книги / Статистическая механика композитных материалов

Г л а в а 5

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ

1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ ПРОЧНОСТИ

Задачи статистической механики разрушения.

Определение моментов или закона распределения слу­ чайных напряжений в компонентах материала не явля­ ется конечной целью статистической механики компо­ зитных материалов. Задана состоит в том, чтобы уста­ новить и по найденному закону распределения’ напря­ жений вычислить статистические критерии прочности. Иначе, речь идет о прогнозировании прочности компо­ зитных материалов по заданным свойствам компо­ нентов.

Как показывают результаты экспериментальных ис­ следований, полному разрушению изделий из композит­ ных материалов предшествует процесс микроповрежде­ ния — разрушение отдельных элементов структуры. Изучение процесса важно не только для анализа усло­ вий образования макроскопической трещины и после­ дующего полного (макроскопического) разрушения, но

деформациями даже в случае линейно-упругих компо­ нентов, причем эта зависимость определяется видом макроскопического напряженного достояния. Таким образом, деформационные и прочностные свойства ком­ позитного материала зависят от действующих на конст­ рукцию нагрузок, т. е. изотропный материал в резуль­ тате нагружения приобретает анизотропию, вид которой определяется напряженным состоянием;

162

Кроме того, микроповреждения так же, как и поры, трещины, расслоения, существенно влияют на процессы переноса и стойкость материала к действию эксплуата­ ционных сред. Знание количественной меры микро­ поврежденности позволяет прогнозировать свойства материала в условиях длительной эксплуатации.

В результате изложенного к задачам статистической механики разрушения композитных материалов наряду с установлением критериев прочности следует отнести исследование макроскопических законов деформирова­ ния при прогрессирующей микроповрежденности и оп­ ределение меры микроповрежденности при данном на­ пряженном состоянии с учетом истории нагружения. Решением первой задачи занимается статистическая теория прочности.

Наиболее развита статистическая теория прочности материалов в одномерном случае. Моделью материала

Я. И. Френкеля [51]. Последующее развитие она полу­ чила в трудах Н. Н. Афанасьева [155], Л. Г. -Седракя- на [156], В. В. Болотина [1]. Ограниченность одномер­ ной теории прочности показана в [54]. В то же время интерес к ней значительно возрос в связи с применени­ ем стеклопластиков и других композитных материалов в нагруженных конструкциях. Ввиду низкой прочности связующего стеклопластик при одноосном растяжении вдоль волокон работает как система параллельных стержней. Такая модель стеклопластика используется в многочисленных работах, посвященных анализу проч­ ности этого класса материалов [7, 14, 26, 27, 157].

Описанная модель композитного материала носит дискретный характер, она не учитывает многих эффек-^ тов, обусловленных взаимодействием элементов струк­ туры при деформировании. Эти эффекты оказываются существенными, если структура композитного материа­ ла отличается от однонаправленной или напряженное состояние отличается от одноосного растяжения вдоль направления армирования. Поэтому наряду с дискрет­

ными значительное развитие получили континуальные модели, в том числе учитывающие повреждение элемен­ тов структуры уже на начальных этапах нагружения!

Простейшие статистические критерии разрушения.

Рассмотрим критерии макроскопического разрушения композитного материала, устанавливаемые на основе результатов решения статистических краевых задач теории упругости и не учитывающие перераспределение напряжений, обусловленное повреждениями.

Пусть статистическая краевая задача теории упру­ гости для сплошной среды решена. В результате уста­ новлен закон распределения случайных напряжений

в каждом компоненте k. Условие разрушения элемента структуры в данной точке определяется выходом точки

где h k {X, R) — плотность распределения напряжений %к\ R — совокупность параметров распределения, служит мерой

повреждения компонента k и условие Qh^ Qk может быть принято в качестве условия макроскопического разрушения. По физическому смыслу величина Qk — объемная доля раз­ рушенных элементов структуры компонента k.

По формуле полной вероятности объемная доля раз­ рушенных элементов структуры материала равна

Условие Q ^Q * также может быть условием макроско­ пического разрушения материала.

Параметры распределения (математические ожидания, дис­

повороте осей они преобразуются как компоненты тензоров. Таким образом, найденные плотности f%h (X ) также зави­

164

сят от ориентации осей х\, х2, х'г (или, что то же самое,

от углов Ъ, ср сферической системы координат, связанной с этими осями).

