книги / Статистическая механика композитных материалов
..pdfкомпонентах хаотически армированной среды имеем в корреляционном приближении
Pt/' = Ра + P J1 < Я&/ > . |
(4-7> |
|
где k — 1 , 2 ; < Xi£i;- ) = — < |
) = М 2)Р*;аре<хр’> |
|
F({;L = Fw 'bubmn + |
F(l)" (8 im8 M + |
6 in8 im); |
|
15 |
|
|
|
F(I)" = G* — |
G* (K + 2G) |
+ у G^ |
|
|
Как и в гл. 3 , здесь /С, G—средние |
модули объемной де |
|||
формации и сдвига; |
К* = К 1— К11; |
G* = G1 — G ; |
К , |
|
К11, G1, |
G11— модули объемной деформации и сдвига ком |
|||
понентов; |
Рх = Р; Ра = 1 — Р. |
|
вы |
|
Переходя к однонаправленно армированной среде, |
пишем сначала в корреляционном приближении составляю
щие тензора |
( Х°е° ) = £ ^2) def I - • С*• • е. Получаем |
|||
< Г .-, > = |
Й 2’ [ / ; , « , % ( '( * - } |
С*) + 2 0 * / , > « ] . |
||
где 1'ц...=■ 4 |
|
» составляющие тензора 1 за- |
||
даны формулами (3.25). |
|
|
||
Моменты |
< Х%, ) |
равны |
|
|
< П °, > = D[2) |
- | G*) |
+ 2G* ^ + |
||
+ |
'■— - | О) W<p<p |
у G*) |
+ |
|
+ |
( к ---- 1 |
о j G*/;avaevA j + 2Glllm X |
131
9*
х |
£фф+ G G * I t j y б£уб. |
(4.8) |
( * * - f ° * )
Ввиду того, что тензор V в случае однонаправленно армированной среды не обладает свойством изотропии, получение в общем виде простых выражений, подобных (4.7), для напряжений в компонентах этой среды невоз можно.
Как и в корреляционном приближении, вычисление моментов ( Х°г° ) с учетом моментных функций высших порядков сводится к вычислению тех же интегралов, что и при нахождении поправок hW (i = 2, 3, ...). Эти вычисле ния проделаны для'моментных функций, обладающих предельно локальной координатной зависимостью (см. пп. 1,2 гл. 3). Следовательно, при тех же предполо жениях относительно моментных функций упругих свойств на основании результатов п. 1 гл. 3 можно запи сать средние напряжения в компонентах. Для хаотически армированной среды они выражаются формулой (4.7), где следует положить
< k\hj > = — < h h j > =D%)Fijареар;
Fijmn. = F'6ifimn + Fff(8im8jn +
Ff =K* - — G*~ |
K* (K* + K) |
•f |
|
3 |
K lP2 + K uP i+ - ^ G |
|
о |
-fG*(K+2G)(G + G*)
+
5G Ы + у G) + 2G (K + 2G) (1 — 2P)
r _ Q*__________ 2G*(K + 2G)(G + G*)________
6G (/C + - | G^ + 2G*{K+2G){\— 2P)
Подставляя эти значения в формулу (4.7), в резуль тате преобразований приходим к формулам для средних напряжений в компонентах, полученных другим методом в работе ![99].
При одноосном растяжении-сжатии напряжением рзэ
132
(вдоль оси Яз) получаем следующие средние напряжения в наполнителе (I) и связующем (II):
_1 |
_1 |
Рзз Г |
К 1(К11- К |
0) |
G1 (G11 — G°) |
|
|
|
р п - р а а - |
|
|
|
Q°Q* |
|
|
||
р зз = |
Рзз Г 2 G1 (Gu — G0) |
|
К 1{Ки — К°) |
|
(4.9) |
|||
3Р L |
|
G°G* |
+ |
/(Ж* |
J ’ |
|||
|
|
|
|
|||||
_М |
„II |
|
Рзз |
Г/Сп (К1— К°) G11 (G1 —G°) |
|
|||
Р\ 1 = |
р 22 = 3 |
('1 —Р)[ К°К* |
G°G* |
|
|
|||
-и _ |
Рзз |
Г2G11 (G1— G°) |
|
K ^ iK 1— К0) |
|
|
||
Р33 |
3(1—Р Ц |
G°G* |
f |
К°К* |
|
|
Изложенный выше метод пригоден для вычисления средних значений начальных (термоструктурных и уса дочных) напряжений в компонентах материала. При этом используется решение соответствующей статистической краевой задачи.
