книги / Статистическая механика композитных материалов

Рис. 10. Зависимость коэффициента корреляции значении Р от рас­ стояния между точками

дий произвольного порядка при выбранном расположе­ нии системы точек© виде

где а и b — постоянные, не зависящие от содержания и расположения волокон. По данным эксперимента, для стеклопластиков а = 3,4; 6 = 5,3. По оси абсцисс (см. рис. И —13) отложено приведенное расстояние между точ­ ками:

t {n) =-

31

f ( t fn))

Рис. 12. Моментные функции третьего порядка распределения эле­ ментов структуры в однонаправленном (/) п в хаотически арми­ рованном (2, 3) стеклопластиках (2, 3 — в двух взаимно перпен­ дикулярных плоскостях)

Рис. 13. Нормированные моментные функции порядка п распре­ деления элементов структуры в однонаправленном стеклопластике (в плоскости, перпендикулярной волокнам):

/ — /г = 2; 2 — /1=3; «3— /2=4; 4 — /2 = 5; 5— /2 = 6; б— /2=7

где rt = |хр — xq \ ; хр, xq — радиусы-векторы точек; dt —

средний размер волокна в направлении rf; s = C2n число со­ четаний из п по 2 (число всевозможных расстояний между точками).

Так как размеры волокон и их расположение случайны, то dt = < At ) , где Дг = Д | sirup. |-1; Д — диаметр волокна; ср;—угол межту радиусом-вектором г,- и направлением во­ локна. Значение параметра dx легко вычисляется, если из­ вестно распределение диаметров армирующих волокон и

32

f(y \x) — условная плотность распределения углов относи­

метр di находится сразу. Например, для однонаправленно­ го стеклопластика, пренебрегая искривлением волокон, при

ср =. 45° имеем dt = d ] / " 2 .

Для стеклопластика с хаотически расположенными в пространстве волокнами угол ср является равномерно рас­ пределенной случайной величиной. Вероятность события Ф<Ф* пропорциональна площади поверхности сферическо­ го сегмента единичного радиуса, ограниченной конусом с уг­ лом ф*:Р (ф < ф*) = 2пс (1 — соэф*). Коэффициент пропор­ циональности с находится из условия, что вероятность

равна единице. Тогда функция распределения Рф (у) = 1 _ cos у, следовательно, < | sin ф | - 1 > = - у ; dt=

Tiid

“ ~2~ ’

Нетрудно видеть, что для однонаправленного стекло­ пластика с идеально прямыми волокнами в случае, когда вектор гi направлен вдоль волокон, dt = <х>, т. е. /(2) = 0 .

того, для стеклопластика с идеально прямыми волокнами отношение rjdi равно отношению проекции rt на‘ плоскость, перпендикулярную направлению волокон, к среднему диаметру волокна. Следовательно, моментные функции зависят лишь от проекции векторов г,- на эту плоскость.

Таким образом, приведенные экспериментальные данные позволяют считать случайную функцию Х(х), описывающую распределение элементов микрострукту­ ры стеклопластиков рассмотренных типов, статистиче­ ски однородной.

Далее, из данных эксперимента следует, что для од­ нойаиравленного стеклопластика с хаотическим распо­ ложением волокон в пространстве моментные функции не зависят от направления векторов г,-, т. е. распределе-

стеклопластика.

По аналогии с временем корреляции в статистической гидромеханике [63] определим приведенный радиус локаль­

ности моментных функций К[п)

Лп) = [М")г 1 f Kln) (7(л>) d7in)

о

или с учетом ( 1 .1 1 )

= |/ ( 7 (л))Жг<п).

О

Подставляя f (t{n)) из формулы (1.12), находим г*л) = = 2adi (a2+ Ь2)-1. После подстановки полученных в резуль­

тате эксперимента значений а и b [имеем г*л) = 0,235 d4. Таким образом, «невырожденные» моментные функции, опи­ сывающие распределение элементов микроструктуры в иссле­ дуемых стеклопластиках, локальны в области радиусом меньше среднего диаметра волокон.

