книги / Механика композитных материалов. 1979, т. 15, 1

Окончание табл. 1

<п-1У

Постоянные А*, щ (i= 1,2,3,4) определяются из условия минимизации функционала — потенциальной энергии деформации. Для них в1 полу­ чены формулы:

где A — определитель матрицы [s—R], а Ац — его алгебраическое допол­ нение.

Компоненты квадратной симметричной матрицы R и матрицыстолбца с вычисляются через геометрические параметры задачи и физи­ ческие константы материала. Для них справедлива следующая запись:

4

Компоненты квадратных матриц d, s, матриц-столбцов b, k и б приве­ дены в таблицах 1 и 2.

Полученные выражения для напряжений позволяют исследовать

величину напряжений. Для этого анализируем изменение расчетных зна­ чений наибольших напряжений на линии сопряжения £=1. Экстремаль­ ные значения нормальных напряжений, как это следует из (2а), имеют

139

140

Окончание табл. 2

мально, когда а2>0. Кроме того, если a i ^ l —— а2, соответственно при oU

а2^ 0 , то дополнительный минимум или максимум нормальные напряже­ ния Ох имеют при

У 0,3а2 Т]э1= — а2+ 2>а\—3

На краю сечения ax(l, 1) =5 —Аа\——а2. Касательные напряжения со-

О

гласно (36) имеют экстремум при

г| = г|эь в центре и на краю сечения показало, что для реальных парамет­ ров а, р, присущих современным композитам, наибольшее значение на­ пряжения ах достигается на краях сечения rj = ± 1. Его изменение от р при четырех фиксированных значениях а представлено на рис. 1. При малых значениях а, т. е. в случае повышенной жесткости материала в поперечном направлении по отношению к направлению нагружения (Ez^Ex), напряжения ax(l, 1) изменяются незначительно от параметра р. При этом в диапазоне малых значений р чувствительность исследован­ ных напряжений к изменению Ex/Ez значительно выше, чем при больших

Р(см. рис. 1).

Вслучае изотропии материала максимальной величины напряжения ох достигают в точке экстремума rj3 = 0,266. При этом их значения со­ ставляют: CTi(1, т]э) = 1,029, а*(1,0) = 1,028, ах(1, 1) =0,872. Подобное пере­ распределение напряжений ох может иметь место и для таких сочетаний

параметров а и р , когда Ех и Gxz одного порядка, а EZ>EX (рис. 2). Эти напряжения в сечении £=1 имеют почти линейную зависимость от пара­ метра а (см. рис. 2). Следует отметить, что если а> 1 и а/р<2 макси­ мальное значение ох может быть не на краю сечения.

Касательные напряжения в сечении £= 1 достигают по абсолютной ве­ личине наибольшего значения в экстремальной точке т]Э2Изменение физических параметров материала несущественно сдвигает ее ординату

141

а и р по сравнению с дх. Величина максимальных касательных напряже­ ний на два-три порядка меньше максимальных нормальных напряжений.

Кроме физических констант материала в выражения для напряжений входят также геометрические параметры образца: m l= c/h-, m2 = a/h-, n=b/a. Исследование их влияния на изменение максимальных напряже­ ний на линии сопряжения £=1 проводилось при параметрах нагружения t = q/p = у=1. Расчетные значения ?гх, вычисленные при а = 20, р= 150, п = 6, приведены в табл. 3. Анализ этих данных показывает, что увеличе­ ние т2— длины участка нагружения образца — приводит к уменьшению нормальных напряжений на краю сечения £=1, причем снижение Ъх у образцов-полосок (mi = 1,0) происходит значительно медленнее, чем у образцов-лопаток (mi>1,0). При постоянной длине участка нагружения образца изменение формы его с полоски на лопатку способствует умень­ шению значений ~5Х. Наибольшее влияние этого фактора наблюдается при длинных участках нагружения (больших т2) образца. Зависимость сгх от mi, как видно из табл. 3, имеет нелинейный характер. При параметре

142

Рис. 3. Изменение значений T.VZ по сечению первой области при т| = 1. 1, 2 — m i= l,0 и

1,2; 3 — т 2=2,0.