Средние значения начальных напряжений в компо нентах. Причинами возникновения начальных напряже ний в армированных и наполненных полимерах являются изменение объема связующего в результате полимериза ции или поликонденсации (химическая усадка) и различ
ные коэффициенты линейного расширения |
компонентов. |
Для определенности далее рассматривается |
двухкомпо |
нентная среда с изотропными компонентами. |
полимерного |
Предположение о линейной упругости |
связующего приводит, естественно, к более высоким зна чениям напряжений по сравнению с действительно воз никающими в материале, поэтому решение упругой зада чи о начальных напряжениях в данном случае следует рассматривать в качестве первого приближения. В то же
время |
в некоторых экспериментальных работах, напри |
мер в |
|[ 137], получена линейная зависимость напряже |
ний в армированных полимерах от температуры отверж дения, что оправдывает применение методов теории упру гости.
Рассматривая задачу о начальных напряжениях, при мем р=5=0, е = а°t (внешние силы отсутствуют). Тогда, используя представление флуктуаций деформаций в фор-
133
ме (2.74) — (2.76), для хаотически армированной |
среды |
|||||
с изотропными компонентами имеем |
|
|
|
|||
|
|
|
k |
|
|
|
|
ft |
|
П[/bm,*°(xm) + ^ |
)^°(xm)], |
(4 .1 0 ) |
|
|
l£ l |
|
m=1 |
|
|
|
где f = 3(K*a°— n*)\ n* = K lal — K u all\ |
ац=а°8и\ |
К* = |
||||
= /C! - / C n ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
^ ( x m~S * m) |
ax°(x” ) |
|
|
" |
( |
} ' J |
dx)m~ X) |
dx% |
|
|
Выражение |
(4.10) |
подставляем в (4.7) |
для средних |
напряжений, где по условию задачи рц = 0. Вычисления в предположении предельно локальной координатной зави симости моментных функций проводим так же, как и в п. 1 гл. 3.
Так как р = 0, то напряжения в компонентах опреде ляются как суммы усадочных и температурных напряже
ний; px = py+pi; рП =Ру1+Рт1 В результате вычислений получаем средние значения температурных и усадочных напряжений в компонентах. В рассматриваемом случае они представляют собой шаровой тензор, его диагональ ные составляющие вычисляются по формулам
Рт = — (1 — Р) SP~l (к*а° —п*) t; |
|
|
р" =S{K*a° — n*)t] |
|
|
PI = — {1 — P)SP-l (K*b° + K u blly, |
(4Л1) |
|
р\х = S (К*ь° + К и ьи ), |
|
|
где S = APG ( к + - i |
' |
|
Так как обычно К*а°—п*> 0, средние температурные |
||
и усадочные напряжения |
отрицательные (сжимающие), |
в связующем — положительные (растягивающие). Этим объясняется, в частности, обычное снижение прочности с увеличением усадки связующего. Однако в некоторых случаях наличие начальных напряжений может привести к обратному эффекту [137, 138]. Напряжения от
134
внешней нагрузки могут снизить уровень опасных рас тягивающих напряжений, обусловленных химической усадкой связующего и охлаждением изделия после изго товления. Вероятность разрушения связующего при дей ствии сжимающей нагрузки в направлении х3 уменьша ется с увеличением начальных напряжений, т. е. с увели чением усадки.