В силу соотношений, вытекающих из (1.6) — (1.8), радиус статистической зависимости значений i(x) ана­ логичен радиусу локальности моментных функций соот­ ветствующих порядков [71].

О моделировании структуры композитов на ЭВМ.

Построение моментных функций и многомерных законов

34

моментных функций обусловливает необходимость в большом объеме исходной информации при построении моментных функций и многомерных законов распреде­ ления на основе экспериментальных данных (при этом, естественно, нужно иметь и сам материал). В результа­ те оба метода оказываются неэффективными для полу­ чения многомерных законов распределения и моментных функций высоких порядков. Информация, доставляемая лишь моментными функциями первых порядков, 'недо­ статочна для детального описания структуры компози­ тов. Наконец, для решения задач оптимизации жела­ тельно располагать реализациями случайного поля структуры при различном характере расположения элементов. Таким образом, возникает задача моделиро­ вания структуры, которая может быть эффективно ре­ шена лишь с помощью ЭВМ.

Ниже анализируются различные алгоритмы моде­ лирования структуры некоторых типичных композитов с применением ЭВМ «Минск-32».

Задача построения случайного поля структуры одно­ направленного композита, армирующие элементы кото­ рого — цилиндрические волокна, сводится к размеще­ нию случайным образом на плоскости непересекающихся .кругов с заданным распределением диаметров.

Экспериментальные исследования микрошлифов од­ нонаправленных стеклопластиков на основе жгута ЖСР и эпоксидного связующего (см. п. 1 гл. 1 ) позволяют считать распределение диаметров волокон нормальным. Реализации диаметров — нормально распределенные числа — получали преобразованием равномерно распре­ деленной на отрезке [0 , 1 ] случайной величины с по­ мощью розыгрыша Неймана. Для получения равно­ мерно распределенных чисел использовали стандартную программу («Случ» СМО ЭВМ «Минск-32»). Соответ­ ствие каждой извлеченной выборки диаметров заданно­ му нормальному распределению проверяли по критерию Пирсона.

Для удобства анализа круги размещали на единич­ ном квадрате. Параметры распределения диаметров принимали равными 0,096 и 0,0126. При этом доле пло­ щади, заполненной кругами (объемной концентрации волокон в композите), Р ж 0 , 6 соответствует около 1 0 0 кругов на квадрате.

35

Однородность получаемых реализаций поля структу­

по закону Пуассона с плотностью а и средним aS. Тогда, как показано в работе [65], расстояние от центра данного круга до центра k-то (по расстоянию) круга рк распреде­ лено по закону, соответствующему распределению %2 с 2k

[6 8 ]. Его недостаток —ограниченность малыми концентра­ циями арматуры. Для устранения этого недостатка алго­ ритм размещения случайных кругов на плоскости допол­ няется операцией смещения пересекающихся кругов.

Пусть на единичном квадрате расположены п непере-

k до устранения пересечения. Этот процесс продолжает­ ся до тех пор, пока не будут полностью ликвидированы

ние единичного квадрата кругами до Р = 0 , 3 достигается менее чем за 15 мин. Поле структуры получается од­ нородным. При Р>0,3 время счета резко возрастает и определить его не удается, поскольку в любой момент времени t > t { нельзя утверждать, что количество кругов

36

Рис. 14. Структура волокнистого композита, полученная с по­ мощью ЭВМ

Рис. 15. Нормированная корреляционная функция модельного поля структуры (t — расстояние между точками, отнесенное к среднему диаметру волокна)

возможность нарушения заданного распределения диа­

единичном квадрате,, чтобы получить заданное значение Р. Далее эти круги последовательно размещаются на квадрате, причем возможные значения координат оче­ редного круга выбираются до тех пор, пока не будет определено положение, в котором круг не пересекается с уже имеющимися кругами. Продолжительность поиска возрастает с увеличением Р Ее можно уменьшить, если круги размещать, начиная с больших. Заполнение еди­ ничного квадрата осуществляется быстрее, чем по алго­ ритму I. Так, при Р ж 0,6 реализация структуры строится за 30 мин. По своим статистическим характеристикам (включая однородность Р и корреляционные функции) полученные реализации структуры вполне соответствуют экспериментальным (рис. 14 и 15).