Рис. 4. Кривые изменения наибольших нормальных напряжений вдоль оси образца, рас­ считанных при t = y = 1; m2 =5. 1 — а = 30, р= 150, m i=l,2; 2 — а = 10, р= 25, mt= l,0 .

меньшим. Это можно объяснить тем, что передача касательных усилий в области захватов по линии т] = 1 при разных гп\ характеризуется различ­ ными эпюрами (рис. 3). Кривые, представленные на рис. 3, рассчитаны при физических параметрах а = 20, [3=150 и /г= 6 вдоль линии TJ= 1,

—Как видно из рис. 3, их максимум сдвигается вправо к сече­

нию | = 1, а абсолютная величина Txzmax при m i = l ,2 на 19% ниже, чем При ГП\=\.

Изменение нормальных напряжений по длине участка образца, сво­ бодного от нагружения внешними усилиями, иллюстрируют графики рис. 4. Приведенные на этом рисунке кривые рассчитаны для образцовлопаток при отношениях с//г= 1,2 и 1,0. Длины зоны затухания у образцов обоих типов практически одинаковы, хотя соотношение физических кон­ стант (Ex/Ez) у образцов-лопаток втрое выше, чем у образцов-полосок. Характер изменения эпюр нормальных напряжений по сечениям образцаполоски, изготовленного из высокомодульного композита (Ex/Ez = 30, Ex/Gxz— 2vzx= 150), показан на рис. 5, откуда видно, что длина зоны возму­ щения ах не превышает 8,5h. При этом значения касательных и попереч­ ных нормальных напряжений на два-три порядка оказываются ниже, чем <тх.

Следует отметить, что изменение параметра t = q/p, характеризую­ щего поперечное обжатие образца в захватах, несущественно влияет на

(5

Рис. 5. Изменение эпюры нормальных напряжений ах по сечениям образца, рассчитан­ ным при а = 30; р= 150; т\ = 1; т 2 =5; /г=6 ; y = t= 1. А1= х —а = 0 (а); 2,5/i (б); 5h (a);

7,5/i (г); 8,5h (д).

143

ах(1, 1). Так, для образца-полоски (/?гi = 1) с длиной нагруженного участка ni2 = alh = 3 варьирование t от 0,5 до 1,5 вызывает изменение

ах(1,1) от 2,37 до 2,55 при а = 20, (5= 150, п = 6. Еще меньше на значении Gx сказывается закон распределения касательных усилий в захватах, характеризуемый параметром у. Изменение последнего в пределах 1—5 соответствовало изменению а*(1, 1) =2,52-^2,56 для тех же значений ос­ тальных параметров при t= 1.

Экспериментальное изучение длины зоны возмущенного напряжен­ ного состояния проводилось на современных композитах, различающихся схемой укладки, жесткостью и видом арматуры. При испытании исполь­ зовались образцы-лопатки форма и способ приложения на­ грузки которых точно соответствует схеме, принятой при решении за­ дачи1. Испытывались также образцы-полоски, изготовленные из того же материала, что и образцы-лопатки. Оценка изменения напряжений по длине и высоте образца производилась по относительным деформациям, измерение которых осуществлялось тензодатчиками сопротивления ши­ риной 2 мм, с базой 5 мм. Наклейку тензодатчиков проводили по боковым граням вдоль их осевых линий (т]= 0) и по верхней и нижней поверхнос­ тям (т] = 1) образца. Датчики располагались симметрично друг относи­ тельно друга.