Отмеченный эффект имеет место лишь в некоторой об ласти соотношений свойств компонентов. За пределами этой области может действовать иной механизм разруше ния. С другой стороны, при действии средних растяги вающих напряжений в композиции положительная корре ляция прочности и усадки для исследованного материала не должна наблюдаться.
Вычислим средние значения начальных (термострук турных) напряжений в однонаправленно армированном композитном материале с изотропными компонентами.
Для моментов |
< Я°| > |
в этом случае можно записать |
||||||
< п |
> = 3К ( Х°г° > + |
3K*D[2)e+3K* < № |
) —3n*D{2)t, |
|||||
гдее = a°t |
(тензор а° задан формулами (3.48)), а интегралы, |
|||||||
определяющие |
моменты |
( Х°г° > |
и < Х^е? ) , вычислены в |
|||||
п. 2 |
гл. 3. |
Используя |
эти |
результаты, получаем |
||||
|
„I |
1»г |
0i |
|
|
|
|
|
|
Pi |
P22T = PJ I X + J o ) ( i - m |
||||||
|
Рззт = — [RT— 2С*(азз — ац)](1— Р) t\ |
|||||||
|
|
piiT= Р22т= RTq ^ |
+ |
Pi; |
||||
|
|
Рзз = |
[RT+ |
2 G*(азз — а\ 1)] Pt, |
||||
где R, = 3K*cin + |
( к * - |
G*J (азз — «10 — Зп*. |
Средние значения напряжений, обусловленных хими ческой усадкой связующего, получаются из формул (4.12), если заменить аЧ, а1Ч на Ь1, Ьп соответственно.
Формулы (4.9) — (4.12) получены как суммы беско нечных степенных рядов, поэтому они справедливы, если
135
ряды сходятся. Условия сходимости рядов сводятся к ограничениям на содержание арматуры и соотношения между свойствами компонентов. Ряды сходятся, если
P > ( G 1 ~ 3Gn )(4G* ) _1
и
( к 1------ G1— ЗКП— — G"
А__ _________
^3 {К* + G*)
Вчастности, для стеклопластиков записанные выше формулы (4.9) — (4.12) справедливы при содержании
стекловолокна более 2 2 % (по объему), т. е. почти для всех технических материалов.
Сравним результаты вычислений по приведенным вы ше формулам с результатами вычислений по формулам других авторов. В качестве исходных данных примем сле дующие значения модулей Юнга, коэффициентов Пуассо на и коэффициентов линейного расширения арматуры и
связующего: £ '1 = 7-1010 Н/м2; |
£ п = 0,4-1010 Н/м2; « 1 = 0,2; |
пп = 0,3; a ^ . e - l O - 6 1/°С; а |
^ Б О - К ) - 6 1/°С;. объемное |
содержание арматуры Р = 0,56. В результате вычислений по формулам (4.12) получаем следующие значения тем пературных напряжений в компонентах (в Н/м2 -103):
Рпт = — 3/; рззт “ 4,51\ pliT= 3,71\ pllT = b,7t. Вычисления по формулам работы [29] на основании стержне
вой модели однонаправленного стеклопластика дают: /?ззт=
= — 4,8/; p\lT = 2 J t (размерность та же).
Таким образом, напряжения в арматуре практически совпадают, напряжения в связующем отличаются значи тельно. Последнее обусловлено, очевидно, тем, что стерж невая модель не позволяет учесть деформации в плоско сти, перпендикулярной направлению армирования. На дежные экспериментальные данные, позволяющие проверить справедливость полученных формул для на пряжений, к сожалению, отсутствуют.
Напряжения, возникающие при структурообразовании полимеров. Применим изложенный метод для анали за (в упругом приближении) напряжений, которые воз никают в аморфной и упорядоченной областях квазиизотропного полимера при структурообразовании [139].
