книги / Статистическая механика композитных материалов

По формуле (4.28) находим

Поскольку величины еи, Kijmnpq и СфШдетерминированы,

а случайная величина г]}1 имеет закон распределения (4.32), находим

Л ,», W - O T -

Случайные деформации компонентов композита распре­ делены по асимптотически нормальным законам распре­ деления.

Вследствие того, что точка М (х) — произвольная вну­ тренняя точка тела V*, во всех внутренних точках законы распределения условных деформаций компонентов асимп­ тотически нормальны. Поэтому многомерный закон рас­ пределения полностью задан, если задан двумерный за­ кон совместного распределения.

Напряжения в компонентах композитной среды. Под

напряжениями в компонентах композитной среды со­ гласно п. 1 гл. 4, подразумеваются напряжения, определя­ емые из условия, что в точке М (х) тела V* находится ком­

понент k. Согласно предположению, модули упругости C\fm„ компонента k детерминированы. Поэтому условные напря­

жения * связаны с условными деформациями е'/’ линей­ ными в физическом и статистическом смысле формулами обоб­ щенного закона Гука:

(4.38)

При указанных выше условиях задачи II одноточеч­ ный закон распределения условных деформаций является

асимптотически нормальным: F le(ft) (у)-*{Щ. Нормаль­

ный закон устойчив по отношению к линейному преобра­ зованию аргумента. Следовательно, рассматривая соот­ ношения (4.38) как линейное преобразование, нетрудно заметить, что одноточечный закон распределения услов­ ных напряжений является также нормальным: F1Е(Л)(г)->-

->{А/}. Поскольку точка М(х), для малой окрестности ко­ торой записаны соотношения (4.38), выбрана произвольно внутри данного тела V*, очевидно, что во всех точках этого тела при рассматриваемых условиях задачи одноточечные

151

законы распределения условных напряжений в компонентах композита имеют асимптотически нормальные законы рас­ пределения. Чтобы найти полную статистическую характе­

ристику случайной функции i f f (х), достаточно определить двухточечный закон совместного распределения составляю­ щих этого тензора F ^ w (zt, z2).

3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ И НАПРЯЖЕНИИ В ОДНОНАПРАВЛЕННОМ

ВОЛОКНИСТОМ КОМПОЗИТЕ (ПРИМЕНЕНИЕ РЕШЕНИЯ В РЕАЛИЗАЦИЯХ)

Применим изложенный в .п. 6 гл. 2 метод решения статистической краевой задачи теории упругости для построения законов распределения деформаций и на­ пряжений в однонаправленном композитном материале, содержащем арматуру в виде волокон круглого сечения.

C\Jmn— детерминированные величины.

В рассматриваемом случае достаточно найти реали­ зации деформаций «в компонентах. Тогда, согласно фор­ муле (4.38), реализации напряжений получаются как линейные функции от реализаций деформаций. Если, кроме того, закон распределения деформаций в компо­ нентах нормальный, то и напряжения в компонентах распределены по нормальному закону.

Как и в п. 6 гл. 2, представим случайные (безуслов­ ные) деформации в виде

еи = еи + Ф;;аРе<*р-

Средние деформации ец при условиях эргодичности (см. п. 2 гл. 2 ) совпадают с макроскопическими, извест­ ными из решения краевой задачи теории упругости для

трансверсально-изотропной среды с модулями Сцтп (см. п. 2 гл. 3).

Случайный характер функционала Ф(х) отражает, с одной стороны, наличие в материале разнородных ком­ понентов и, с другой стороны, случайность формы и рас­ положения элементов структуры. Поэтому реализации функционала, вычисленные (в первом приближении) по

152

формуле (2.80) при различных значениях х, отличают­ ся. Поэтому отличаются и -реализации -деформаций в 'различных точках. Задача, таким образом, сводится к вычислению реализаций функционала Ф(х), заданных формулой (2.80).

Ввиду того, что волокна расположены однонаправ­ ленно (вдоль оси х3), интегрирование по поверхностям Ss, ограничивающим элементы структуры, можно заме­ нить интегрированием по контурам Ls (окружностям),

ТУРУ Ls и осью xt (i = 1, 2);

Здесь тензор Грина G(x, х') задан матрицей (2.60); С*„ш=

Интегрирование в правой части (4.39) производится как по контурам, ограничивающим арматуру, так и по конту­ рам, ограничивающим связующее. При этом интеграл по на­ ружному контуру, ограничивающему связующее по окруж­ ности некоторого радиуса, не зависит от радиуса окружно­

сти и равен PJа^аРq>amл, причем интегралы Iijmn совпада­

личаются только знаком и множителем (1—Р) и (—Р). Сло­ жив результаты интегрирования, получим следующую фор­ мулу для реализации функционала Фцтп (х):

153

Pirc. 27. Сечение произвольного во­ локна в трансверсальной плоскости (точка М(х) совмещена с началом

координат)

Дифференцирование компонентов тензора Грина G(x, х') по координатам дает тригонометрические функции, поэтому нахождение /$£„ сводится к вычислению интегралов от три­

гонометрических функций, содержащих r[h\ cp(0fe) и г** в качестве параметров*. В зависимости от соотношения этих параметров (от положения точки М (х)) возникают три слу­ чая интегрирования: 1) точка М(х) лежит внутри круга (го‘О ’*); 2) точка М(х) находится на контуре круга (г0 =

=г*) и 3) точка М(х) лежит вне круга (г0 >г*).