Полученные экспериментальные данные (табл. 4) свидетельствуют о том, что при растяжении слоистых композитов с относительно невысокой степенью анизотропии упругих свойств, присущей ортогонально армиро­ ванным материалам, характер распределения деформаций по длине и высоте образца весьма мало зависит от его формы (параметр т\). Так, для стеклопластика АГ-4С с укладкой волокон 5: 1 при нагружении в направлении большей степени ориентации волокон изменение значений п%\ в 1,7 раза практически не сказывается на относительном изменении деформаций нижней и верхней поверхностей ( г |= ± 1) его рабочей части. Относительные показатели деформаций при т] = 0 у образцов-лопаток не­ значительно выше, чем у образцов-полосок. Примерно такое же явление наблюдается в случае испытаний ортогонально армированных углеплас­ тиков. Увеличение степени анизотропии упругих свойств способствует по-

Примечания. Знамения е„ измерялись по середине длины рабочей части образца. Длина зоны нагружения образца внешними усилиями при испытании составляла 2а = 40 мм.

144

вышению чувствительности относительных деформаций к изменению формы образца. Это хорошо иллюстрируют данные, полученные при растяжении образцов из однонаправленных углепластиков в направлении волокон. Использование для испытаний образцов-полосок (см. табл. 4) приводит к более неравномерному распределению деформаций как в средней части образца (при т] = 0), так и на его поверхностях (т] = ± 1) по сравнению с деформациями образцов-лопаток; эти данные хорошо согла­ суются с расчетными значениями, вычисленными по формуле (2а) для рассматриваемых композитов.

Опытные данные показывают, что не только увеличение степени ани­ зотропии упругих свойств образца изменяет характер распределения де­ формаций в зависимости от его формы, но характер также существенно зависит от структуры армирования исследуемого материала. По степени анизотропии упругих свойств пространственно армированные материалы, образованные системой двух нитей, мало отличаются от ортогонально ар­ мированных2, но различие в изменении значений относительных деформа­ ций у них существенное. Это значит, что при растяжении образцов из про­ странственно армированных материалов имеет место значительно боль­ шая неравномерность распределения деформаций как по длине, так и по высоте рабочей части образца, чем у ортогонально армированных. Из дан­ ных табл. 4 нетрудно заметить, что для всех исследованных композитов характер распределения деформаций по высоте образца примерно одина­ ков — наружные слои вблизи зоны приложения нагрузки оказываются перегруженными, а средние слои в этой зоне испытывают недогрузку. На­ личие значительной перегрузки волокон при испытании на растяже­ ние современных однонаправленных композитов приводит к разруше­ нию образцов в зоне приложения нагрузки3, что способствует увеличению разброса значений определяемых характеристик, особенно прочности, и некоторому их снижению. Исключить указанное явление, как это следует из анализа расчетных значений напряжений, можно увеличением длины зоны нагружения образца внешними усилиями. Этот вывод хорошо под­ тверждается опытными данными по изучению прочности однонаправлен­ ных композитов, приведенными в работе3.

Экспериментально определенная длина зоны возмущенного напря­ женного состояния удовлетворительно согласуется с теоретически рассчи­ танной.

Выводы. 1. Испытание на растяжение образцов из композитных мате­ риалов приводит к существенной перегрузке его наружных слоев, вблизи зоны приложения нагрузки внутренние слои в этой зоне оказываются не­ догруженными.

2.Эффективное снижение концентрации напряжений вблизи зоны приложения нагрузки можно достичь увеличением длины участка прило­ жения нагрузки.

3.Длина зоны краевого эффекта для современных композитных ма­

териалов не превышает 8,5h.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Поляков В. А., Жигун И. Г Оценка зоны возмущенного напряженного состоя­ ния при растяжении композитов. I. Расчет напряжений. — Механика полимеров, 1978,

№6 , с. 1097—1103.

2.Жигун И. Г., Поляков В. А. Свойства пространственно-армированных пласти­

ков. Рига, 1978. 215 с.