136
Экспериментально установлено [140—142], что кри сталлиты в полимерах весьма несовершенны. Кроме того, наряду с кристаллитами в полимерах одновременно воз никают сферолиты и другие надмолекулярные образоваг ния, свойства которых различаются. Поэтому свойства надмолекулярных образований (модули упругости, коэф фициенты линейного расширения и усадки) описываются случайными изотропными тензорами в1, а1, 01, свойства аморфной области — также изотропными, но детермини рованными тензорами Сп, а11 соответственно (Ьп = 0). Тогда
® (х) = в'Цх) + С11 [1 — Цх)];
а(х) = а ,Цх) + аи[1 -Ц х)]; р(х) = р'Л(х),
где Я(х) — случайное поле, описывающее расположение надмолекулярных образований (индикаторная функция подмножества точек, принадлежащих надмолекулярным образованиям).
Случайные поля 0 (х), а(х), р(х) предполагаются статистически однородными, изотропными и эргодическими по отношению к моментиым функциям произвольного порядка. Предполагается также, что свойства надмоле кулярных образований 0 1, а1, р1 статистически не зави сят от расположения (от Я). Исследование моментных функций свойств (см. п. 5 гл. 1) показывает более слож ную структуру их координатной зависимости по сравне нию с моментными функциями двухкомпонентной среды, свойства компонентов которой детерминированные.
При отсутствии внешних сил < £ ) = 0 , тогда средние напряжения в упбрядоченной р1 и аморфной рп областях полимера, возникающие при структурообразовании, пред
ставляют собой |
изотропные |
тензоры с |
диагональными |
||||
составляющими: |
|
|
|
|
|
|
|
р 1 = |
р 1 |
+ |
р 1у\ |
р и = |
p V + |
Ру1; |
|
Di _ a ° s > T . |
Di _ a ° s > y . |
> |
|||||
Рт — |
п |
> |
Ру — |
^ |
|
||
Рт1 |
< « > , . |
„ |
<Г?>„ |
||||
~ Г Г Г - |
|
|
|
г |
|||
|
|
|
|
137
Индекс «т» относится к напряжениям, обусловленным из менением температуры полимера, индекс «у». — к напря жениям усадочного происхождения, обусловленным изме нением объема в результате упорядочения молекулярных систем при структурообразовании. Надо заметить, что разложение на температурные и усадочные составляю щие для моментов высших порядков распределения на пряжений возможно лишь при отсутствии статистической связи между а1 и р1.
Вычисление моментов |
< |
) |
по изложенному выше |
||||||||
методу для среды со свойствами (4.13) дает |
|
||||||||||
< |
> т .= 3D[2)t Ц |
SG (K*a0-n * )+ K n+Q [(К*а°-п*) Ц - |
|||||||||
|
|
- |
a1} |
|
|
|
|
2 |
Л . } . |
(4-14) |
|
|
|
|
|
п=1 |
|
|
|
п=1 |
|
||
Макроскопические модуль |
объемной |
деформации |
К° и |
||||||||
коэффициент линейного расширения а° равны |
|
||||||||||
|
/С° = |
| К1К и + - ^ |
/(Gjs + |
Di2)( l - g ) - 2 . x |
|
||||||
|
|
|
|
х |
и |
- г р г 1^ ^ |
* |
1*; |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
п=1 |
|
|
(4.15) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а° = |
( К Т 1{Ка + |
K*a*Dl2)+ КпР + n*JK* (1 - |
|
||||||||
|
+ |
D[2) V |
qn+l [n*DlTl) (1 - |
2P) _1 (1 - g) " 1 + |
|
||||||
|
+ |
K l Knlr |
l ( l — |
2P)-2+ a 1 |
|
— 2P)"2]}; |
|
||||
|
|
|
|
|
- |
- |
K |
|
f |
|
|
|
|
g = JK* (l — 2 P); |
q = — (1 |
— 2P)S; |
|
||||||
|
|
|
S = |
|
|
|
|
|
|
— 1 |
|
|
|
|
— G + K ^ l — P) + KllP |
|
|||||||
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
138
|
Q = i-G S + P ( l - 2 P ) - ‘; |
D ^ = < |
> ; и' 0 = x1- * 1; Kl = < и1 > ; |
Knl= < (и10)па 01 > ; а 1С= а 1— а1;
т=-- < ц > ; К - К 1Р + К п {1— Р)\ К* = К1— К и \
a = alP + al l { l — Py, |
G = GlP + G11 (1 — Р); |
а* = а1— а11; |
п* = Кха1— К и аи \ |
х1, ц1— случайные модули объемной деформации и сдвига надмолекулярных образований.
