктивно законченное изделие электронной техники.

Б качестве изделия электронной техники может быть состав­ ляющая любого из перечисленных уровней. Это и операционный усилитель (ОУ), выполненный в виде интегральной схемы, и од­ нокристальная ЭВМ, и магнитофон для записи, и система сле­ жения за спутником.

На уровне 0 в качестве примеров математических моделей ИЭТ рассмотрим модели сопротивления, источников напряжения и тока, емкости и индуктивности.

Модель сопротивления. Пусть имеется электрическая цепь (рис. 5.2) с последовательно соединенными сопротивлением R и генератором тока I. В цепь включены амперметр и вольтметр для измерения соответственно тока i в цепи и падения напря­ жения U на сопротивлении.

Задавая генератором ток и замеряя вольтметром и ампермет­ ром ток i через сопротивление и падение напряжения U на нем, можно получить в табличной форме функциональную связь меж­ ду U и i, т. е.

(5.3)

136

Внимательно проанализировав схему и уравнение, можно найти коэффициент пропорциональности между U и i:

Отсюда в общем виде зависимость U от i

Формула (5.5) показывает, что коэффициенты пропорцио­ нальности могут быть линейными и нелинейными. Линейность коэффициента выражается в том, что R будет неизменным (R = = const) для любых токов и напряжений. Алгебраическая фор­ ма уравнения (5.5)

Если R изменяется с изменением тока, то линейная зависи­ мость (5.6) уже не подходит: выражение (5.5) является более точным. Но использовать его для расчетов затруднительно, так как не определена функциональная связь в явном виде. Если есть экспериментальные данные в виде таблицы или графика U = f(i), то предпочтительнее определять вид функциональной зависимости аналитически. Один из простейших приемов реше­ ния данной задачи — использование полиномов. Например, за­ дадим функциональную связь в виде

или, разделив левую и правую части (5.7) на t, получаем

Бесконечное число членов нельзя использовать для практи­ ческих расчетов. Поэтому разработчик, исходя из требуемой точ­ ности и удобства использования выражения (5.8), в последую­ щих расчетах должен решить, каким количеством членов огра­ ничиться. Если рассматривается достаточно малая область экс­ периментальной зависимости, то можно ограничиться тремя чле­ нами, т. е. воспользоваться квадратичной функцией

Для определения коэффициентов аи ai, а3 достаточно вос­ пользоваться тремя близлежащими значениями тока и напряже­ ния, чтобы составить систему лнейных уравнений относительно неизвестных:

Решая систему линейных уравнений (5.10), определим неиз­ вестные коэффициенты.

Рассмотренный пример моделирования сопротивления пока­ зывает, что разработчик должен обладать познаниями в теории цепей и в численных методах решения прикладных задач. От­ метим, что сопротивление резистивного элемента может прини­ мать положительное, отрицательное или нулевое значение. Вы­ ражение (5.5) можно переписать в виде

где G = l/R — проводимость, выражаемая в 1/Ом=См.

Мгновенная электрическая мощность (Вт), рассеиваемая на резистивном элементе,

Энергия (Дж), рассеиваемая на резистивном элементе за какой-то период времени,

t

w(t!)= jp (T )d t ^ р (/)•Д/. (5.13) *0

Модели источников напряжения и тока. Независимый источ­ ник напряжения показан на рис. 5.3. На полюсах источника на­ пряжение U— E, т. е. U=E. Независимый источник напряжения может быть постоянным (анализ цепи проводится по постоян­ ному току) и изменяющимся во времени (анализ цепи проводит­ ся по переменному току и во временной области). Более точная модель источника напряжения показана на рис. 5.4. В этом слу­ чае напряжение на зажимах

Ток источника I может быть постоянным или функцией време­ ни. Более точной моделью источника тока является цепь на рис. 5.6. Ток источника тока в этом случае i = I — UIR=I — UG.

138

Модели емкостного и индуктивного элементов. Емкостной элемент схематически изображен на рис. 5.7. Значение емкости связывает между собой заряд и напряжение на емкости:

Это уравнение верно для тока, протекающего через емкост­ ной элемент. Напряжение на этом элементе

t

где U (0) — напряжение на элементе в момент времени t= 0.

Представим уравнение (5.17) в виде схемы (рис. 5.8).

Во многих случаях имеют дело не с линейными емкостными элементами (значение емкости не зависит от напряжения на элементе и тока, протекающего через него), а нелинейными, ког­ да значение емкости зависит от напряжения на элементе (на­ пример, при проведении анализа полупроводниковых схем), т. е.

Выражение (5.18) является общего вида математической мо­ делью емкостного элемента. В этом легко убедиться, приняв С— = const. Энергия емкостного элемента за время t

Следует заметить, что термин «конденсатор» подразумевает физически реализуемый компонент, а «емкостный элемент» —