3. Жигун И. Г., Михайлов В. В. Особенности испытаний на растяжение высоко­ прочных однонаправленных композитов. — Механика полимеров, 1978, № 4, с. 685—689.

10 — 2748

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1979, М 1, 146—149

УДК 620.17:678.5.06

В. Т. Головчан, М. Г Гиря

РАСПРОСТРАНЕНИЕ УПРУГИХ ВОЛН СДВИГА В КОМПОЗИТНОЙ ВОЛОКНИСТОЙ СРЕДЕ

Различные приближенные подходы к решению задачи о волнах в во­ локнистой композитной среде предложены в1-6. В7 задача распростране­ ния упругих волн сдвига сведена к вычислению корней бесконечного схо­ дящегося определителя, элементы которого выражаются двойными рядами по цилиндрическим функциям.

В настоящей работе предложен новый метод исследования волн сдвига в волокнистой композитной среде регулярной структуры. Получен­ ное дисперсионное уравнение представляет собой бесконечный сходя­ щийся определитель с элементами в виде одинарных рядов по цилиндри­ ческим функциям.

Рассмотрим упругое тело бесконечных размеров, которое состоит из матрицы и бесконечного числа однонаправленных рядов одинаковых ци­ линдрических упругих волокон кругового поперечного сечения радиусом R. Волокна выполнены из материала, отличающегося по своим механиче­ ским свойствам от материала матрицы. Оси волокон параллельны коор­ динатной оси z и расположены в матрице так, как показано на рис. 1, где представлено сечение волокнистого материала плоскостью 2= 0.

в области, занятой матрицей, и волновому уравнению

в области, занятой волокнами. Здесь р, р* — модули сдвига матрицы и волокон; р, р* — плотность материала матрицы и волокон; (х, у) — безразмерные координаты; W, W* — безразмерное смещение. Здесь и в дальнейшем в качестве единицы измерения выбран радиус R, а частота (о предполагается фиксированной.

Решения уравнений (2) и (3) должны удовлетворять условиям кон­ такта в местах соединения волокон и матрицы:

Учитывая условия периодичности амплитуды w(x,y) волны (1) в на­ правлении I—/ (см. рис. 1)

w{x + hl ctgQ,h[) = w ( x - h 2ctgQ, - h 2) {lh + h2 = h, Ail2> 0);

146

и оси х, представим решение уравнения (2) в полосе h ^ y ^ - h 2 в виде:

значения совпадают с приведенными в8. Здесь и в дальнейшем сомножи­ тель е_г'“*опускаем.

Так как амплитуда рассматриваемой волны периодическая по х с пе­ риодом 6, то ограничимся рассмотрением условия контакта лишь для во­ локна, ось которого совпадает с координатной осью г. Решая уравнение

(3) в цилиндрической системе координат, соответствующей декартовой системе (х,у), имеем:

Преобразование решения (5) уравнения (1) к координатам (р, ф) вы­ полняется по аналогии с8:

/г = 0,± 1, ±2,

где а =

ру*

Рр,

Система (8) заменой неизвестных АпН'п ($) =ап приводится к системе нормального типа, что следует из сходимости двойного ряда:

В связи с этим однородная система (8) имеет ограниченное решение, если ее определитель равен нулю, что может быть достигнуто соответствую­ щим выбором параметра у.

Определитель системы (8) является функцией четной и периодической

2я по у с периодом — , откуда следует, что частота со является периодическом

функцией волнового числа у с тем же периодом-^. Аналогичная ситуация

имеет место в задаче распространения волн в одномерной решетке масс, соединенных упругими пружинами9.

Для получения количественных результатов рассматривался комп­ лексный определитель системы (8) седьмого порядка. Вычисления прово­ дились при таких значениях механических параметров, которые типичны для составных материалов на эпоксидной основе с волокнами из бора или стекла. Отношение р*/р, модулей сдвига было взято равным 120 для мате­ риала с армировкой из волокон бора и 20 — для материала с армировкоп

148