Формулы (4.14), (4.15) получены как суммы беско нечных рядов. Эти ряды сходятся при условиях: |g |< l, распределения свойств надмолекулярных образований ограничены и \q\{K'—/С1) < 1 , где К' — верхняя граница модулей объемной деформации надлюлекулярных об разований. Перечисленные условия выполняются для большинства технических материалов.
Напряжения Ру и ру1, а также макроскопические коэф фициенты усадки Ь° получаются по формулам (4.14) и (4.15) , если аЧ заменить всюду на (З1. При этом возмож ны упрощения ввиду того, что Ьи = 0 .
Вычисления по выведенным формулам дают верхнюю границу для средних напряжений в элементах структуры полимера, поскольку за счет высокоэластических дефор маций напряжения релаксируют. В случае линейного вязкоупругого поведения полимера в формулах (4.14) и (4.15) , согласно принципу Вольтерра—Работнова, вме сто упругих постоянных следует ввести соответствующие временные операторы.
Формулы (4.14), (4.15) дают возможность проследить влияние неоднородности надмолекулярных образований и статистической связи между свойствами элементов структуры на свойства материалов и начальные напря
жения. Эти факторы учитываются величинами |
и |
Кп\ — центральными моментами распределения модулей объемной деформации и смешанными моментами распре деления модулей и коэффициентов линейного расширения (коэффициентов усадки) надмолекулярных образований.
139
Приняты следующие (для полиэтилена) данные: средний модуль Юнга упорядоченной области El= 4Х X Ю8 Н/м2'; коэффициент Пуассона п1 —0,35; модуль Юнга аморфной области £'11=1,5-108 Н/м2; коэффициент Пуас сона /гп = 0,4; средний коэффициент линейного расшире
ния упорядоченной области |
а1 = 2-10- 4 1/°С, |
аморфной |
|
а11 = 10- 4 1/°С. В формулах |
(4.14), |
(4.15) |
учитываем |
лишь моменты второго порядка D^i |
и /(и, |
моментами |
высших порядков пренебрегаем. Коэффициент вариации модулей объемной деформации надмолекулярных обра-
Y D I
зований vKi — * варьируем в пределах от 0 до 0,3, ко
эффициент корреляции модулей объемной деформации и ко эффициентов линейного расширения г= ~ ^ = = = = —в пре
делах о т — 1 до + 1 (при Dai = 0,l); Dpi = 0 — 0,3 при
= ° , 1 - Величины К° и а° незначительно уменьшаются с уве
личением неоднородности надмолекулярных образований. От коэффициента корреляции г эти величины .практиче ски не зависят (рис. 23).
Средние температурные напряжения в аморфной и упорядоченной областях несколько уменьшаются с уве личением коэффициента вариации модулей объемной де формации, причем тем значительнее, чем больше степень кристалличности полимера (рис. 24).
Модуль объемной деформации и коэффициент линей ного расширения полимера увеличиваются с увеличени ем степени кристалличности по закону, близкому к ли нейному, но эта зависимость тем сильнее отличается от линейной, чем больше различаются свойства аморфной области и надмолекулярных образований. С увеличе нием степени кристалличности средние температурные напряжения возрастают в аморфной области и уменьша ются (по величине) в упорядоченной (рис. 25), причем охлаждение полимера (t при этом положительная вели чина) приводит к возникновению растягивающих напря жений в аморфной области и в среднем сжимающих в упорядоченной. Эти напряжения при охлаждении на 150—200 °С и степени кристалличности около 0 5 достига ют (2—3) • 106 Н/м2.
140