А л г о р и т м III. На части плоскости, площадь ко­ торой SS> 1 , размещается необходимое для заполнения единичного квадрата с заданным Р число кругов. Затем

37

круги последовательно (начиная от лежащих в центре) смещаются к центру до касания с ближайшим к пери­ ферии кругом. По своему физическому смыслу данный алгоритм напоминает операцию образования жгута из. элементарных волокон. Формирование реализаций поля структуры осуществляется значительно быстрее, чем по алгоритму II. Например, заполнение единичного квадра­ та до Я = 0,6 осуществляется всего за 5 мин. При боль­ ших Р поле структуры получается однородным, однако при малых Р плотность заполнения периферии значи­ тельно меньше, чем центральной части области.

А л г о р и т м IV Заполнение единичного квадрата кругами осуществляется «послойно». Для каждого оче­ редного круга /г, помещаемого в слой /, задаются (как реализации случайных величин) расстоянияот круга с номером п—1 , находящегося в слое /, и от круга /г, на­ ходящегося в слое /—I. Алгоритм позволяет быстро по­ лучить реализации структуры для Р > 0 ,6 , причем время счета и однородность поля структуры практически не зависят от Р. Статистические характеристики модель­ ного поля структуры, построенного по данному алгорит­ му, соответствуют найденным экспериментально.

так, что все возможные положения равновероятны. При этом положение круга зависит от его номера, а распре­ деление диаметров размещенных кругов может значи­ тельно отличаться от исходного, так как из-за пересече­ ний наиболее часто отбрасываются круги большого диаметра [65].

Проблемы, возникающие при решении трехмерной задачи (например, задачи о размещении непересекающихся шаров в пространстве), принципиально не отли­ чаются от проблем, с которыми приходится сталкивать­ ся при размещении кругов на плоскости. На ЭВМ «Минск-32» был реализован алгоритм моделирования структуры композита, наполненного сферическими эле­ ментами, аналогичный алгоритму II. Продолжитель­ ность получения реализаций структуры по сравнению с продолжительностью размещения кругов на плоскости возрастает, особенно при Р>0,3. Так, реализация структуры в виде единичного куба, заполненного на 0 , 3 объема шарами, диаметр которых имеет нормальное

38

распределение с параметрами 0,096 и 0,0126, была по­ лучена зз 40 мин. Структура модельного композита, как и в плоском случае, однородна.

5. с л у ч а й н о е п о л е с в о й с т в

Функции распределения и моментные функции. Пусть элементы структуры композитного материала таковы, что в пределах данного элемента свойства постоянны относитель­ но координат, но не обязательно постоянны относительно направлений и могут быть различными для различных эле­ ментов структуры. Тогда свойства произвольного компонента

что в этой точке находится компонент k, т. е. Xk (х) = 1. Иначе,

натной зависимостью случайного поля структуры, т. е. функций X/t(x). С другой стороны, .чтобы задать распре­

Здесь F&(t) — одномерная ф ункция распределения свойств

В точке М (х); Ph = Р (Kh = 1).

39

В заданной точке М(х) случайные величины Яь(х) имеют функцию распределения (1 .1 ) и плотность рас­ пределения (1.2). Тогда по формулам (1.15) и (1.16) получаем следующие функцию и плотность распределе­ ния свойств 0 в точке М (х):

где C(ft) = < ©(ft) > .

Моментные функции случайного поля 0 (х) находятся по известному правилу:

40