Впервом случае независимо от положения точки М (х)

Вычисления выполнены Н. М. Курносенко и О. А. Соловьевой.

154

и радиуса круга получаются значения, заданные формулой (3.25). Во втором случае приходим к вычислению расходя­

2Л

щегося интеграла J ctg dx. Главное значение его равно

нулю, поэтому В формулы ДЛЯ lifm n ВвЛИЧИНЫroИГ* не ВХО' дят (индекс k опущен для упрощения записей):

nN

11Ш = пМ sin2 ср0 + — (cos2 2ср0 — 2 sin2 фс);

155

Рис. 28. Гистограммы распределения продольных

(а) и поперечных (б) деформаций в арматуре однонаправленного волокнистого композита при растяжении в трансверсальной плоскости

15§

Рис. 29. Гистограммы распределения продольных (а) и поперечных (б) деформаций в связующем однонаправ­ ленного волокнистого композита при растяжении в транс­ версальной плоскости

С целью иллюстрации метода строили законы рас­ пределения деформаций в однонаправленном волокнм-

157

стом композите, структуру которого моделировали по алгоритму И, описанному в п. 4 гл. 1. Полученная реа­ лизация структуры содержала около 1000 кругов, диа­ метр которых распределен по закону, близкому к нор­ мальному. Коэффициент вариации случайного диаметра 0,13. Средняя доля площади'сечения, заполненного кру­ гами, составила Р = 0,474.

Реализации функционала Ф (согласно формуле (4.40)) вычисляли в точках М(х), размещенных случайным об­ разом внутри квадрата 0,25X0,25 (размер квадрата, представляющего реализацию структуры, принят за единицу). При этом суммирование выполняли до 6= 200.

Полученные в результате вычислений гистограммы условных деформаций в арматуре и связующем (ком­ понентах I и II) при одноосном растяжении в направле­ нии Х\ (в трансверсальной плоскости) показаны на рис. 28 и 29. Для составляющих условных деформаций (кро­

ме 6 2 2 ) по критерию х2 при уровне значимости 5% мо­ жет быть принята гипотеза о нормальном распреде­ лении.

4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ

При экспериментальном изучении напряжений и де­ формаций в элементах структуры возникают трудности,

риалах. В известных экспериментальных работах напря­ женное состояние образцов, моделирующих композит­ ные материалы, исследовалось поляризационно-оптиче­ ским методом [13, 29, 149, 150, 151]. Для эксперимен­ тального исследования деформаций элементов структуры металлов наиболее широко применяется метод ортого­ нальных сеток. Этим методом в работе [153] исследова­ ли закон распределения упругих деформаций в моделях композитных двухкомпонентных материалов на образцах (250X70 мм2') двух типов: из эпоксидно-фурановой смо­ лы (тип I) и резины (тип II).

Продольные и поперечные деформации вычисляли

158

в22 -0 ,t5 -0,10 - 0 ,0 5 0 0,10 0,15 0,20 0,25е„

Рис. 30. Распределение продольных ец и поперечных егг деформации в образцах типа I при напряжении 1,5-107 Н/м2 (а) и типа II при напряжении 8-107 Н/м2 (б)

по перемещениям линий сетки с базой 2—5 мм (диаметр шайб, моделирующих включения, б—14 мм).

Гистограммы, построенные по экспериментальным данным, подтверждают двухвершинный вид плотности распределения деформаций (рис. 30). Для продольных ец и поперечных €22 деформаций характер распределе­ ния одинаков. Он остается неизменным также при из­ менении нагрузки (при этом изменяются лишь средние

значения).

Для образцов с базой сетки 2 мм по критерию %2 проверяли гипотезу о нормальном законе распределения деформаций компонентов. В этом случае плотность распределения feu {y) имеет вид

159

подбирали из условия наилучшей аппроксимации эмпири­ ческих распределений величин еГ и ej} теоретическими нор­

мальными, параметр Р. находили по относительному числу узлов сетки, попавших на арматуру, которое примерно равно доле площади образца, занятой армирующими вклю­ чениями. Гипотеза о нормальном распределении деформаций подтвердилась во всех случаях.

Для образцов с базой сетки 5 мм двухвершинный характер кривой распределения деформаций уже не имеет места, так как измеренные деформации являются усредненными деформациями компонентов. Полученное в результате одновершинное распределение (рис. 31) хорошо аппроксимируется нормальным законом.

Дисперсии деформаций в компонентах образца ти­ па I имеют порядок дисперсии ошибок измерения. Умень­ шить долю дисперсии ошибок путем увеличения нагруз­ ки не удалось: при напряжениях (4,0—4,5) -107 Н/м2 образцы разрушались. В образцах типа II дисперсия ошибок составляет лишь 0,5—1,0% от дисперсии де­ формации компонентов.

Сравним результаты эксперимента с результатами вычислений по методам, изложенным в пп. 1 и 2 гл. 4. Исследуем, как и в эксперименте, одноосное растяжение композита вдоль оси х {. При этом средние (и макроско­ пические) деформации равны

160