Ответственными за разрушение частиц компонента

k примем наибольшие растягивающие напряжения ръ,- Тогда величина

характеризует долю разрушенных частиц компонента k

всечении, перпендикулярном прямой, заданной углами

Фи ф. По формуле полной вероятности находим вели­ чину

ла и характеризует общую долю разрушенных элемен­ тов структуры в направлении ■&, ф. По своему смыслу она совпадает с функцией на сфере ЩФ, ф) [158], по­ этому может быть использована для построения крите­ риев разрушения, предложенных в указанной работе. Достоинство этой функции состоит в том, что она ха­ рактеризует не только величину, но и преимуществен­ ное направление разрушений. Однако при использова­

микротрещин, т. е. найти условные вероятности повреж­

165

k. Полная вероятность разрушения частиц материала в окрестности точки М(х) определяется формулой (5.2).

Меры повреждений (5.3) и (5.4) интегрально учитывают направление трещин. Аналогичный эффект достигается, если

Здесь 1Ы — инварианты: Ihi= lhaa\ //t2= ~ (llaa — 1,<ав X

h z = I %hij I-

Компоненты единичного вектора vt — косинусы угла между вектором | ftl и осями координат — определяются из

определяется по формуле (5.4). Локальные повреждения можно задать векторами | ftl или (|;а— p£)vt.

Полученная мера поврежденности (5.6) несет суще­ ственно больше информации, чем введенная величина Q, однако используемое условие прочности компонентов ограничивает область ее применения случаем' хрупкого разрушения. Не вполне удобным оказывается и описа­ ние таким образом локальных повреждений, что необхо­ димо для решения задачи о деформировании повреж­ денной среды.

Пусть статистическая краевая задача теории упру­ гости композитной среды решена в реализациях (по ме­ тоду, изложенному в п. 6 гл. 2 ). Следовательно, в каж­ дой точке данной реализации случайного поля свойств найдены напряжения %к и деформации Предполо­

166

жим, что условие прочности компонент* k, находящего­ ся в некоторой точке М (х), не выполняется, т. е. в дан­ ной точке произошло разрушение. Образовавшаяся трещина влияет на напряжение и деформированное состояние среды. Учесть это влияние можно воспользо­ вавшись приемами, разработанными в теории дислока­ ций [160].

Как отмечают Бклби и Эшелби [161], аналогия между скоплением группы дислокаций и трещиной была осознана еще на заре развития теории дислокаций. Методы теории^ислокаций применяются в ряде работ

поскольку геометрия трещин в явном виде не вводится. На основании проведенных рассуждений можно ввести несколько мер микроповрежденности материала,

тельный объем раскрытых микротрещин. Величина Qv определяет, в частности, проницаемость материала для газообразных и жидких сред и изменение свойств мате­ риала под их воздействием.

Долю поврежденного материала характеризует также

167

—х*) dV, совпадающее с мерой микроповрежденности, вве­

денной формулой (5.2). Численные значения их могут быть различными.

2. СТАТИСТИЧЕСКИ!? КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД С ПОВРЕЖДЕНИЯМИ

Композитные среды с повреждениями типа пор. Рас­ смотрим статистическую краевую задачу теории упру­ гости композитной среды, имеющей повреждения типа пор. Повреждения вводим с помощью индикаторной

функции %h (х) подмножества поврежденных точек компонента к. Модули упругости такой среды, отнесен­

ные к элементам структуры, равны

0 <‘>(х) = е(х) — 2 e ft^ (I) (x).

п

где 0(х) = 2 © А (х); в* — модули упругости компонен-

А=1

та к; индекс (1) означает, что выражение учитывает лишь

начальную поврежденность.

Математическое ожидание функции А,а (/>( х ) равно

относительному объему разрушенных элементов струк­ туры компонента к (объему пор в компоненте к):

<=i

где Qlh— отношение объема «разрушенных* элементов

структуры к общему объему, занимаемому компонентом к. Здесь и далее предполагается статистическая одно­

родность и эргодичность случайных полей, задающих свойства среды.

Система уравнений статистической краевой задачи теории упругости для среды с повреждениями имеет

168

вид (2.44), однако для величин, характеризующих со­ стояние, вводится индекс (1):

среды с повреждениями относительно флуктуаций де­ формаций е0*1*записывается в виде

16»

'F (11) = def f G(1) (x, x 'H v -e '*0 - • (Ф(Д \ + Y ^ i) ] ' dV v

Деформации e(1> находятся по макроскопическим напря­ жениям (при заданных на границе силах q|s=n-p) и мак­ роскопическим упругим податливостям S°(1) среды с повреж­ дениями

При заданных на границе перемещениях

eu> = S 0(D - -pd),

где р(1) — макроскопические напряжения в среде с повреж­ дениями;

Компоненты тензора S^1) вычисляются по компонентам тензора макроскопических модулей упругости С^1), причем

ная доля разрушенных элементов структуры с учетом перераспределения напряжений.

Второе и последующие приближения строятся ана­ логично первому. В произвольном приближении j име­

нента k.

170